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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Induced Homology
Continuous functions from a topological space to another topological space take cycles to cycles and boundaries to boundaries. Therefore, they induce a map in their homology groups as well. Here we will restrict ourselves only to simplicial complexes and simplicial maps that are the counterpart of continuous maps between topological spaces. Simplicial maps between simplicial complexes take cycles to cycles and boundaries to boundaries with the following definition.
Definition 2.27. (Chain map) Let $f: K_{1} \rightarrow K_{2}$ be a simplicial map. The chain map $f_{#}: \mathrm{C}{p}\left(K{1}\right) \rightarrow \mathrm{C}{p}\left(K{2}\right)$ corresponding to $f$ is defined as follows. If $c=\sum \alpha_{i} \sigma_{i}$ is a $p$-chain, then $f_{#}(c)=\sum \alpha_{i} \tau_{i}$ where
$$
\tau_{i}= \begin{cases}f\left(\sigma_{i}\right), & \text { if } f\left(\sigma_{i}\right) \text { is a } p \text {-simplex in } K_{2}, \ 0, & \text { otherwise. }\end{cases}
$$
For example, in Figure $2.12$, the 1 -cycle $b c+c d+d b$ in $K_{1}$ is mapped to the 1 -chain $e g+e g=0$ by the chain map $f_{#}$.
Proposition 2.9. Let $f: K_{1} \rightarrow K_{2}$ be a simplicial map. Let $\partial_{p}^{K_{1}}$ and $\partial_{p}^{K_{2}}$ denote the boundary homomorphisms in dimension $p \geq 0$. Then, the induced chain maps commute with the boundary homomorphisms, that is, $f_{#} \circ \partial_{p}^{K_{1}}=$ $\partial_{p}^{K_{2}} \circ f_{#}$
The statement in the above proposition can also be represented with the following diagram, which we say commutes since starting from the top left corner, one reaches the same chain at the lower right corner using both paths first going right and then down, or first going down and then right (see Definition $3.15$ in the next chapter).
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Singular Homology
So far we have considered only simplicial homology which is defined on a simplicial complex without any assumption of a particular topology. Now, we extend this definition to topological spaces. Let $X$ be a topological space. We bring the notion of simplices in the context of $X$ by considering maps from the standard $d$-simplices to $X$. A standard $p$-simplex $\Delta^{p}$ is defined by the convex hull of $p+1$ points $\left{\left(x_{1}, \ldots, x_{i}, \ldots, x_{p+1}\right) \mid x_{i}=1\right.$ and $x_{j}=0$ for $j \neq i}_{i=1, \ldots, p+1}$ in $\mathbb{R}^{p+1}$.
Definition 2.28. (Singular simplex) A singular $p$-simplex for a topological space $X$ is defined as a map $\sigma: \Delta^{p} \rightarrow X$.
Notice that the map $\sigma$ need not be injective and thus $\Delta^{p}$ may be “squashed” arbitrarily in its image. Nevertheless, we can still have a notion of the chains, boundaries, and cycles which are the main ingredients for defining a homology group called the singular homology of $X$.
The boundary of a $p$-simplex $\sigma$ is given by $\partial \sigma=\tau_{0}+\tau_{2}+\cdots+\tau_{p}$ where $\tau_{i}:\left(\partial \Delta^{p}\right){i} \rightarrow X$ is the restriction of the map $\sigma$ on the $i$-th facet $\left(\partial \Delta^{p}\right){i}$ of $\Delta^{p}$
A $p$-chain is a sum of singular $p$-simplices with coefficients from integers, reals, or some appropriate rings. As before, under our assumption of $\mathbb{Z}{2}$ coefficients, a singular $p$-chain is given by $\sum{i} \alpha_{i} \sigma_{i}$ where $\alpha_{i}=0$ or 1 . The boundary of a singular $p$-chain is defined the same way as we did for simplicial chains, the only difference being that we have to accommodate for infinite chains:
$$
\partial\left(c_{p}=\sigma_{1}+\sigma_{2}+\cdots\right)=\partial \sigma_{1}+\partial \sigma_{2}+\cdots
$$
We get the usual chain complex with $\partial_{p} \circ \partial_{p-1}=0$ for all $p>0$
$$
\ldots \stackrel{\partial_{p+1}}{\rightarrow} \mathrm{C}{p} \stackrel{\partial{p}}{\rightarrow} \mathrm{C}{p-1} \stackrel{\partial{p-1}}{\rightarrow} \cdots
$$
and can define the cycle and boundary groups as $Z_{p}=$ ker $\partial_{p}$ and $\mathbf{B}{p}=$ $\operatorname{im} \partial{p+1}$. We have the singular homology defined as the quotient group $\mathrm{H}{p}=$ $Z{p} / \mathrm{B}_{p}$
A useful fact is that singular and simplicial homology coincide when both are well defined.
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Cochains, Coboundaries, and Cocycles
A $p$-cochain is a homomorphism $\phi: \mathrm{C}{p} \rightarrow \mathbb{Z}{2}$ from the chain group to the coefficient ring over which $C_{p}$ is defined which is $\mathbb{Z}{2}$ here. In this case, a $p$ cochain $\phi$ is given by its evaluation $\phi(\sigma)(0$ or 1$)$ on every $p$-simplex $\sigma$ in $K$, or more precisely, a $p$-chain $c=\sum{i=1}^{m_{p}} \alpha_{i} \sigma_{i}$ gets a value
$$
\phi(c)=\alpha_{1} \phi\left(\sigma_{1}\right)+\alpha_{2} \phi\left(\sigma_{2}\right)+\cdots+\alpha_{m_{p}} \phi\left(\sigma_{m_{p}}\right)
$$
Also, verify that $\phi\left(c+c^{\prime}\right)=\phi(c)+\phi\left(c^{\prime}\right)$ satisfying the property of group homomorphism. For a chain $c$, the particular cochain that assigns 1 to a simplex if and only if it has a nonzero coefficient in $c$ is called its dual cochain $c^{*}$. The $p$-cochains form a cochain group $C^{p}$ dual to $C_{p}$ where the addition is defined by $\left(\phi+\phi^{\prime}\right)(c)=\phi(c)+\phi^{\prime}(c)$ by taking $\mathbb{Z}{2}$-addition on the right. We can also define a scalar multiplication $(\alpha \phi)(c)=\alpha \phi(c)$ by using the $\mathbb{Z}{2}$-multiplication. This makes $C^{p}$ a vector space.
Similar to boundaries of chains, we have the notion of coboundaries of cochains $\delta_{p}: \mathrm{C}^{p} \rightarrow \mathrm{C}^{p+1}$. Specifically, for a $p$-cochain $\phi$, its $(p+1)$ coboundary is given by the homomorphism $\delta \phi: \mathrm{C}^{p+1} \rightarrow \mathbb{Z}{2}$ defined as $\delta \phi(c)=\phi(\partial c)$ for any $(p+1)$-chain $c$. Therefore, the coboundary operator $\delta$ takes a $p$-cochain and produces a $(p+1)$-cochain giving the sequence for a simplicial $k$-complex: $$ 0=\mathrm{C}^{-1} \stackrel{\delta{-1}}{\longrightarrow} \mathrm{C}^{0} \stackrel{\delta_{0}}{\rightarrow} \mathrm{C}^{1} \stackrel{\delta_{1}}{\rightarrow} \cdots \stackrel{\delta_{k-1}}{\longrightarrow} \mathrm{C}^{k} \stackrel{\delta_{k}}{\rightarrow} \mathrm{C}^{k+1}=0 .
$$
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Induced Homology
从一个拓扑空间到另一个拓扑空间的连续函数需要循环到循环和边界到边界。因此，它们也在它们的同源组中釈导出一个图谱。在这里， 我们将仅限于单纯复形和单纯映射，它们是拓扑空间之间连续映射的对应物。单纯复形之间的单纯映射采用以下定义的循环到循环和边界 到边界。
定义 2.27。 (链图) 让 $f: K_{1} \rightarrow K_{2}$ 是一张简单的地图。链式地图您不能在数学模式下使用 “宏参数字符#” 对应 于 $f$ 定义如下。如果 $c=\sum \alpha_{i} \sigma_{i}$ 是一个 $p$-链，然后您不能在数学模式下使用 “宏参数字符#”
$$
\tau_{i}=\left{f\left(\sigma_{i}\right), \quad \text { if } f\left(\sigma_{i}\right) \text { is a } p \text {-simplex in } K_{2}, 0, \quad\right. \text { otherwise. }
$$
例如，在图 $2.12,1$ 周期 $b c+c d+d b$ 在 $K_{1}$ 映射到 1 链 $e g+e g=0$ 由链图 悆不能在数学模式下使用 “宏参数字符#” 倩不能在数学模式下使用 “宏参数字符#”
您不能在数学模式下使用 “宏参数字符 H” $^{\text {s. }}$
上述命题中的陈述也可以用下图表示，我们说它是通勤，因为从左上角开始，一个人到达右下角的同一条链，使用两条路径先右后下，或 先行向下然后向右 (参见定义 $3.15$ 在下一章)。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Singular Homology
到目前为止，我们只考虑了在单纯复形上定义的单纯同调，而没有任何特定拓扑的假设。现在，我们将此定义扩展到拓扑空间。让 $X$ 是一 个拓扑空间。我们将单纯形的概念引入到 $X$ 通过考虑标准中的地图 $d$-简单到 $X$. 一个标准 $p$-单纯形 $\Delta^{p}$ 由凸包定义 $p+1$ 积分
\eft 的分隔符缺失或无法识别 在 $\mathbb{R}^{p+1}$.
定义 2.28。 (单数单纯形) 单数 $p$ – 拓扑空间的单纯形 $X$ 被定义为一张地图 $\sigma: \Delta^{p} \rightarrow X$.
请注意，地图 $\sigma$ 不必是单射的，因此 $\Delta^{p}$ 可能在其形象中被任意“压扁”。尽管如此，我们仍然可以对链、边界和循环有一个概念，它们是定 义同调群的主要成分，称为 $X$.
一个的边界 $p$-单纯形 $\sigma$ 是 (谁) 给的 $\partial \sigma=\tau_{0}+\tau_{2}+\cdots+\tau_{p}$ 在哪里 $\tau_{i}:\left(\partial \Delta^{p}\right) i \rightarrow X$ 是地图的限制 $\sigma$ 在 $i$-th 方面 $\left(\partial \Delta^{p}\right) i$ 的 $\Delta^{p}$
一个 $p$-chain 是单数的总和 $p$ – 具有来自整数、实数或某些适当环的系数的单纯形。和以前一样，在我们的假设下 $\mathbb{Z} 2$ 系数，单数 $p$-chain 由 下式给出 $\sum i \alpha_{i} \sigma_{i}$ 在哪里 $\alpha_{i}=0$ 或 1 。单数的边界 $p$-chain 的定义方式与我们对单纯链的定义相同，唯一的区别是我们必须适应无限链:
$$
\partial\left(c_{p}=\sigma_{1}+\sigma_{2}+\cdots\right)=\partial \sigma_{1}+\partial \sigma_{2}+\cdots
$$
我们得到通常的链复合体 $\partial_{p} \circ \partial_{p-1}=0$ 对所有人 $p>0$
$$
\ldots \stackrel{\partial_{p+1}}{\rightarrow} \mathrm{C} p \stackrel{\partial p}{\rightarrow} \mathrm{C} p-1 \stackrel{\partial p-1}{\rightarrow} \cdots
$$
并且可以将循环和边界组定义为 $Z_{p}=$ 克尔 $\partial_{p}$ 和 $\mathbf{B} p=\operatorname{im} \partial p+1$. 我们将奇异同调定义为商群 $\mathrm{H} p=Z p / \mathrm{B}_{p}$
一个有用的事实是，当单数和单数同调都被明确定义时，它们会重合。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Cochains, Coboundaries, and Cocycles
一个 $p$-cochain 是同态 $\phi: \mathrm{C} p \rightarrow \mathbb{Z} 2$ 从链群到系数环 $C_{p}$ 被定义为 $\mathbb{Z} 2$ 这里。在这种情况下，一个p协链 $\phi$ 由其评估给出 $\phi(\sigma)(0$ 或 1)在每一 个 $p$-单纯形 $\sigma$ 在 $K$ ，或者更准确地说，一个 $p$-链 $c=\sum i=1^{m p} \alpha_{i} \sigma_{i}$ 得到一个值
$$
\phi(c)=\alpha_{1} \phi\left(\sigma_{1}\right)+\alpha_{2} \phi\left(\sigma_{2}\right)+\cdots+\alpha_{m_{p}} \phi\left(\sigma_{m_{p}}\right)
$$
另外，验证 $\phi\left(c+c^{\prime}\right)=\phi(c)+\phi\left(c^{\prime}\right)$ 满足群同态性。对于链 $c$ ，当且仅当它具有非零系数时，将 1 分配给单纯形的特定 cochainc被称为 它的双链 $c^{*}$. 这 $p$-cochains 形成一个 cochain 组 $C^{p}$ 双至 $C_{p}$ 其中加法定义为 $\left(\phi+\phi^{\prime}\right)(c)=\phi(c)+\phi^{\prime}(c)$ 通过采取 $\mathbb{Z} 2-$ 右边的加法。我们也 可以定义一个标量乘法 $(\alpha \phi)(c)=\alpha \phi(c)$ 通过使用 $\mathbb{Z} 2$-乘法。这使得 $C^{p}$ 一个向量空间。
类似于链的边界，我们有 cochains 的共同边界的概念 $\delta_{p}: \mathrm{C}^{p} \rightarrow \mathrm{C}^{p+1}$. 具体来说，对于一个 $p$-cochain $\phi$ ，它的 $(p+1)$ 共边界由同态给出 $\delta \phi: \mathrm{C}^{p+1} \rightarrow \mathbb{Z} 2$ 定义为 $\delta \phi(c)=\phi(\partial c)$ 对于任何 $(p+1)$-链 $c$. 因此，共边界算子 $\delta$ 需要一个 $p$-cochain 并产生一个 $(p+1)$-cochain 给出单 纯的序列 $k$-复杂的:
$$
0=\mathrm{C}^{-1} \stackrel{\delta-1}{\longrightarrow} \mathrm{C}^{0} \stackrel{\delta_{0}}{\rightarrow} \mathrm{C}^{1} \stackrel{\delta_{1}}{\rightarrow} \cdots \stackrel{\delta_{k-1}}{\longrightarrow} \mathrm{C}^{k} \stackrel{\delta_{k}}{\rightarrow} \mathrm{C}^{k+1}=0
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
