数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH1014

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Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|MATH1014

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Subgroups Generated by a Subset

Let $S$ be a subset of a group $G$. Since subgroups of $G$ are closed under the operation and under taking inverses, any subgroup of $G$ that contains $S$ must contain all elements obtained by repeated operations or inverses from elements in $S$.
Definition 1.7.1
Let $S$ be a nonempty subset of a group $G$. We define $\langle S\rangle$ as the subset of words made from elements in $S$, that is to say
$$
\langle S\rangle=\left{s_{1}^{\alpha_{1}} s_{2}^{\alpha_{2}} \cdots s_{n}^{\alpha_{n}} \mid n \in \mathbb{N}, s_{i} \in S, \alpha_{i} \in \mathbb{Z}\right}
$$
Note that the $s_{i}$ are not necessarily distinct.
Proposition 1.7.2
For any nonempty subset $S$ of a group $G,\langle S\rangle \leq G$.
Proof. First of all $\langle S\rangle$ is nonempty since it contains $S$. For any two elements $x=s_{1}^{\alpha_{1}} s_{2}^{\alpha_{2}} \cdots s_{n}^{\alpha_{n}}$ and $y=t_{1}^{\beta_{1}} t_{2}^{\beta_{2}} \cdots t_{m}^{\beta_{m}}$ in $\langle S\rangle$, we have
$$
x y^{-1}=s_{1}^{\alpha_{1}} s_{2}^{\alpha_{2}} \cdots s_{n}^{\alpha_{n}} t_{m}^{-\beta_{m}} \cdots t_{2}^{-\beta_{2}} t_{1}^{-\beta_{1}} .
$$
This product is again an element of $\langle S\rangle$ so by the One-Step Subgroup Criterion $\langle S\rangle \leq G$

By virtue of Proposition $1.7 .2,\langle S\rangle$ is called the subgroup generated by $S$. (In the analogy with vector spaces, a subgroup generated by a subset is like the span of a set of elements in a vector space, which is a subspace.)

数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Center, Centralizer, Normalizer

Proposition $1.7 .2$ gave us a way to construct subgroups of a group. However, a number of subsets defined in terms of equations also turn out to always be subgroups. Many play central roles in understanding the internal structure of a group so we present a few such subgroups here.

Proof. Note that $1 \in Z(G)$, so $Z(G)$ is nonempty. Let $x, y \in Z(G)$. Then
$$
(x y) g=x(y g)=x(g y)=(x g) y=(g x) y=g(x y)
$$
so $Z(G)$ is closed under the operation. Let $x \in Z(G)$. By definition $x g=g x$ so $g=x^{-1} g x$ and $g x^{-1}=x^{-1} g$. Thus, $x^{-1} \in Z(G)$ and we conclude that $Z(G)$ is closed under taking inverses.

Note that $Z(G)=G$ if and only if $G$ is abelian. On the other hand, $Z(G)={1}$ means that the identity is the only element that commutes with every other element. Intuitively speaking, $Z(G)$ gives a measure of how far $G$ is from being abelian. The center itself is an abelian subgroup. However, $Z(G)$ is not necessarily the largest abelian subgroup of $G$.

Example 1.7.9. Let $F$ be $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$, or $\mathbb{F}{p}$ (where $p$ is prime). In this example, we prove that $$ Z\left(G L{n}(F)\right)={a I \mid a \neq 0},
$$
where $I$ is the identity matrix in $\mathrm{GL}{n}(F)$. By properties of matrix multiplication, for all matrices $B \in \mathrm{GL}{n}(F)$ we have $B(a I)=a(B I)=a B=(a I) B$. Hence, ${a I \mid a \neq 0} \subseteq Z\left(\mathrm{GL}_{n}(F)\right)$. The difficulty lies is proving the reverse inclusion.

Suppose $1 \leq i, j \leq n$ with $i \neq j$. Let $E_{i j}$ be the $n \times n$ matrix consisting of zeros in all entries except for a 1 in the $(i, j)$ th entry. The matrix $E_{i j}$ is not in $\mathrm{GL}{n}(F)$ but $I+E{i j}$ is, since $\operatorname{det}\left(I+E_{i j}\right)=1$. Since $B I=I B$ for all $B \in \mathrm{GL}{n}(F)$, then $B\left(I+E{i j}\right)=\left(I+E_{i j}\right) B$ if and only if $B E_{i j}=E_{i j} B$. Thus, all $B \in Z\left(\mathrm{GL}{n}(F)\right)$ satisfy the matrix product $B E{i j}=E_{i j} B$.

The matrix product $B E_{1 j}$ is the matrix of zeros everywhere except for its $j$ th column being the first column of $B$. Similarly, $E_{1 j} B$ is the matrix of zeros everywhere except for its first row being the $j$ th row of $B$. (See Exercise 1.7.16.) Thus, for a particular $j \geq 2$, the identity $B E_{1 j}=E_{1 j} B$ implies that
$$
b_{j k}= \begin{cases}0 & \text { if } k \neq j \ b_{11} & \text { if } k=j .\end{cases}
$$
If $B \in Z\left(\mathrm{GL}{n}(F)\right)$, then $B E{1 j}=E_{1 j} B$ for all pairs $2 \leq j \leq n$. Therefore, all off-diagonal elements of $B$ are zero and $b_{j j}=b_{11}$ for all $j$, i.e., all diagonal elements of $B$ are equal. This establishes $Z\left(\mathrm{GL}_{n}(F)\right) \subseteq{a I \mid a \neq 0}$ and we deduce (1.7).

抽象代数代写

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让 $S$ 成为一个组的子集 $G$. 由于子群 $G$ 在操作和取逆的情况下是封闭的，任何子群 $G$ 包含 $S$ 必须包含通过重复运算或从 $S$.
定义 $1.7 .1$
让 $S$ 是一个组的非空子集 $G$. 我们定义 $\langle S\rangle$ 作为由元素组成的单词的子集 $S ，$ 也就是说
lleft 的分隔符缺失或无法识别
请注意， $s_{i}$ 不一定不同。
命题 1.7.2
对于任何非空子集 $S$ 一组的 $G,\langle S\rangle \leq G$.
$$
x y^{-1}=s_{1}^{\alpha_{1}} s_{2}^{\alpha_{2}} \cdots s_{n}^{\alpha_{n}} t_{m}^{-\beta_{m}} \cdots t_{2}^{-\beta_{2}} t_{1}^{-\beta_{1}} .
$$
该产品再次成为 $\langle S\rangle$ 所以由一步亚组准则 $\langle S\rangle \leq G$
凭借命题1.7.2, $\langle S\rangle$ 被称为生成的子群 $S$. (与向量空间类比，子集生成的子群就像向量空间中一组元素的跨度，也就是一个子空间。)

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主张1.7.2给了我们一种构建组子组的方法。然而，根据方程定义的许多子集也证明总是子群。许多人在理解一个群体的内部结构方面发挥着核心作用，所以我们在这里展示一些这样的子群体。
证明。注意 $1 \in Z(G)$ ，所以 $Z(G)$ 是非空的。让 $x, y \in Z(G)$. 然后
$$
(x y) g=x(y g)=x(g y)=(x g) y=(g x) y=g(x y)
$$
所以 $Z(G)$ 在操作下关闭。让 $x \in Z(G)$. 根据定义 $x g=g x$ 所以 $g=x^{-1} g x$ 和 $g x^{-1}=x^{-1} g$. 因此， $x^{-1} \in Z(G)$ 我们得出结论 $Z(G)$ 在取逆的情况下是封闭的。
注意 $Z(G)=G$ 当且仅当 $G$ 是阿贝尔。另一方面， $Z(G)=1$ 意味看身份是唯一与其他所有元素交换的元素。直观地说， $Z(G)$ 给出距离的量度 $G$ 来自阿贝尔。中心本身是一个阿贝尔子群。然而， $Z(G)$ 不一定是最大的阿贝尔子群 $G$.
示例 1.7.9。让 $F$ 是 $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ ，或者 $\mathbb{F} p$ (在哪里 $p$ 是素数)。在这个例子中，我们证明
$$
Z(G \operatorname{Ln}(F))=a I \mid a \neq 0,
$$
在哪里 $I$ 是单位矩阵 $\mathrm{GL} n(F)$. 通过矩阵乘法的性质，对于所有矩阵 $B \in \operatorname{GL} n(F)$ 我们有 $B(a I)=a(B I)=a B=(a I) B$. 因此， $a I \mid a \neq 0 \subseteq Z\left(\mathrm{GL}{n}(F)\right)$. 困难在于证明反向包含。认为 $1 \leq i, j \leq n$ 和 $i \neq j$. 让 $E{i j}$ 成为 $n \times n$ 矩阵由除 1 之外的所有条目中的零组成 $(i, j)$ 条目。矩阵 $E_{i j}$ 不在 $\mathrm{GL} n(F)$ 但 $I+E i j$ 是，因为 $\operatorname{det}\left(I+E_{i j}\right)=1$. 自从 $B I=I B$ 对所有人 $B \in \operatorname{GLn}(F)$ ，然后 $B(I+E i j)=\left(I+E_{i j}\right) B$ 当且仅当 $B E_{i j}=E_{i j} B$. 因此，所有 $B \in Z(\mathrm{GLn}(F))$ 满足矩阵乘积 $B E i j=E_{i j} B$.
矩阵乘积 $B E_{1 j}$ 是零矩阵，除了它的 $j$ th 列是的第一列 $B$. 相似地， $E_{1 j} B$ 是零矩阵，除了它的第一行是 $j$ 第行 $B$. (见习题 1.7.16。) 因此，对于一个特定的 $j \geq 2$ ，身份 $B E_{1 j}=E_{1 j} B$ 暗示
$$
b_{j k}=\left{0 \quad \text { if } k \neq j b_{11} \quad \text { if } k=j .\right.
$$
如果 $B \in Z(\mathrm{GL} n(F))$ ，然后 $B E 1 j=E_{1 j} B$ 对于所有对 $2 \leq j \leq n$. 因此，所有非对角元素 $B$ 为零并且 $b_{j j}=b_{11}$ 对所有人 $j$, 即所有对角元素 $B$ 是平等的。这确立了 $Z\left(\mathrm{GL}_{n}(F)\right) \subseteq a I \mid a \neq 0$ 我们推导出 (1.7)。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

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回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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