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信息论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。
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In the previous chapter, for one particular example (see Sections $3.1$ and 3.4) we showed that in calculating the maximum entropy (i.e. the capacity of a noiseless channel) the constraint $c(y) \leqslant a$ imposed on feasible realizations is equivalent, for a sufficiently long code sequence, to the constraint $\mathbb{E}[c(y)] \leqslant a$ on the mean value $\mathbb{E}[c(y)]$. In this chapter we prove (Section $4.3$ ) that under certain assumptions such equivalence takes place in the general case; this is the assertion of the first asymptotic theorem. In what follows, we shall also consider the other two asymptotic theorems (Chapters 7 and 11), which are the most profound results of information theory. All of them have the following feature in common: ultimately all these theorems state that, for utmost large systems, the difference between the concepts of discreteness and continuity disappears, and that the characteristics of a large collection of discrete objects can be calculated using a continuous functional dependence involving averaged quantities. For the first variational problem, this feature is expressed by the fact that the discrete function $H=\ln M$ of $a$, which exists under the constraint $c(y) \leq a$, is asymptotically replaced by a continuous function $H(a)$ calculated by solving the first variational problem. As far as the proof is concerned, the first asymptotic theorem turns out to be related to the theorem on canonical distribution stability (Section 4.2), which is very important in statistical thermodynamics and which is actually proved there when the canonical distribution is derived from the microcanonical one. Here we consider it in a more general and abstract form. The relationship between the first asymptotic theorem and the theorem on the canonical distribution once more underlines the intrinsic unity of the mathematical apparatus of information theory and statistical thermodynamics.
Potential $\Gamma(\alpha)$ and its properties are used in the process of proving the indicated theorems. The material about this potential is presented in Section 4.1. It is related to the content of Section 3.3. However, instead of regular physical free energy $F$ we consider dimensionless free energy, that is potential $\Gamma=-F / T$. Instead of parameters $T, a_{2}, a_{3}, \ldots$ common in thermodynamics we introduce symmetrically defined parameters $\alpha_{1}=-1 / T, \alpha_{2}=a_{2} / T, \alpha_{3}=a_{3} / T, \ldots$ Under such choice the temperature is an ordinary thermodynamic parameter along with the others.
数学代写|信息论代写information theory代考|Potential Γ or the cumulant generating function
Consider a thermodynamic system or an informational system, for which formula (3.5.1) is relevant. For such a system we introduce symmetrically defined parameters $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{r}$ and the corresponding potential $\Gamma(\alpha)$ that is mathematically equivalent to free energy $F$, but has the following advantage over $F: \Gamma$ is the cumulant generating function.
For a physical thermodynamic system the equilibrium distribution is usually represented by Gibbs’ formula:
$$
P(d \zeta)=\exp \left[\frac{F-\mathcal{H}(\zeta, a)}{T}\right] d \zeta
$$
where $\zeta=(p, q)$ are dynamic variables (coordinates and impulses); $\mathcal{H}(\zeta, a)$ is a Hamilton’s function dependent on parameters $a_{2}, \ldots, a_{r}$. Formula (4.1.1) is an analog of formula (3.5.2). Now assume that the Hamilton’s function is linear with respect to the specified parameters
$$
\mathcal{H}(\zeta, a)=\mathcal{H}{0}(\zeta)-a{2} F^{2}(\zeta)-\cdots-a_{r} F^{r}(\zeta)
$$
Then (4.1.1) becomes
$$
P(d \zeta)=\exp \left[F-\mathcal{H}{0}(\zeta)+a{2} F^{2}(\zeta)+\cdots+a_{r} F^{r}(\zeta)\right] d \zeta
$$
Further we introduce new parameters
$$
\alpha_{1}=-1 / T \equiv-\beta ; \quad \alpha_{2}=a_{2} / T ; \quad \ldots \quad ; \quad \alpha_{r}=a_{r} / T
$$
which we call canonical external parameters. Parameters
$$
B^{1}=\mathcal{H}{0} ; \quad B^{2}=F^{2} ; \quad \ldots \quad ; \quad B^{r}=F^{r} $$ are called random internal parameters and also $$ A^{1}=\mathbb{E}\left[\mathcal{H}{0}\right] ; \quad A^{2}=\mathbb{E}\left[F^{2}\right] ; \quad \ldots \quad ; \quad q A^{r}=\mathbb{E}\left[F^{r}\right]
$$ are called canonical internal parameters conjugate to external parameters $\alpha_{1}, \ldots$, $\alpha_{r}$. Moreover, we introduce the potential $\Gamma$ and rewrite distribution (4.1.3) in a canonical form:
$$
P(d \zeta \mid d)=\exp \left[-\Gamma(\alpha)+B^{1}(\zeta) \alpha_{1}+\cdots+B^{r}(\zeta) a_{r}\right] d \zeta
$$
数学代写|信息论代写information theory代考|Some asymptotic results of statistical thermodynamics
The deepest results of information theory and statistical thermodynamics have an asymptotic nature, i.e. are represented in the form of limiting theorems under growth of a cumulative system. Before considering the first asymptotic theorem of information theory, we present a related (as it is seen from the proof) result from statistical thermodynamics, namely, an important theorem about stability of the canonical distribution. In the case of just one parameter the latter distribution has the form
$$
P(\xi \mid \alpha)=\exp [-\Gamma(\alpha)+\alpha B(\xi)-\varphi(\xi)]
$$
If $B(\xi)=\mathscr{H}(p, q)$ is perceived as energy of a system that is Hamilton’s function and $\varphi(\xi)$ is supposed to be zero, then the indicated distribution becomes the canonical Gibbs distribution:
$$
\exp \left[\frac{F(T)-\mathcal{H}(p, q)}{T}\right] \quad\left(F(T)=-T \Gamma\left(-\frac{1}{T}\right)\right)
$$
where $T=-1 / \alpha$ is temperature. The theorem about stability of this distribution (i.e. about the fact that it is formed by a ‘microcanonical’ distribution for a cumulative system including a thermostat) is called Gibbs theorem.
Adhering to a general and formal exposition style adopted in this chapter, we formulate the addressed theorem in abstract form.
Preliminary, we introduce several additional notions. We call the conditional distribution
$$
P_{n}\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n} \mid \alpha\right)
$$
an $n$-th degree of the distribution
$$
P_{1}\left(\xi_{1} \mid \alpha\right)
$$
if
$$
P_{n}\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n} \mid \alpha\right)=P_{1}\left(\xi_{1} \mid \alpha\right) \cdots P_{1}\left(\xi_{n} \mid \alpha\right)
$$
Let the distribution (4.2.3) be canonical:
$$
\ln P_{1}\left(\xi_{1} \mid \alpha\right)=-\Gamma_{1}(\alpha)+\alpha B_{n}\left(\xi_{1}\right)-\varphi_{1}\left(\xi_{1}\right)
$$
信息论代考
在上一章中，举了一个特定的例子（参见章节 $3.1$ 和 3.4) 我们表明，在计算最大樀（即无橾声通道的容量) 时，约束 $c(y) \leqslant a$ 对于足够 长的代码序列，强加于可行的实现等价于约束 $\mathbb{E}[c(y)] \leqslant a$ 关于平均值 $\mathbb{E}[c(y)]$. 在本章中，我们证明 (第 $4.3)$ 在某些假设下，这种等价性 发生在一般情况下；这是第一个渐近定理的断言。在下文中，我们还将考虑其他两个渐近定理（第 7 章和第 11 章)，它们是信息论最深 刻的结果。它们都具有以下共同特征: 最终所有这些定理都表明，对于极大的系统，离散性和连续性概念之间的区别消失了，大量离散对 象的特征可以使用连续的涉及平均数量的功能依赖性。对于第一个变分问题，该特征由离散函数表示 $H=\ln M$ 的 $a$, 在约束下存在 $c(y) \leq a_{r}$ 被一个连续函数渐近替换 $H(a)$ 通过求解第一个变分问题来计算。就证明而言，第一个渐近定理与正则分布稳定性定理 (第 $4.2$ 节) 有关，这在统计热力学中非常重要，当正则分布从微规范的。在这里，我们以更一般和抽象的形式考虑它。渐近第一定理和正则分布 定理之间的关系再次强调了信息论和统计热力学的数学装置的内在统一性。
潜在的 $\Gamma(\alpha)$ 及其性质用于证明指定定理的过程。第 $4.1$ 节介绍了有关这种潜力的材料。与 $3.3$ 节的内容有关。然而，而不是常规的物理自 由能 $F$ 我们考虑无量纲自由能，即势能 $\Gamma=-F / T$. 代替参数 $T, a_{2}, a_{3}, \ldots$ 在热力学中很常见，我们引入了对称定义的参数 $\alpha_{1}=-1 / T, \alpha_{2}=a_{2} / T, \alpha_{3}=a_{3} / T, \ldots$ 在这种选择下，温度与其他参数一样是一个普通的热力学参数。
数学代写|信息论代写information theory代考|Potential Γ or the cumulant generating function
考虑一个热力学系统或一个信息系统，公式 (3.5.1) 与之相关。对于这样一个系统，我们引入了对称定义的参数 $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{r}$ 和相应的潜力 $\Gamma(\alpha)$ 这在数学上等价于自由能 $F$, 但有以下优势 $F: \Gamma$ 是男积量生成函数。
对于物理热力学系统，平衡分布通常由吉布斯公式表示:
$$
P(d \zeta)=\exp \left[\frac{F-\mathcal{H}(\zeta, a)}{T}\right] d \zeta
$$
在哪里 $\zeta=(p, q)$ 是动态变量 (坐标和脉冲) ; $\mathcal{H}(\zeta, a)$ 是一个依赖于参数的 Hamilton 函数 $a_{2}, \ldots, a_{r}$. 公式 (4.1.1) 是公式 (3.5.2) 的类 似物。现在假设 Hamilton 函数关于指定参数是线性的
$$
\mathcal{H}(\zeta, a)=\mathcal{H} 0(\zeta)-a 2 F^{2}(\zeta)-\cdots-a_{r} F^{r}(\zeta)
$$
那么 (4.1.1) 变为
$$
P(d \zeta)=\exp \left[F-\mathcal{H} 0(\zeta)+a 2 F^{2}(\zeta)+\cdots+a_{r} F^{r}(\zeta)\right] d \zeta
$$
此外，我们引入了新参数
$$
\alpha_{1}=-1 / T \equiv-\beta ; \quad \alpha_{2}=a_{2} / T ; \quad \ldots \quad ; \quad \alpha_{r}=a_{r} / T
$$
我们称之为规范的外部参数。参数
$$
B^{1}=\mathcal{H} 0 ; \quad B^{2}=F^{2} ; \quad \ldots \quad ; \quad B^{r}=F^{r}
$$
被称为随机内部参数，也
$$
A^{1}=\mathbb{E}[\mathcal{H} 0] ; \quad A^{2}=\mathbb{E}\left[F^{2}\right] ; \quad \ldots \quad ; \quad q A^{r}=\mathbb{E}\left[F^{r}\right]
$$
被称为与外部参数共轭的规范内部参数 $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{r}$. 此外，我们介绍了潜力 $\Gamma$ 并以规范形式重写分布 (4.1.3)：
$$
P(d \zeta \mid d)=\exp \left[-\Gamma(\alpha)+B^{1}(\zeta) \alpha_{1}+\cdots+B^{r}(\zeta) a_{r}\right] d \zeta
$$
数学代写|信息论代写information theory代考|Some asymptotic results of statistical thermodynamics
信息论和统计热力学最深刻的结果具有渐近性，即在累积系统的增长下以极限定理的形式表示。在考虑信息论的第一个渐近定理之前，我 们提出一个相关的 (从证明中可以看出) 统计热力学的结果，即关于正则分布稳定性的一个重要定理。在只有一个参数的情况下，后一种 分布具有以下形式
$$
P(\xi \mid \alpha)=\exp [-\Gamma(\alpha)+\alpha B(\xi)-\varphi(\xi)]
$$
如果 $B(\xi)=\mathscr{H}(p, q)$ 被认为是系统的能量，它是汉密尔顿的函数，并且 $\varphi(\xi)$ 应该为零，则指示的分布变为典型的吉布斯分布：
$$
\exp \left[\frac{F(T)-\mathcal{H}(p, q)}{T}\right] \quad\left(F(T)=-T \Gamma\left(-\frac{1}{T}\right)\right)
$$
在哪里 $T=-1 / \alpha$ 是温度。关于这种分布稳定性的定理（即关于它是由包括恒温器的累积系统的“微正则“分布形成的事实）称为吉布斯定 理。
秉承本章采用的一般和正式的阐述风格，我们以抽象的形式表达了所讨论的定理。
初步，我们介绍几个额外的概念。我们称条件分布
$$
P_{n}\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n} \mid \alpha\right)
$$
一个n-分布的度数
$$
P_{1}\left(\xi_{1} \mid \alpha\right)
$$
如果
$$
P_{n}\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n} \mid \alpha\right)=P_{1}\left(\xi_{1} \mid \alpha\right) \cdots P_{1}\left(\xi_{n} \mid \alpha\right)
$$
让分布 (4.2.3) 是规范的:
$$
\ln P_{1}\left(\xi_{1} \mid \alpha\right)=-\Gamma_{1}(\alpha)+\alpha B_{n}\left(\xi_{1}\right)-\varphi_{1}\left(\xi_{1}\right)
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
