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## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Properties of Quasi-Stirling Polynomials

Bóna proves in [3, Cor. 1] that Stirling permutations in $\mathcal{Q}_{n}$ have, on average, $(2 n+1) / 3$ ascents, $(2 n+1) / 3$ descents, and $(2 n+1) / 3$ plateaus. From Theorem 3 , we can derive the following analogue for quasi-Stirling permutations.

Corollary 1. Let $n \geq 1$. On average, elements of $\overline{\mathcal{Q}}_{n}$ have $(3 n+1) / 4$ ascents, $(3 n+1) / 4$ descents, and $(n+1) / 2$ plateaus.

It is well-known result of Frobenius that the roots of the Eulerian polynomials $A_{n}(t)$ are real, distinct, and nonpositive. In [3, Thm. 1], Bóna proves the analogous result for the Stirling polynomials $Q_{n}(t)$, although their real-rootedness had already been shown by Brenti [4, Thm. 6.6.3] in more generality. We can prove that quasi-Stirling polynomials $\bar{Q}_{n}(t)$ also have this property.

Theorem 5. For every $n \geq 1$, the polynomials $\bar{Q}_{n}(t)$ have real, distinct, and nonpositive roots. Thus, their coefficients are unimodal and log-concave.

Theorem 6. The distribution of the number of descents (resp. ascents, plateaus) on elements of $\overline{\mathcal{Q}}_{n}$ converges to a normal distribution as $n \rightarrow \infty$.
4 Generalization to $k$-Quasi-Stirling Permutations
Here we refine the results from Sect. 2 to track the joint distribution of asc, des and plat, and we generalize them to a one-parameter family of permutations.
Gessel and Stanley [7] proposed an extension of Stirling permutations by considering permutations of the multiset containing $k$ copies of each element in

## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Generalization to k-Quasi-Stirling Permutations

Here we refine the results from Sect. 2 to track the joint distribution of asc, des and plat, and we generalize them to a one-parameter family of permutations.
Gessel and Stanley [7] proposed an extension of Stirling permutations by considering permutations of the multiset containing $k$ copies of each element in $[n]$, while avoiding the pattern 212. These permutations, often called $k$-Stirling permutations, have been studied in $[4,9,12]$.

In analogy to these, we define $k$-quasi-Stirling permutations as permutations with $k$ copies of each element in $[n]$ that avoid the patterns 1212 and 2121 . Denote this set by $\overline{\mathcal{Q}}{n}^{k}$. Note that $\overline{\mathcal{Q}}{n}^{1}=\mathcal{S}{n}$ and $\overline{\mathcal{Q}}{n}^{2}=\overline{\mathcal{Q}}_{n}$. Viewing such permutations as ordered set partitions into blocks of size $k$, the avoidance requirement is equivalent to the partition heing noncrossing.

We have constructed bijections between $k$-quasi-Stirling permutations and two different kinds of decorated trees. The first one extends a bijection of Gessel [6] and Janson, Kuba and Panholzer [9, Thm. 1] between $k$-Stirling permutations and so-called $(k+1)$-ary increasing trees. The second extends a construction of Kuba and Panholzer [11, Thm. 2.2]. These bijections allow us to easily count the number of $k$-quasi-Stirling permutations:
Theorem 7. For $n \geq 1$ and $k \geq 1$,
$$\left|\overline{\mathcal{Q}}{n}^{k}\right|=\frac{(k n) !}{((k-1) n+1) !}=n ! C{n, k}, \quad \text { where } \quad C_{n, k}=\frac{1}{(k-1) n+1}\left(\begin{array}{c} k n \ n \end{array}\right)$$

## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Properties of Quasi-Stirling Polynomials

Bona 在 [3, Cor. 1] 斯特林排列在 $\mathcal{Q}{n}$ 平均而言， $(2 n+1) / 3$ 上升， $(2 n+1) / 3$ 下降，和 $(2 n+1) / 3$ 高原。从定理 3，我们可以推导出以下拟斯特林置换的类 比。 推论 1. 让 $n \geq 1$. 平均而言，元素 $\overline{\mathcal{Q}}{n}$ 有 $(3 n+1) / 4$ 上升， $(3 n+1) / 4$ 下降，和 $(n+1) / 2$ 高原。
Frobenius 的著名结果是欧拉多项式的根 $A_{n}(t)$ 是真实的、独特的和非积极的。在 $\left[3 ， T h m_{0} 1\right]$ ，Bóna 证明了斯特林多项式的类似结果 $Q_{n}(t)$ ，尽管他们的真实 根基已经被布伦蒂 $\left[4\right.$, Thm. 6.6.3] 更笼统。我们可以证明拟斯特林多项式 $\bar{Q}{n}(t)$ 也有这个属性。 定理 5. 对于每个 $n \geq 1$, 多项式 $\bar{Q}{n}(t)$ 有真实的、独特的和非正的根源。因此，它们的系数是单峰的和对数凹的。

4 泛化到 $k$-Quasi-Stirling Permutations

Gessel 和 Stanley [7] 通过考虑包含的多重集的排列，提出了斯特林排列的扩展 $k$ 每个元素的副本

## 数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Generalization to k-Quasi-Stirling Permutations

Gessel 和 Stanley [7] 通过考虑包含的多重集的排列，提出了斯特林排列的扩展 $k$ 每个元素的副本 $[n]$ ，同时避免模式 212。这些排列，通常称为 $k$ – 斯特林排列， 已在 $[4,9,12]$.

$$\left|\overline{\mathcal{Q}} n^{k}\right|=\frac{(k n) !}{((k-1) n+1) !}=n ! C n, k, \quad \text { where } \quad C_{n, k}=\frac{1}{(k-1) n+1}(k n n)$$

## 有限元方法代写

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