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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Space Filtration
Consider a real-valued function $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{R}$ defined on a topological space T. Let $\mathbb{T}{a}=f^{-1}(-\infty, a$ ] denote the sublevel set for the function value $a$. Certainly, we have inclusions: $$ \mathbb{T}{a} \subset \mathbb{T}{b} \text { for } a \leq b \text {. } $$ Now consider a sequence of reals $a{1} \leq a_{2} \leq \cdots \leq a_{n}$ which are often chosen to be critical values where the homology group of the sublevel sets change as illustrated in Figure 3.2. Considering the sublevel sets at these values and a dummy value $a_{0}=-\infty$ with $\mathbb{T}{a{0}}=\varnothing$, we obtain a nested sequence of subspaces of $\mathbb{T}$ connected by inclusions which gives a filtration $\mathfrak{F}{f}$ : $$ \mathcal{F}{f}: \varnothing=\mathbb{T}{a{0}} \hookrightarrow \mathbb{T}{a{1}} \hookrightarrow \mathbb{T}{a{2}} \hookrightarrow \cdots \hookrightarrow \mathbb{T}{a{n}} .
$$
Figure $3.2$ shows an example of the inclusions of the sublevel sets. The inclusions in a filtration induce linear maps in the singular homology groups of the subspaces involved. So, if $\iota: \mathbb{T}{a{i}} \rightarrow \mathbb{T}{a{j}}, i \leq j$, denotes the inclusion map $x \mapsto x$, we have an induced homomorphism
$$
h_{p}^{i, j}=\iota_{*}: \mathrm{H}{p}\left(\mathbb{T}{a_{i}}\right) \rightarrow \mathrm{H}{p}\left(\mathbb{T}{a_{j}}\right)
$$
for all $p \geq 0$ and $0 \leq i \leq j \leq n$. Therefore, we have a sequence of homomorphisms induced by inclusions forming what we call a homology module:
$$
0=\mathrm{H}{p}\left(\mathbb{T}{a_{0}}\right) \rightarrow \mathrm{H}{p}\left(\mathbb{T}{a_{1}}\right) \rightarrow \mathrm{H}{p}\left(\mathbb{T}{a_{2}}\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H}{p}\left(\mathbb{T}{a_{n}}\right) .
$$
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Simplicial Filtrations and Persistence
Persistence on topological spaces involves computing singular homology groups for sublevel sets. Computationally, this is cumbersome. So, we take refuge in the discrete analogue of the topological persistence. This involves two important adaptations: first, the topological space is replaced with a simplicial complex; second, singular homology groups are replaced with simplicial homology groups. This means that the topological space $\mathbb{I}$ considered before is replaced with one of its triangulations, as Figure $3.4$ illustrates. For point cloud data, the union of balls can be replaced by their nerve, the Cech complex or its cousin Vietoris-Rips complex introduced in Section 2.2. Figure $3.5$ illustrates this conversion for example in Figure 3.3. Of course, these replacements need to preserve the original persistence in some sense, which is addressed in general by the notion of stability introduced in Section 3.4.
The nested sequence of topological spaces that arise with growing sublevel sets translates into a nested sequence of simplicial complexes in the discrete analogue. This brings in the concept of filtration of simplicial complexes that allows defining the persistence using simplicial homology groups.
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Persistence Diagram
Fact $3.3$ provides a qualitative characterization of the pairing of births and deaths of classes. Now we give a quantitative characterization which helps to draw a visual representation of this pairing called a persistence diagram; see Figure $3.8$ (a). Consider the extended plane $\overline{\mathbb{R}}^{2}:=(\mathbb{R} \cup{\pm \infty})^{2}$ on which we represent the birth at $a_{i}$ paired with the death at $a_{j}$ as a point $\left(a_{i}, a_{j}\right)$. This pairing uses a persistence pairing function $\mu_{p}^{l, J}$ defined below. Strictly positive valuēs of this function corres̄pond to multip̄licities of points in the peresisténce diagram (Definition 3.8). In what follows, to account for classes that never die, we extend the induced module in Eq. (3.3) on the right end by assuming that $\mathrm{H}{p}\left(X{n+1}\right)=0$
Definition 3.6. For $0<i<j \leq n+1$, define
$$
\mu_{p}^{l, j}=\left(\beta_{p}^{l, j-1}-\beta_{p}^{l, j}\right)-\left(\beta_{p}^{l-1, j-1}-\beta_{p}^{l-1, j}\right)
$$
The first difference on the right-hand side counts the number of independent classes that are born at or before $X_{i}$ and die entering $X_{j}$. The second difference counts the number of independent classes that are born at or before $X_{i-1}$ and die entering $X_{j}$. The difference between the two differences thus counts the number of independent classes that are born at $X_{i}$ and die entering $X_{j}$. When $j=n+1, \mu_{p}^{i, n+1}$ counts the number of independent classes that are born at $X_{i}$ and die entering $X_{n+1}$. They remain alive till the end in the original filtration without extension, or we say that they never die. To emphasize that classes which exist in $X_{n}$ actually never die, we equate $n+1$ with $\infty$ and take $a_{n+1}=$ $a_{\infty}=\infty$. Observe that, with this assumption, we have $\beta^{i, n+1}=\beta^{i, \infty}=0$ for every $i \leq n$.
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Space Filtration
考虑一个实值函数 $f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{R}$ 在拓扑空间 $\mathrm{T}$ 上定义。让 $\mathbb{T} a=f^{-1}(-\infty, a]$ 表示函数值的子级别集 $a$. 当然，我们有包含:
$$
\mathbb{T} a \subset \mathbb{T} b \text { for } a \leq b .
$$
现在考虑一个实数序列 $a 1 \leq a_{2} \leq \cdots \leq a_{n}$ 它们通常被选为临界值，其中子水平集的同调群发生变化，如图 $3.2$ 所示。考虑在这些值和 虚拟值的子级别集 $a_{0}=-\infty$ 和 $\mathbb{T} a 0=\varnothing$ ，我们得到一个嵌套的子空间序列 $\mathbb{T}$ 由提供过滤的夹杂物连接 $\mathfrak{F} f:$
$$
\mathcal{F} f: \varnothing=\mathbb{T} a 0 \hookrightarrow \mathbb{T} a 1 \hookrightarrow \mathbb{T} a 2 \hookrightarrow \cdots \hookrightarrow \mathbb{T} a n .
$$
数字 $3.2$ 显示了包含子级别集的示例。过滤中的包含在所涉及的子空间的奇异同源群中产生线性映射。因此，如果 $\iota: \mathbb{T} a i \rightarrow \mathbb{T} a j, i \leq j$, 表示包含图 $x \mapsto x_{r}$ 我们有一个诱导同态
$$
h_{p}^{i, j}=\iota_{*}: \mathrm{H} p\left(\mathbb{T} a_{i}\right) \rightarrow \mathrm{H} p\left(\mathbb{T} a_{j}\right)
$$
对所有人 $p \geq 0$ 和 $0 \leq i \leq j \leq n$. 因此，我们有一系列由包含引起的同态，形成我们所谓的同调模块:
$$
0=\mathrm{H} p\left(\mathbb{T} a_{0}\right) \rightarrow \mathrm{H} p\left(\mathbb{T} a_{1}\right) \rightarrow \mathrm{H} p\left(\mathbb{T} a_{2}\right) \rightarrow \cdots \rightarrow \mathrm{H} p\left(\mathbb{T} a_{n}\right) .
$$
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Simplicial Filtrations and Persistence
拓扑空间的持久性涉及计算子水平集的奇异同调群。在计算上，这很麻烦。因此，我们在拓扑持久性的离散模拟中寻求庇护。这涉及到两 个重要的调整：首先，拓扑空间被单纯复形所取代：其次，奇异同调群被单纯同调群取代。这意味着拓扑空间发之前考虑的被替换为其三 角剖分之一，如图3.4说明。对于点云数据，球的联合可以用它们的神经、Cech 复合体或其表亲 Vietoris-Rips 复合体代替，在 $2.2$ 节中介 绍。数字 $3.5$ 图 $3.3$ 举例说明了这种转换。当然，这些替换需要在某种意义上保留原始的持久性，这通常通过第 $3.4$ 节中介绍的稳定性概 念来解决。
随着子水平集的增长而出现的拓扑空间的嵌套序列转化为离散模拟中单纯复形的嵌套序列。这引入了单纯复形过滤的概念，允许使用单纯 同源群来定义持久性。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Persistence Diagram
事实 $3.3$ 提供了类的出生和死亡配对的定性特征。现在我们给出一个定量表征，它有助于绘制这种配对的可视化表示，称为持久图；见图 $3.8$ (一个)。考虑扩展平面 $\overline{\mathbb{R}}^{2}:=(\mathbb{R} \cup \pm \infty)^{2}$ 我们代表出生在 $a_{i}$ 与死亡配对 $a_{j}$ 作为一个点 $\left(a_{i}, a_{j}\right)$. 此配对使用持久配对功能 $\mu_{p}^{l, J}$ 定义如 下。该函数的严格正值对应于持久图中点的多重性（定义 3.8）。在下文中，为了解释永不消亡的类，我们扩展了等式中的诱导模块。
(3.3) 在右端假设 $\mathrm{H} p(X n+1)=0$
定义 3.6。为了 $0<i<j \leq n+1$ ，定义
$$
\mu_{p}^{l, j}=\left(\beta_{p}^{l, j-1}-\beta_{p}^{l, j}\right)-\left(\beta_{p}^{l-1, j-1}-\beta_{p}^{l-1, j}\right)
$$
右侧的第一个差异计算在或之前出生的独立班级的数量 $X_{i}$ 死去 $X_{j}$. 第二个差异计算在或之前出生的独立班级的数量 $X_{i-1}$ 死去 $X_{j}$. 因此， 这两个差异之间的差异计算了出生于 $X_{i}$ 死去 $X_{j}$. 什么时候 $j=n+1, \mu_{p}^{i, n+1}$ 计算出生于的独立班级的数量 $X_{i}$ 死去 $X_{n+1}$. 它们在原始过滤 中一直存活到最后，没有扩展，或者我们说它们永远不会死。强调存在于 $X_{n}$ 实际上永远不会死，我们等同于 $n+1$ 和 $\infty$ 并采取 $a_{n+1}=$ $a_{\infty}=\infty$. 观察到，在这个假设下，我们有 $\beta^{i, n+1}=\beta^{i, \infty}=0$ 对于每个 $i \leq n$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
