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## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Motivations for Discrete Fourier Transforms

Discrete Fourier methods can be traced back to the eighteenth and nineteenth century, where they have been used already for determining the orbits of celestial bodies. The corresponding data contain periodic patterns that can he well interpolated by trigonometric polynomials. In order to calculate the coefficients of trigonometric polynomials we need to employ the so-called discrete Fourier transform (DFT). Clairaut, Lagrange, and later Gauss already considered the DFT to solve the problem of fitting astronomical data. In 1754 , Clairaut published a first formula for a discrete Fourier transform. For historical remarks, see [46, pp. 2-6].

We start with introducing the discrete Fourier transform. For a given vector $\mathbf{a}=$ $\left(a_{j}\right){j=0}^{N-1} \in \mathbb{C}^{N}$ we call the vector $\hat{\mathbf{a}}=\left(\hat{a}{k}\right){k=0}^{N-1} \in \mathbb{C}^{N}$ the discrete Fourier transform of a with length $N$, if $$\hat{a}{k}=\sum_{j=0}^{N-1} a_{j} \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} j k / N}=\sum_{j=0}^{N-1} a_{j} w_{N}^{j k}, \quad k=0, \ldots, N-1$$
where
$$w_{N}:=\mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} / N}=\cos \frac{2 \pi}{N}-\mathrm{i} \sin \frac{2 \pi}{N} .$$
Obviously, $w_{N} \in \mathbb{C}$ is a primitive $N$ th root of unity, because $w_{N}^{N}=1$ and $w_{N}^{k} \neq 1$ for $k=1, \ldots, N-1$. Since
$$\left(w_{N}^{k}\right)^{N}=\left(\mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} k / N}\right)^{N}=\mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} k}=1,$$
all numbers $w_{N}^{k}, k=0, \ldots, N-1$ are $N$ th roots of unity and form the vertices of a regular $N$-gon inscribed in the complex unit circle.

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Approximation of Fourier Coefficients and Aliasing

First we describe a numerical approach to compute the Fourier coefficients $c_{k}(f)$, $k \in \mathbb{Z}$, of a given function $f \in C(\mathbb{T})$, where $f$ is given by its values sampled on the uniform grid $\left{\frac{2 \pi j}{N}: j=0, \ldots, N-1\right}$. Assume that $N \in \mathbb{N}$ is even. Using the trapezoidal rule for numerical integration, we can compute $c_{k}(f)$ for each $k \in \mathbb{Z}$ approximatèly. By $f(0)=f(2 \pi)$ wé find that
\begin{aligned} c_{k}(f) &=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k t} \mathrm{~d} t \ & \approx \frac{1}{2 N} \sum_{j=0}^{N-1}\left[f\left(\frac{2 \pi j}{N}\right) \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} j k / N}+f\left(\frac{2 \pi(j+1)}{N}\right) \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i}(j+1) k / N}\right] \end{aligned}

$=\frac{1}{2 N} \sum_{j=0}^{N-1} f\left(\frac{2 \pi j}{N}\right) \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} j k / N}+\frac{1}{2 N} \sum_{j=1}^{N} f\left(\frac{2 \pi j}{N}\right) \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} j k / N}$
$=\frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} f\left(\frac{2 \pi j}{N}\right) \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} j k / N}, \quad k \in \mathbb{Z}$

# 傅里叶分析代写

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Motivations for Discrete Fourier Transforms

$$\hat{a} k=\sum_{j=0}^{N-1} a_{j} \mathrm{e}^{-2 \pi i j k / N}=\sum_{j=0}^{N-1} a_{j} w_{N}^{j k}, \quad k=0, \ldots, N-1$$

$$w_{N}:=\mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} / N}=\cos \frac{2 \pi}{N}-\mathrm{i} \sin \frac{2 \pi}{N} .$$

$$\left(w_{N}^{k}\right)^{N}=\left(\mathrm{e}^{-2 \pi i k / N}\right)^{N}=\mathrm{e}^{-2 \pi i k}=1$$

## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier analysis代考|Approximation of Fourier Coefficients and Aliasing

\left 的分隔符缺失或无法识别 . 假使，假设 $N \in \mathbb{N}$ 甚至。使用梯形规则进行数值积分，我们可以计算 $c_{k}(f)$ 对于每个 $k \in \mathbb{Z} 大=$ 约。经过 $f(0)=f(2 \pi)$ 我们发现
$$\begin{gathered} c_{k}(f)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k t} \mathrm{~d} t \quad \approx \frac{1}{2 N} \sum_{j=0}^{N-1}\left[f\left(\frac{2 \pi j}{N}\right) \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} j k / N}+f\left(\frac{2 \pi(j+1)}{N}\right) \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i}(j+1) k / N}\right] \ =\frac{1}{2 N} \sum_{j=0}^{N-1} f\left(\frac{2 \pi j}{N}\right) \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} j k / N}+\frac{1}{2 N} \sum_{j=1}^{N} f\left(\frac{2 \pi j}{N}\right) \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} j k / N} \ =\frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} f\left(\frac{2 \pi j}{N}\right) \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} j k / N}, \quad k \in \mathbb{Z} \end{gathered}$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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