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微分几何学是一门研究光滑形状和光滑空间的几何学的数学学科，也被称为光滑流形。它使用微分计算、积分计算、线性代数和多线代数的技术。
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数学代写|微分几何代写Differential Geometry代考|Bilinear Forms on V
Many applications of bilinear forms involve a bilinear form $\langle\cdot, \cdot\rangle$ on $V$.
When we consider the components of a bilinear form on $V$ with respect to bases, we always assume that $\mathcal{A}=\mathcal{B}$. The components $\left(c_{i j}\right)$ described in Proposition $4.2 .3$ can be written as an $n \times n$ matrix. In Proposition 4.2.6, we also suppose that $\mathcal{A}^{\prime}=\mathcal{B}^{\prime}$ so that change of coordinate matrices are equal, $P=Q$. Then
$$
\bar{c}{k \ell}=\bar{p}{k}^{i} \tilde{p}{\ell}^{j} c{i j} .
$$
The matrices of components $\left(c_{i j}\right)$ and $\left(\bar{c}{k \ell}\right)$ are not necessarily similar. If they were, they would satisfy (4.7). Consequently, though we do depict the components of a bilinear form according to Proposition 4.2.3, the matrix does not behave under coordinate changes like a matrix that represents a linear transformation. We leave it as an exercise for the reader to prove that $$ \bar{C}=\left(P^{-1}\right)^{\top} C P^{-1}, $$ where $C$ is the matrix $\left(c{i j}\right)$ and $\bar{C}$ is the matrix with components $\left(\bar{c}_{k \ell}\right)$. Hence, $C$ and $\bar{C}$ are similar only if $P$ is orthogonal.
Definition 4.2.8. A bilinear form $\langle, \cdot\rangle$ on a vector space $V$ is called
- symmetric if $\langle y, x\rangle=\langle x, y\rangle$ for all $x, y \in V$; and
- antisymmetric (or skew-symmetric) if $\langle y, x\rangle=-\langle x, y\rangle$ for all $x, y \in V$.
数学代写|微分几何代写Differential Geometry代考|Signature of a Symmetric Bilinear Form
Theorem 4.2.14 (Sylvester’s Law of Inertia). Let $\langle\cdot, \cdot\rangle$ be a symmetric bilinear form on $V$ with $\operatorname{dim} V=n$. Setting $r=n-(p+q)$, the triple of nonnegative integers $(p, q, r)$ arising in (4.20) is independent of the basis.
Proof. Let $\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)$ be an ordered basis of $V$ with respect to which the component matrix of $\langle\cdot, \cdot\rangle$ is given in (4.20). The rank of $\langle\cdot, \cdot\rangle$, which is independent of any basis, is $p+q$.
Let $V_{1}$ be a subspace of $V$ of maximal dimension such that $\langle\cdot, \cdot\rangle$ restricted to $V_{1}$ is positive-definite. Then $\operatorname{dim} V_{1}=p^{\prime} \geq p$ because $\langle\cdot,$,$rangle is positive-definite over$ $\operatorname{Span}\left(e_{1}, \ldots, e_{p}\right)$. By Proposition $4.2 .10$, there is a basis $\mathcal{B}{1}$ of $V{1}$ with respect to which that matrix of the form is $I_{p^{\prime}}$.
Let $V_{2}$ be a subspace of $V$ of maximal dimension such that $\left.\langle\cdot,\rangle\right$, restricted to $V_{1}$ is is negative-definite, i.e., for all $v \in V_{2}-{0},\langle v, v\rangle<0$. Over $\operatorname{Span}\left(e_{p+1}, \ldots, e_{p+q}\right)$, the form is positive-definite, so $\operatorname{dim} V_{2}=p^{\prime} \geq p$. By Proposition 4.2.10, there is a basis $\mathcal{B}{2}$ of $V{2}$ with respect to which that matrix of the form is $-I_{q^{\prime}}$.
Clearly, $V_{1} \cap V_{2}={0}$ so the subspace $V_{1}+V_{2}$ has dimension $p^{\prime}+q^{\prime}$. Assume that $p^{\prime}>p$ or $q^{\prime}>q$. Then with respect to $\mathcal{B}{1} \cup \mathcal{B}{2}$, the restriction of $\langle, \cdot\rangle$ to $V_{1}+V_{2}$ is
$$
\left(\begin{array}{cc}
I_{p^{\prime}} & 0 \
0 & -I_{q^{\prime}}
\end{array}\right),
$$
which implies that the rank of $\langle, y\rangle$ on $V$ is greater than $p+q$. This is a contradiction. We deduce that $\operatorname{dim} V_{1}=p$ and $\operatorname{dim} V_{2}=q$. Since $V_{1}$ and $V_{2}$ were defined without reference to a basis, the theorem follows.
微分几何代考
数学代写|微分几何代写Differential Geometry代考| Bilinear Forms on V
双线性形式的许多应用都涉及双线性形式 $(\cdot, \cdot)$ 上V
当我们考虑双线性形式的分量时 $V$ 关于碱基，我们总是假设 $\mathcal{A}=\mathcal{B}$. 组件 $\left(c_{i j}\right)$ 命题中描述的 $4.2 .3$ 可以写成 $n \times n$ 矩阵。在命题 $4.2 .6$ 中，我们还假设 $\mathcal{A}^{\prime}=\mathcal{B}^{\prime}$ 因 此，坐标矩阵的变化是相等的， $P=Q$. 然后
$$
\bar{c} k \ell=\bar{p} k^{i} \tilde{p} \ell^{j} c i j .
$$
组件的矩阵 $\left(c_{i j}\right)$ 和 ( $\left.\bar{c} k \ell\right)$ 不一定相似。如果是这样，他们会满足 (4.7)。因此，尽管我们确实根据命题4.2.3描述了双线性形式的分量，但矩阵在坐标变化下的行 为并不像表示线性变换的矩阵那样。我们把它留给读者练习，以证明
$$
\bar{C}=\left(P^{-1}\right)^{\top} C P^{-1},
$$
哪里 $C$ 是矩阵 $(c i j)$ 和 $\bar{C}$ 是具有组件的矩阵 $\left(\bar{c}_{k e}\right)$ 因此 $C$ 和 $\bar{C}$ 仅当 $P$ 是正交的。 定义 4.2.8. 双线性形式 $\langle, \cdot\rangle$ 在向量空间上 $V$ 称为
- 对称如果 $\langle y, x\rangle=\langle x, y\rangle$ 面向所有人 $x, y \in V$;和
- 反对称 (或偏对称) 如果 $\langle y, x\rangle=-\langle x, y\rangle$ 面向所有人 $x, y \in V$.
数学代写|微分几何代写Differential Geometry代考| Signature of a Symmetric Bilinear Form
定理4.2.14 (西尔维斯特惯性定律) 。让 $(\cdot, \cdot)$ 是 上的对称双线性形式 $V$ 跟 $\operatorname{dim} V=n$.设置 $r=n-(p+q)$ ，非负整数的三元组 $(p, q, r)(4.20)$ 中产生的是独 立于基数的。
证明。让 $\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)$ 是 $V$ 关于哪些组件矩阵 $\langle\cdot, \cdot)$ 在 $(4.20)$ 中给出。排名 $\langle\cdot, \cdot\rangle$ ，独立于任何基础，是 $p+q$.
让 $V_{1}$ 是 的子空间 $V$ 的最大维数使得 $\langle\cdot, \cdot)$ 限制为 $V_{1}$ 是正定的。然后 $\operatorname{dim} V_{1}=p^{\prime} \geq p$ 因为 $\left(\cdot\right.$, ,rangleispositive – de finiteover $\operatorname{Span}\left(e_{1}, \ldots, e_{p}\right)$. 按命题 $4.2 .10$ 有一个基础 $\mathcal{B} 1$ 之 $V 1$ 对于该形式的矩阵是哪个 $I_{p^{\prime}}$.
让 $V_{2}$ 是 的子空间 $V$ 的最大维数使得缺少或无法识别的分隔符 ，限制为 $V_{1}$ 是负定的，即对于所有 $v \in V_{2}-0,\langle v, v\rangle<0$. 多 $\operatorname{Span}\left(e_{p+1}, \ldots, e_{p+q}\right)$ ，形式是正定的，所以 $\operatorname{dim} V_{2}=p^{\prime} \geq p$.根据命题4.2.10，有一个基础B2之 $V 2$ 对于该形式的矩阵是哪个 $-I_{q^{\prime}}$. 清楚 $V_{1} \cap V_{2}=0$ 所以子空间 $V_{1}+V_{2}$ 具有尺寸 $p^{\prime}+q^{\prime}$.假设 $p^{\prime}>p$ 或 $q^{\prime}>q$. 然后关于 $\mathcal{B} 1 \cup \mathcal{B} 2$ ，限制 $\left\langle, \cdot>\right.$ 自 $V_{1}+V_{2}$ 是
$$
\left(\begin{array}{llll}
I_{p^{\prime}} & 0 & 0 & -I_{q^{\prime}}
\end{array}\right),
$$
这意味着 $\langle, y\rangle$ 上 $V$ 大于 $p+q$. 这是一个矛盾。我们推断 $\operatorname{dim} V_{1}=p$ 和 $\operatorname{dim} V_{2}=q$.因为 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 在没有参考基础的情况下定义，定理如下。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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