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抽象代数是代数的一组高级课题，涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。
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数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Homomorphisms
The operation inside the function on the left-hand side is an operation in $G$ while the operation on the right-hand side occurs in the group $H$. With abstract group notation, we write (1.8) as
$$
\varphi\left(g_{1} g_{2}\right)=\varphi\left(g_{1}\right) \varphi\left(g_{2}\right)
$$
but must remember that the group operations occur in different groups.
Example 1.9.2. Fix a positive real number $b$ and consider the function $f(x)=b^{x}$. Power rules state that for all $x, y \in \mathbb{R}, b^{x+y}=b^{x} b^{y}$. In the language of group theory, this identity can be restated by saying that the exponential function $f(x)=b^{x}$ is a homomorphism from $(\mathbb{R},+)$ to $\left(\mathbb{R}^{*}, \times\right)$.
Example 1.9.3. The function of inclusion $f:(\mathbb{Z},+) \rightarrow(\mathbb{R},+)$ given by $f(x)=x$ is a homomorphism.
Example 1.9.4. The function $f: Z_{n} \rightarrow Z_{n}$ given by $f(x)=x^{2}$ is a homomorphism. Let $z$ be a generator of $Z_{n}$. Then for all $z^{a}, z^{b} \in Z_{n}$,
$$
f\left(z^{a} z^{b}\right)=\left(z^{a} z^{b}\right)^{2}=\left(z^{a+b}\right)^{2}=z^{2(a+b)}=z^{2 a+2 b}=z^{2 a} z^{2 b}=f\left(z^{a}\right) f\left(z^{b}\right) . \quad \triangle
$$
Example 1.9.5. Consider the direct sum $Z_{2} \oplus Z_{2}$, where each $Z_{2}$ has generator $z$. Consider the function $\varphi: Q_{8} \rightarrow Z_{2} \oplus Z_{2}$ defined by
$$
\varphi(\pm 1)=(e, e) \quad \varphi(\pm i)=(z, e) \quad \varphi(\pm j)=(e, z) \quad \varphi(\pm k)=(z, z)
$$
This is a homomorphism but in order to verify it, we must check that $\varphi$ satisfies (1.8) for all 64 products of terms in $Q_{8}$. However, we can cut down the work. First notice that for all terms $a, b \in{1, i, j, k}$, the products $(\pm a)(\pm b)=\pm(a b)$ with the sign as appropriately defined. The following table shows $\varphi(a b)$ with $a$ in the columns and $b$ in the rows.
数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Isomorphisms
We have seen some examples where groups, though presented differently, may actually look strikingly the same. For example $\left(Z_{n}, \tau^{-}\right)$and $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ behave identically and likewise for $(\mathbb{Z},+)$ and $(2 \mathbb{Z},+)$, where $2 \mathbb{Z}$ means all even numbers. This raises the questions (1) when should we call two groups the same and (2) what would doing so mean.
Definition 1.9.16
Let $G$ and $H$ be two groups. A function $\varphi: G \rightarrow H$ is called an isomorphism if (1) $\varphi$ is a homomorphism and (2) $\varphi$ is a bijection. If there exists an isomorphism between two groups $G$ and $H$, then we say that $G$ and $H$ are $i$ somorphic and we write $G \cong H$.
When two groups are isomorphic, they are for all intents and purposes of group theory the same. We could have defined an isomorphism as a bijection $\varphi$ such that both $\varphi$ and $\varphi^{-1}$ are both homomorphisms. However, this turns out to be heavier than necessary as the following proposition shows.
Proposition 1.9.17
If $\varphi$ is an isomorphism (as defined in Definition $1.9 .16$ ), then $\varphi^{-1}$ : $H \rightarrow G$ is a homomorphism.
Proof. (Left as an exercise for the reader. See Exercise 1.9.25.)
抽象代数代写
数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Homomorphisms
左侧函数内部的操作是 $G$ 而右侧的操作发生在组中 $H$. 使用抽象群符号，我们将 (1.8) 写为
$$
\varphi\left(g_{1} g_{2}\right)=\varphi\left(g_{1}\right) \varphi\left(g_{2}\right)
$$
但必须记住，组操作发生在不同的组中。
示例 1.9.2。修正一个正实数 $b$ 并考虑函数 $f(x)=b^{x}$. 权力规则规定，对于所有人 $x, y \in \mathbb{R}, b^{x+y}=b^{x} b^{y}$. 用群论的语言，这个恒等式可以 通过说指数函数来重申 $f(x)=b^{x}$ 是从 $(\mathbb{R},+)$ 至 $\left(\mathbb{R}^{*}, \times\right)$.
示例 1.9.3。包容的作用 $f:(\mathbb{Z},+) \rightarrow(\mathbb{R},+)$ 由 $f(x)=x$ 是同态。
示例 1.9.4。功能 $f: Z_{n} \rightarrow Z_{n}$ 由 $f(x)=x^{2}$ 是同态。让 $z$ 成为 $Z_{n}$. 那么对于所有人 $z^{a}, z^{b} \in Z_{n}$ ～
$$
f\left(z^{a} z^{b}\right)=\left(z^{a} z^{b}\right)^{2}=\left(z^{a+b}\right)^{2}=z^{2(a+b)}=z^{2 a+2 b}=z^{2 a} z^{2 b}=f\left(z^{a}\right) f\left(z^{b}\right) . \quad \triangle
$$
示例 1.9.5。考虑直接和 $Z_{2} \oplus Z_{2}$, 其中每个 $Z_{2}$ 有发电机 $z$. 考虑函数 $\varphi: Q_{8} \rightarrow Z_{2} \oplus Z_{2}$ 被定义为
$$
\varphi(\pm 1)=(e, e) \quad \varphi(\pm i)=(z, e) \quad \varphi(\pm j)=(e, z) \quad \varphi(\pm k)=(z, z)
$$
这是一个同态，但为了验证它，我们必须检查 $\varphi$ 满足 (1.8) 对于所有 64 项的产品 $Q_{8}$. 但是，我们可以减少工作量。首先请注意，对于所有 术语 $a, b \in 1, i, j, k$ ，产品 $(\pm a)(\pm b)=\pm(a b)$ 带有适当定义的标志。下表显示 $\varphi(a b)$ 和 $a$ 在列和 $b$ 在行中。
数学代写|抽象代数作业代写abstract algebra代考|Isomorphisms
我们已经看到了一些示例，其中组虽然呈现方式不同，但实际上可能看起来惊人地相同。例如 $\left(Z_{n}, \tau^{-}\right)$和 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 行为相同且同样适 用于 $(\mathbb{Z},+)$ 和 $(2 \mathbb{Z},+)$ ， 在哪里 $2 \mathbb{Z}$ 表示所有偶数。这就提出了以下问题: (1) 我们什么时候应该称两个组相同， (2) 这样做意味着什 么。
定义 $1.9 .16$
让 $G$ 和 $H$ 成为两组。一个函数 $\varphi: G \rightarrow H$ 如果 (1) 称为同构 $\varphi$ 是同态和 (2) $\varphi$ 是双射。如果两个组之间存在同构 $G$ 和 $H$ ，那么我们说 $G$ 和 $H$ 是 $i$ 同构，我们写 $G \cong H$.
当两个群是同构的时，它们在群论的所有意图和目的上都是相同的。我们可以将同构定义为双射 $\varphi$ 这样既 $\varphi$ 和 $\varphi^{-1}$ 都是同态。然而，正如
下面的命题所示，这比必要的要重。
命题 $1.9 .17$
如果 $\varphi$ 是同构 (定义见定义 $1.9 .16)$ ，然后 $\varphi^{-1}: H \rightarrow G_{\text {是同态。 }}^{\text {。 }}$
证明。（留给读者作为练习。见练习 1.9.25。)
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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