数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|MATH361

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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Properties of Quasi-Stirling Polynomials

Bóna proves in [3, Cor. 1] that Stirling permutations in $\mathcal{Q}_{n}$ have, on average, $(2 n+1) / 3$ ascents, $(2 n+1) / 3$ descents, and $(2 n+1) / 3$ plateaus. From Theorem 3 , we can derive the following analogue for quasi-Stirling permutations.

Corollary 1. Let $n \geq 1$. On average, elements of $\overline{\mathcal{Q}}_{n}$ have $(3 n+1) / 4$ ascents, $(3 n+1) / 4$ descents, and $(n+1) / 2$ plateaus.

It is well-known result of Frobenius that the roots of the Eulerian polynomials $A_{n}(t)$ are real, distinct, and nonpositive. In [3, Thm. 1], Bóna proves the analogous result for the Stirling polynomials $Q_{n}(t)$, although their real-rootedness had already been shown by Brenti [4, Thm. 6.6.3] in more generality. We can prove that quasi-Stirling polynomials $\bar{Q}_{n}(t)$ also have this property.

Theorem 5. For every $n \geq 1$, the polynomials $\bar{Q}_{n}(t)$ have real, distinct, and nonpositive roots. Thus, their coefficients are unimodal and log-concave.

Theorem 6. The distribution of the number of descents (resp. ascents, plateaus) on elements of $\overline{\mathcal{Q}}_{n}$ converges to a normal distribution as $n \rightarrow \infty$.
4 Generalization to $k$-Quasi-Stirling Permutations
Here we refine the results from Sect. 2 to track the joint distribution of asc, des and plat, and we generalize them to a one-parameter family of permutations.
Gessel and Stanley [7] proposed an extension of Stirling permutations by considering permutations of the multiset containing $k$ copies of each element in

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Generalization to k-Quasi-Stirling Permutations

Here we refine the results from Sect. 2 to track the joint distribution of asc, des and plat, and we generalize them to a one-parameter family of permutations.
Gessel and Stanley [7] proposed an extension of Stirling permutations by considering permutations of the multiset containing $k$ copies of each element in $[n]$, while avoiding the pattern 212. These permutations, often called $k$-Stirling permutations, have been studied in $[4,9,12]$.

In analogy to these, we define $k$-quasi-Stirling permutations as permutations with $k$ copies of each element in $[n]$ that avoid the patterns 1212 and 2121 . Denote this set by $\overline{\mathcal{Q}}{n}^{k}$. Note that $\overline{\mathcal{Q}}{n}^{1}=\mathcal{S}{n}$ and $\overline{\mathcal{Q}}{n}^{2}=\overline{\mathcal{Q}}_{n}$. Viewing such permutations as ordered set partitions into blocks of size $k$, the avoidance requirement is equivalent to the partition heing noncrossing.

We have constructed bijections between $k$-quasi-Stirling permutations and two different kinds of decorated trees. The first one extends a bijection of Gessel [6] and Janson, Kuba and Panholzer [9, Thm. 1] between $k$-Stirling permutations and so-called $(k+1)$-ary increasing trees. The second extends a construction of Kuba and Panholzer [11, Thm. 2.2]. These bijections allow us to easily count the number of $k$-quasi-Stirling permutations:
Theorem 7. For $n \geq 1$ and $k \geq 1$,
$$
\left|\overline{\mathcal{Q}}{n}^{k}\right|=\frac{(k n) !}{((k-1) n+1) !}=n ! C{n, k}, \quad \text { where } \quad C_{n, k}=\frac{1}{(k-1) n+1}\left(\begin{array}{c}
k n \
n
\end{array}\right)
$$

图论代考

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Properties of Quasi-Stirling Polynomials

Bona 在 [3, Cor. 1] 斯特林排列在 $\mathcal{Q}{n}$ 平均而言， $(2 n+1) / 3$ 上升， $(2 n+1) / 3$ 下降，和 $(2 n+1) / 3$ 高原。从定理 3，我们可以推导出以下拟斯特林置换的类比。推论 1. 让 $n \geq 1$. 平均而言，元素 $\overline{\mathcal{Q}}{n}$ 有 $(3 n+1) / 4$ 上升， $(3 n+1) / 4$ 下降，和 $(n+1) / 2$ 高原。
Frobenius 的著名结果是欧拉多项式的根 $A_{n}(t)$ 是真实的、独特的和非积极的。在 $\left[3 ， T h m_{0} 1\right]$ ，Bóna 证明了斯特林多项式的类似结果 $Q_{n}(t)$ ，尽管他们的真实根基已经被布伦蒂 $\left[4\right.$, Thm. 6.6.3] 更笼统。我们可以证明拟斯特林多项式 $\bar{Q}{n}(t)$ 也有这个属性。定理 5. 对于每个 $n \geq 1$, 多项式 $\bar{Q}{n}(t)$ 有真实的、独特的和非正的根源。因此，它们的系数是单峰的和对数凹的。
定理 6. 下降次数 (分别是上升、高原) 在元素上的分布 $\overline{\mathcal{Q}}_{n}$ 收敛到正态分布为 $n \rightarrow \infty$.
4 泛化到 $k$-Quasi-Stirling Permutations
在这里，我们改进了 Sect 的结果。 2 来跟踪 asc、des 和 plat 的联合分布，我们将它们推广到单参数排列族。
Gessel 和 Stanley [7] 通过考虑包含的多重集的排列，提出了斯特林排列的扩展 $k$ 每个元素的副本

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Generalization to k-Quasi-Stirling Permutations

在这里，我们改进了 Sect 的结果。 2 来跟踪 asc、des 和 plat 的联合分布，我们将它们推广到单参数排列族。
Gessel 和 Stanley [7] 通过考虑包含的多重集的排列，提出了斯特林排列的扩展 $k$ 每个元素的副本 $[n]$ ，同时避免模式 212。这些排列，通常称为 $k$ – 斯特林排列，已在 $[4,9,12]$.
与这些类似，我们定义 $k$-准斯特林排列作为排列 $k$ 每个元素的副本 $[n]$ 避免了模式 1212 和 2121 。将此集合表示为 $\overline{\mathcal{Q}} n^{k}$. 注意 $\overline{\mathcal{Q}} n^{1}=\mathcal{S} n$ 和 $\overline{\mathcal{Q}} n^{2}=\overline{\mathcal{Q}}=$ 将这种排列视为有序集分区到大小的块中 $k$, 回避要求等价于分区 heing noncrossing。
我们在之间构建了双射 $k$-准斯特林排列和两种不同的装饰树。第一个扩展了 Gessel [6] 和 Janson、Kuba 和 Panholzer [9, Thm.] 的双射。1]之间 $k$-斯特林排列和所谓的 $(k+1)$-ary 增加树。第二个扩展了 Kuba 和 Panholzer [11，Thm。2.2]。这些双射使我们可以轻松计算 $k$-准斯特林排列：
定理 $7 .$ 对于 $n \geq 1$ 和 $k \geq 1$ ，
$$
\left|\overline{\mathcal{Q}} n^{k}\right|=\frac{(k n) !}{((k-1) n+1) !}=n ! C n, k, \quad \text { where } \quad C_{n, k}=\frac{1}{(k-1) n+1}(k n n)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

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