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微分几何学是一门研究光滑形状和光滑空间的几何学的数学学科，也被称为光滑流形。它使用微分计算、积分计算、线性代数和多线代数的技术。

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|微分几何代写Differential Geometry代考|Hom Space and Dual

Definition 4.1.1. Let $V$ and $W$ be two vector spaces over $K$. Denote the set of linear transformations from $V$ to $W$ by $\operatorname{Hom}_{K}(V, W)$, or simply $\operatorname{Hom}(V, W)$ if the field $K$ is understood by context.

We can define addition and multiplication by a $K$-scalar on $\operatorname{Hom}(V, W)$ in the following way. If $T_{1}, T_{2} \in \operatorname{Hom}(V, W)$, then $T_{1}+T_{2}$ is the linear transformation given by
$$
\left(T_{1}+T_{2}\right)(v) \stackrel{\text { def }}{=} T_{1}(v)+T_{1}(v) \quad \text { for all } v \in V \text {. }
$$
Also, if $\lambda \in K$ and $T \in \operatorname{Hom}(V, W)$, define the linear transformation $\lambda T$ by
$$
(\lambda T)(v) \stackrel{\text { def }}{=} \lambda(T(v)) \quad \text { for all } v \in V
$$
These definitions lead us to the following foundational proposition.
Proposition 4.1.2. Let $V$ and $W$ be vector spaces over $K$ of dimension $m$ and $n$, respectively. Then $\operatorname{Hom}(V, W)$ is a vector space over $K$, with $\operatorname{dim} \operatorname{Hom}(V, W)=$ $m n$.

Proof. We leave it to the reader to check that $\operatorname{Hom}(V, W)$ satisfies all the axioms of a vector space over $K$.

To prove that $\operatorname{dim} \operatorname{Hom}(V, W)=m n$, first choose an ordered basis $\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{m}\right)$ of $V$ and an ordered basis $\mathcal{B}^{\prime}=\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\right)$ of $W$. Define $T_{i j} \in \operatorname{Hom}(V, W)$ as the linear transformations defined by
$$
T_{i j}\left(e_{k}\right)= \begin{cases}f_{i}, & \text { if } j=k, \ 0, & \text { if } j \neq k,\end{cases}
$$
and extended by linearity over all $V$. We show that the set $\left{T_{i j}\right}$ for $1 \leq i \leq m$ and $1 \leq j \leq n$ forms a basis of $\operatorname{Hom}(V, W)$.

Because of linearity, any linear transformation $L \in \operatorname{Hom}(V, W)$ is completely defined given the knowledge of $L\left(e_{j}\right)$ for all $1 \leq j \leq m$. Suppose that for each $j$, there exist $m n$ constants $a_{j}^{i}$ in $K$, indexed by $i=1,2, \ldots, m$ and $j=1,2, \ldots, n$, such that
$$
L\left(e_{j}\right)=\sum_{i=1}^{n} a_{j}^{i} f_{i} .
$$
Then
$$
L=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{j}^{i} T_{i j},
$$and hence, $\left{T_{i j}\right}$ spans $\operatorname{Hom}(V, W)$. Furthermore, suppose that for some constants $c_{i j}$
$$
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} c_{i j} T_{i j}=\mathbf{0}
$$
the trivial linear transformation. Then for all $1 \leq k \leq m$,
$$
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} c_{i j} T_{i j}\left(e_{k}\right)=\mathbf{0} \Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} c_{i k} f_{i}=\mathbf{0} .
$$

数学代写|微分几何代写Differential Geometry代考|Bilinear Forms and Inner Products

Definition 4.2.1. Let $V$ and $W$ be vector spaces over a field $K$. A bilinear form $\langle\cdot,$,$rangle on V \times W$ is a function $V \times W \rightarrow K$ such that for all $v \in V, w \in W$, and $\lambda \in K$,
$$
\begin{aligned}
\left\langle v_{1}+v_{2}, w\right\rangle=\left\langle v_{1}, w\right\rangle+\left\langle v_{2}, w\right\rangle, &\langle\lambda v, w\rangle=\lambda\langle v, w\rangle \
\left\langle v, w_{1}+w_{2}\right\rangle=\left\langle v, w_{1}\right\rangle+\left\langle v, w_{2}\right\rangle
\end{aligned} \quad\langle v, \lambda w\rangle=\lambda\langle v, w\rangle .
$$
If $V=W$, then we say $\langle,,\rangle$, is a bilinear form on $V$.

We can restate this definition to say that for any fixed $w_{0} \in W$, the function $x \mapsto\left\langle x, w_{0}\right\rangle$ is in $V^{}$ (corresponding to $(4.15)$ ) and that for any fixed $v_{0} \in V$, the function $x \mapsto\left\langle v_{0}, x\right\rangle$ is in $W^{}$ (corresponding to (4.16)).

The notation used for a bilinear form varies widely in the literature because of the many areas in which it is used. In terms of function notation, we might encounter the functional notation $f: V \times W \rightarrow K$ or perhaps $\omega: V \times W \rightarrow K$ for a bilinear form and $\langle\cdot, \cdot\rangle$ or $(\cdot, \cdot)$ for the “product” notation. If $V=W$, we sometimes write the pair $(V, f)$ to denote the vector space $V$ equipped with the bilinear form $f$.

Example 4.2.2. In elementary linear algebra, the most commonly known example of a bilinear form on $\mathbb{R}^{n}$ is the dot product between two vectors defined in terms of standard coordinates by
$$
\vec{v} \cdot \vec{w}=v^{1} w^{1}+v^{2} w^{2}+\cdots+v^{n} w^{n} .
$$
The following functions $\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ are also bilinear forms:
$$
\begin{aligned}
&\langle\vec{v}, \vec{w}\rangle_{1}=v_{1} w_{2}+v_{2} w_{1}+v_{3} w_{3} \cdots+v_{n} w_{n} \
&\langle\vec{v}, \vec{w}\rangle_{2}=2 v_{1} w_{1}+v_{2} w_{2}+\cdots+v_{n} w_{n}+v_{1} w_{n} \
&\langle\vec{v}, \vec{w}\rangle_{3}=v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}
\end{aligned}
$$
Despite the variety depicted in the above example, bilinear forms on finite dimensional vector spaces can be completely characterized by a single matrix.

微分几何代考

数学代写|微分几何代写Differential Geometry代考| Hom Space and Dual

定义 4.1.1.让 $V$ 和 $W$ 是两个向量空间 $K$.表示线性变换的集合 $V$ 自 $W$ 由 $\mathrm{Hom}{K}(V, W)$ ，或简称 $H o m(V, W)$ 如果该字段 $K$ 通过上下文来理解。 我们可以定义加法和乘法 $K$-标量 $\operatorname{Hom}(V, W)$ 以如下方式。如果 $T{1}, T_{2} \in \operatorname{Hom}(V, W)$ 然后 $T_{1}+T_{2}$ 是由 下式给出的线性变换
$$
\left(T_{1}+T_{2}\right)(v) \stackrel{\text { def }}{=} T_{1}(v)+T_{1}(v) \quad \text { for all } v \in V
$$
此外，如果 $\lambda \in K$ 和 $T \in \operatorname{Hom}(V, W)$ ，定义线性变换 $\lambda T$ 由
$$
(\lambda T)(v) \stackrel{\text { def }}{=} \lambda(T(v)) \quad \text { for all } v \in V
$$
这些定义将我们引向以下基本命题。
命题 4.1.2.让 $V$ 和 $W$ 是向量空间 $K$ 尺寸 $m$ 和 $n$ 分别。然后 $\operatorname{Hom}(V, W)$ 是上的向量空间 $K$ 跟 $\operatorname{dim} H o m(V, W)=m n$.
证明。我们把它留给读者来检龺 $\operatorname{Hom}(V, W)$ 满足向量空间的所有公理 $K$.
要证明 $\operatorname{dim} \operatorname{Hom}(V, W)=m n$ ，首先选择有序甚准 $\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{m}\right)$ 之 $V$ 和有序的基础 $\mathcal{B}^{\prime}=\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\right)$ 之 $W$. 定义 $T_{i j} \in \operatorname{Hom}(V, W)$ 作为由定义的线性变换
$$
T_{i j}\left(e_{k}\right)=\left{f_{i}, \quad \text { if } j=k, 0, \quad \text { if } j \neq k,\right.
$$
并通过整体线性度进行扩展V. 我们展示的集合缺少或无法识别 \left 的分隔符
为 $1 \leq i \leq m$ 和 $1 \leq j \leq n$ 形成基础 $\operatorname{Hom}(V, W)$.
由于线性，任何线性变换 $L \in \operatorname{Hom}(V, W)$ 是完全定义的给定知识 $L\left(e_{j}\right)$ 面向所有人 $1 \leq j \leq m$. 假设对于每个 $j$ ，则存在 $m n$ 常数 $a_{j}^{i}$ 在 $K$ ，累引者 $i=1,2, \ldots, m$ 和 $j=1,2, \ldots, n$ ，使得
$$
L\left(e_{j}\right)=\sum_{i=1}^{n} a_{j}^{i} f_{i} .
$$
$$
L=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{j}^{i} T_{i j},
$$
因此，缺少或无法识别 《left 的分隔符
跨越 $\operatorname{Hom}(V, W)$. 此外，假设对于某些常量 $c_{i j}$
$$
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} c_{i j} T_{i j}=\mathbf{0}
$$
平凡的线性变换。然后对于所有人 $1 \leq k \leq m$ ，
$$
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} c_{i j} T_{i j}\left(e_{k}\right)=\mathbf{0} \Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} c_{i k} f_{i}=\mathbf{0} .
$$

数学代写|微分几何代写Differential Geometry代考| Bilinear Forms and Inner Products

定义 4.2.1.让 $V$ 和 $W$ 是字段上的向量空间 $K$. 双线性形式 $\langle\cdot$, rangleon $V \times W$ 是一个函数 $V \times W \rightarrow K$ 这样，对于所有 $v \in V, w \in W$ 和 $\lambda \in K$,
$$
\left\langle v_{1}+v_{2}, w\right\rangle=\left\langle v_{1}, w\right\rangle+\left\langle v_{2}, w\right\rangle,\langle\lambda v, w\rangle=\lambda\langle v, w\rangle\left\langle v, w_{1}+w_{2}\right\rangle=\left\langle v, w_{1}\right\rangle+\left\langle v, w_{2}\right\rangle \quad\langle v, \lambda w\rangle=\lambda\langle v, w\rangle .
$$
如果 $V=W$ ，然后我们说 $\langle,,$,$rangle ，是 上的双线性形式 V$.
我们可以重申这个定义，说对于任何固定 $w_{0} \in W$ ，函数 $x \mapsto\left\langle x, w_{0}\right\rangle$ 位于 $V$ (对应于 $(4.15)$ ) 和任何固定的 $v_{0} \in V$ ，函数 $x \mapsto\left\langle v_{0}, x\right\rangle$ 位于 $W$ (对应于 (4.16) 。
用于双线性形式的符号在文献中差异很大，因为它被用于许茤领域。在函数表示法方面，我们可能会遇到函数表示法 $f: V \times W \rightarrow K$ 或者也许 $\omega: V \times W \rightarrow K$ 对于双线性形 式和 $(\cdot, \cdot)$ 或 $(\cdot, \cdot)$ 对于”产品”表示法。如果 $V=W ，$ 我们有时写对 $(V, f)$ 表示向量空间 $V$ 配备双线性形式 $f$.
例 4.2.2.在初等线性代数中，最广为人知的双线性形式示例 $\mathbb{R}^{n}$ 是两个向量之间的点积，根据标准坐标定义
$$
\vec{v} \cdot \vec{w}=v^{1} w^{1}+v^{2} w^{2}+\cdots+v^{n} w^{n} .
$$
以下功能 $\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ 也是双线性形式:
$$
\langle\vec{v}, \vec{w}\rangle_{1}=v_{1} w_{2}+v_{2} w_{1}+v_{3} w_{3} \cdots+v_{n} w_{n} \quad\langle\vec{v}, \vec{w}\rangle_{2}=2 v_{1} w_{1}+v_{2} w_{2}+\cdots+v_{n} w_{n}+v_{1} w_{n}\langle\vec{v}, \vec{w}\rangle_{3}=v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}
$$
尽管上面的例子中描述了多样性，但有限維向量空间上的双线性形式可以完全由单个矩阵表征。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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