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信息论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。
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数学代写|信息论代写information theory代考|Asymptotic equivalence of two types of constraints
Consider asymptotic results related to the content of Chapter 3 . We will show that when computing maximum entropy (capacity of a noiseless channel), constraints imposed on mean values and constraints imposed on exact values are asymptotically equivalent to each other. These results are closely related to the theorem about stability of the canonical distribution proven in Section 4.2.
We set out the material in a more general form than in Sections $3.2$ and $3.3$ by using an auxiliary measure $v(d x)$ similarly to Section 3.6.
Let the space $X$ with measure $v(d x)$ (not normalized to unity) be given. Entropy will be defined by the formula $$
H=-\int \ln \frac{P(d x)}{v(d x)} P(d x)
$$
[see (1.6.13)]. Let the constraint
$$
B(x) \leqslant A
$$
or, more generally,
$$
B(x) \in E
$$
be given, where $E$ is some (measurable) set, $B(x)$ is a given function. Entropy of level $A($ or set $E$ ) is defined by maximization
$$
\tilde{H}=\sup _{P \in \tilde{G}}\left[-\int P(d x) \ln \frac{P(d x)}{v(d x)}\right]
$$
Here set $\widetilde{G}$ of feasible distributions $P(\cdot)$ is characterized by the fact that a probability is concentrated within subspace $\widetilde{X} \subset X$ defined by constraints (4.3.2) and (4.3.3), i.e.
$$
P(\tilde{X})=1 ; \quad P[B(x) \in E]=1 .
$$
Constraints (4.3.2), (4.3.3) will be relaxed if we substitute them by analogous constraints for expectations:
$$
\mathbb{E}[B(x)] \leqslant A, \quad \text { where } \quad \mathbb{E}[B(x)] \in E
$$
数学代写|信息论代写information theory代考|Some theorems about the characteristic potential
- Characteristic potential $\mu(s)=\ln \Theta(s)$ of random variables $B_{i}(\xi)$ (or a cumulant generating function) was defined by formula (4.1.11a) earlier. If there is given the family of distributions $p(\xi \mid \alpha)=\exp \left[-\Gamma(\alpha)+\alpha B(\xi)-\varphi_{0}(\xi)\right]$, then $\mu(s)$ is expressed in terms of $\Gamma(\alpha)$ by formula (4.1.12a). If there is merely a given random variable $\xi$ with probability distribution $P(d \xi)$ instead of a family of distributions, then we can construct the following family of distributions:
$$
P(d \xi \mid \alpha)=\text { conste } e^{\alpha B(\xi)} P(d \xi) .
$$
Because of (4.1.11a) the normalization constant is expressed through $\mu(\alpha)$, so that
$$
\begin{gathered}
P(d \xi \mid \alpha)=\exp [-\mu(\alpha)+\alpha B(\xi)] P(d \xi) \
\left(\ln p(\xi)=-\varphi_{0}(\xi)\right) .
\end{gathered}
$$
Thus, we have built the family ${P(d \xi \mid \alpha), \alpha \in Q}$ on basis of $P(\xi)$. Besides the characteristic potential $\mu(s)$ of the initial distribution, we can find a characteristic potential of any distribution (4.4.1) from the indicated family by formula (4.1.12a), i.e. by the formula
$$
\mu(s \mid \alpha)=\mu(\alpha+s)-\mu(\alpha),
$$ - At first consider an easy example of a single variable $B(\xi), r=1$ and prove a simple but useful theorem.
数学代写|信息论代写information theory代考|Computation of entropy for special cases
In the present chapter, we set out the methods for computation of entropy of many random variables or of a stochastic process in discrete and continuous time.
From a fundamental and practical points of view, of particular interest are the stationary stochastic processes and their information-theoretic characteristics, specifically their entropy. Such processes are relatively simple objects, particularly a discrete process, i.e. a stationary process with discrete states and running in discrete time. Therefore, this process is a very good example for demonstrating the basic points of the theory, and so we shall start from its presentation.
Our main attention will be drawn to the definition of such an important characteristic of a stationary process as the entropy rate, that is entropy per unit of time or per step. In addition, we introduce entropy $\Gamma$ at the end of an interval. This entropy together with the entropy rate $H_{1}$ defines the entropy of a long interval of length $T$ by the approximate formula
$$
H_{T} \approx H_{1} T+2 \Gamma,
$$
which is the more precise, the greater is $T$. Both constants $H_{1}$ and $\Gamma$ are calculated for a discrete Markov process.
The generalized definition of entropy, given in Section 1.6, allows for the application of this notion to continuous random variables as well as to the case when the set of these random variables is continuum, i.e. to a stochastic process with a continuous parameter (time).
In what follows, we show that many results related to a discrete process can be extended both to the case of continuous sample space and to continuous time. For instance, we can introduce the entropy rate (not per one step but per a unit of time) and entropy of an end of an interval for continuous-time stationary processes. The entropy of a stochastic process on an interval is represented approximately in the form of two terms by analogy with the aforementioned formula.
For non-stationary continuous-time processes, instead of constant entropy rate, one should consider entropy density, which, generally speaking, is not constant in time.
信息论代考
数学代写|信息论代写information theory代考|Asymptotic equivalence of two types of constraints
考虑与第 3 章内容相关的渐近结果。我们将证明，在计算最大熵（无噪声通道的容量）时，施加在平均值上的约束和施加在精确值上的 约束彼此渐近等效。这些结果与第 $4.2$ 节证明的规范分布稳定性定理密切相关。
我们以比章节更一般的形式列出了材料 $3.2$ 和 $3.3$ 通过使用辅助措施 $v(d x)$ 类似于第 $3.6$ 节。
让空间 $X$ 有措施 $v(d x)$ (末标准化为统一) 给出。樀将由公式定义
$$
H=-\int \ln \frac{P(d x)}{v(d x)} P(d x)
$$
[见 (1.6.13)]。让约束
$$
B(x) \leqslant A
$$
或者，更一般地说，
$$
B(x) \in E
$$
给出，其中 $E$ 是一些 (可测量的) 集合， $B(x)$ 是给定的函数。水平樀 $A$ (或设置 $E$ ) 由最大化定义
$$
\tilde{H}=\sup _{P \in \bar{G}}\left[-\int P(d x) \ln \frac{P(d x)}{v(d x)}\right]
$$
这里设置 $\widetilde{G}$ 可行分布 $P(\cdot)$ 其特点是概率集中在子空间内 $\tilde{X} \subset X$ 由约束 (4.3.2) 和（4.3.3) 定义，即
$$
P(\tilde{X})=1 ; \quad P[B(x) \in E]=1 .
$$
约束 (4.3.2)，(4.3.3) 如果我们用类似的约束代替期望，它们将被放宽：
$$
\mathbb{E}[B(x)] \leqslant A, \quad \text { where } \quad \mathbb{E}[B(x)] \in E
$$
数学代写|信息论代写information theory代考|Some theorems about the characteristic potential
- 特征潜力 $\mu(s)=\ln \Theta(s)$ 随机变量 $B_{i}(\xi)$ (或累积量生成函数) 由公式 (4.1.11a) 定义。如果给定分布族 $p(\xi \mid \alpha)=\exp \left[-\Gamma(\alpha)+\alpha B(\xi)-\varphi_{0}(\xi)\right]$ ，然后 $\mu(s)$ 表示为 $\Gamma(\alpha)$ 由公式 (4.1.12a) 。如果只有一个给定的随机变量 $\xi$ 有概率分布 $P(d \xi)$ 而不是一个分布族，那么我们可以构造以下分布族：
- $$
- P(d \xi \mid \alpha)=\text { conste } e^{\alpha B(\xi)} P(d \xi) .
- $$
- 由于 (4.1.11a)，归一化常数表示为 $\mu(\alpha)$ ，以便
- $$
- P(d \xi \mid \alpha)=\exp [-\mu(\alpha)+\alpha B(\xi)] P(d \xi)\left(\ln p(\xi)=-\varphi_{0}(\xi)\right) .
- $$
- 就这样，我们建立了家庭 $P(d \xi \mid \alpha), \alpha \in Q$ 基于 $P(\xi)$. 除了特征潜力 $\mu(s)$ 对于初始分布，我们可以通过公式 (4.1.12a) 从指定的族 中找到任何分布 (4.4.1) 的特征势，即通过公式
- $$
- \mu(s \mid \alpha)=\mu(\alpha+s)-\mu(\alpha),
- $$
- 首先考虑一个简单的单变量示例 $B(\xi), r=1$ 并证明一个简单但有用的定理。
数学代写|信息论代写information theory代考|Computation of entropy for special cases
在本章中，我们阐述了在离散和连续时间内计算许多随机变量或随机过程的熵的方法。
从基本和实践的角度来看，特别感兴趣的是平稳随机过程及其信息论特征，特别是它们的樀。这样的过程是相对简单的对象，特别是离散 过程，即具有离散状态并在离散时间运行的静止过程。因此，这个过程是展示理论基本点的一个很好的例子，所以我们将从它的介绍开 始。
我们的主要注意力将集中在熵率这样一个平稳过程的重要特征的定义上，即每单位时间或每步的樀。另外，我们引入樀 $\Gamma$ 在间隔结束时。 这个樀和樀率 $H_{1}$ 定义了一个长区间的熵 $T$ 由近似公式
$$
H_{T} \approx H_{1} T+2 \Gamma
$$
哪个越精确，越大 $T$. 两个常数 $H_{1}$ 和 $\Gamma$ 为离散马尔可夫过程计算。
$1.6$ 节给出的樀的广义定义允许将此概念应用于连续随机变量以及这些随机变量的集合是连续的情况，即具有连续参数（时间) 的随机过 程.
在下文中，我们展示了许多与离散过程相关的结果可以扩展到连续样本空间和连续时间的情况。例如，我们可以为连续时间平稳过程引入 樀率 (不是每一步，而是每单位时间) 和区间末端的樀。一个区间上的随机过程的樀，类推上述公式，用两项的形式近似表示。
对于非平稳的连续时间过程，应该考虑樀密度，而不是恒定的樀率，樀密度通常在时间上不是恒定的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
