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拓扑学是数学的一个分支，有时被称为 “橡胶板几何”，在这个分支中，如果两个物体可以通过弯曲、扭曲、拉伸和收缩等空间运动连续变形为彼此，同时不允许撕开或粘在一起的部分，则被认为是等效的。
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数学代写|拓扑学代写Topology代考|Notes and Exercises
Simplicial complexes are a fundamental structure in algebraic topology. A good source for the subject is Munkres [242].
The concept of nerve is credited to Aleksandroff [7]. The Nerve Theorem has different versions. It holds for open covers for topological spaces with some mild conditions [300]. Borsuk proved it for closed covers again with some conditions on the space and covers [45]. The assumptions of both are satisfied by metric spaces and finite covers with which we state the theorem in Section 2.2. A version of the theorem is also credited to Leray [220].
Čech and Vietoris-Rips complexes have turned out to be very effective data structures in topological data analysis. Cech complexes were introduced to define Čech homology. Leonid Vietoris [293] introduced the Vietoris complex to extend the homology theory from simplicial complexes to metric spaces. Later, Eliyahu Rips used it in hyperbolic group theory [176]. Jean-Claude Hausmann named it as Vietoris-Rips complex and showed that it is homotopy equivalent to a compact Riemannian manifold when the vertex set spans all points of the manifold and the parameter to build it is sufficiently small [187].
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Complexes and Homology Groups
This result was further improved by Latschev [218] who showed that the homotopy equivalence holds even when the vertex set is finite.
Delaunay complexes are a very well known and useful data structure for various geometric applications in two and three dimensions. They enjoy various optimal properties. For example, for a given point set $P \subset \mathbb{R}^{2}$, among all simplicial complexes linearly embedded in $\mathbb{R}^{2}$ with vertex set $P$, the Delaunay complex maximizes the minimum angle over all triangles as stated in Fact 2.5. Many such properties and algorithms for computing Delaunay complexes are described in the books by Edelsbrunner [148] and Cheng et al. [96]. The alpha complex was proposed in [151] and further developed in [153]. The first author of this book can attest to the historic fact that the development of the persistence algorithm was motivated by the study of alpha complexes and their Betti numbers. The book by Edelsbrunner and Harer [149] confirms this. Witness complexes were proposed by de Silva and Carlsson [113] in an attempt to build a sparser complex out of a dense point sample. The graph induced complex is also another such construction proposed in [123].
Homology groups and their associated concepts are main algebraic tools used in topological data analysis. Many associated structures and results about them exist in algebraic topology. We only cover the main necessary concepts that are used in this book and leave others. Interested readers can familiarize themselves with these omitted topics by reading Munkres [242], Hatcher [186], or Ghrist [170], among many other excellent sources.
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological Persistence
Suppose we have point cloud data $P$ sampled from a 3D model. A quantified summary of the topological features of the model that can be computed from this sampled representation helps in further processing such as shape analysis in geometric modeling. Persistent homology offers this avenue, as Figure $3.1$ illustrates. For further explanation, consider $P$ sampled from a curve in $\mathbb{R}^{2}$ as in Figure 3.3 later. Our goal is to get the information that the sampled space had two loops, one bigger and more prominent than the other. The notion of persistence captures this information. Consider the distance function $r: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ defined over $\mathbb{R}^{2}$ where $r(x)$ equals $\mathrm{d}(x, P)$, that is, the minimum distance of $x$ to the points in $P$. Now let us look at the sublevel sets of $r$, that is, $r^{-1}[-\infty, a]$ for some $a \in \mathbb{R}^{+} \cup{0}$. These sublevel sets are the union of closed balls of radius $a$ centering the points. We can observe from Figure $3.3$ that if we increase $a$ starting from zero, we come across different holes surrounded by the union of these balls which ultimately get filled up at different times. However, the two holes corresponding to the original two loops persist longer than the others. We can abstract out this observation by looking at how long a feature (homological class) survives when we scan over the increasing sublevel sets. This weeds out the “false” features (noise) from the true ones. The notion of persistent homology formalizes and discretizes this idea: It takes a function defined on a topological space (simplicial complex) and quantifies the changes in homology classes as the sublevel sets (subcomplexes) grow with increasing value of the funetion.
There are two predominant scenarios where persistence appears, though in slightly different contexts. One is when the function is defined on a topological space which requires considering singular homology groups of the sublevel sets. The other is when the function is defined on a simplicial complex and the sequence of sublevel sets is implicitly given by a nested sequence of subcomplexes called a filtration. This involves simplicial homology.
拓扑学代考
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Notes and Exercises
单纯复形是代数拓扑中的基本结构。该主题的一个很好的来源是 Munkres [242]。
神经的概念归功于 Aleksandroff [7]。神经定理有不同的版本。它适用于具有一些温和条件的拓扑空间的开放覆盖[300]。Borsuk 再次证明 了它适用于封闭的封面，并在空间和封面上具有一些条件 [45]。度量空间和有限覆盖都满足了两者的假设，我们在 $2.2$ 节中陈述了定理。 该定理的一个版本也归功于 Leray [220]。
事实证明，Čech 和 Vietoris-Rips 复合体是拓扑数据分析中非常有效的数据结构。引入切赫复合物来定义切赫同源性。Leonid Vietoris [293] 引入了 Vietoris 复形，将同调理论从单纯复形扩展到度量空间。后来，Eliyahu Rips 将其用于双曲群论[176]。Jean-Claude Hausmann 将其命名为 Vietoris-Rips 复形，并表明当顶点集跨越流形的所有点并且构建它的参数足够小时时，它与紧致黎曼流形是同伦 的 [187]。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Complexes and Homology Groups
Latschev [218] 进一步改进了这一结果，他表明即使顶点集是有限的，同伦等价也是成立的。
Delaunay 复形是一种众所周知且有用的数据结构，适用于二维和三维的各种几何应用。他们享有各种最佳性能。例如，对于给定的点集 $P \subset \mathbb{R}^{2}$ ，在所有线性嵌入的单纯复形中 $\mathbb{R}^{2}$ 有顶点集 $P$ ，如事实 $2.5$ 所述，Delaunay 复形使所有三角形的最小角度最大化。Edelsbrunner [148] 和 Cheng 等人的书中描述了许多用于计算 Delaunay 复形的此类属性和算法。[96]。 $\alpha$ 复合物在 [151] 中提出并在 [153] 中进一步发 展。本书的第一作者可以证明一个历史事实，即持久性算法的发展是由对 alpha 复形及其 Betti 数的研究推动的。Edelsbrunner 和 Harer [149] 的书证实了这一点。de Silva 和 Carlsson [113] 提出了见证复合体，试图从密集的点样本中构建一个更稀疏的复合体。图诱导复合体 也是 [123] 中提出的另一种此类构造。
同调群及其相关概念是拓扑数据分析中使用的主要代数工具。代数拓扑中存在许多相关的结构和结果。我们只介绍本书中用到的主要必要 概念，其他的就不说了。感兴趣的读者可以通过阅读 Munkres [242]、Hatcher [186] 或 Ghrist [170] 以及许多其他优秀资源来熟悉这些省 略的主题。
数学代写|拓扑学代写Topology代考|Topological Persistence
假设我们有点云数据 $P$ 从 3D 模型中采样。可以从该采样表示中计算出的模型拓扑特征的量化摘要有助于进一步处理，例如几何建模中的 形状分析。持久同源性提供了这种途径，如图3.1说明。为了进一步解释，考虑 $P$ 从曲线中采样 $\mathbb{R}^{2}$ 如后面的图 $3.3$ 所示。我们的目标是获 取采样空间有两个循环的信息，一个比另一个更大、更突出。持久性的概念捕获了这些信息。考虑距离函数 $r: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ 定义在 $\mathbb{R}^{2}$ 在哪里 $r(x)$ 等于 $\mathrm{d}(x, P)$ ，即最小距离 $x$ 到点 $P$. 现在让我们看一下 $r$ ，那是， $r^{-1}[-\infty, a]$ 对于一些 $a \in \mathbb{R}^{+} \cup 0$. 这些子水平集是半径闭合球的并 集 $a$ 使点居中。我们可以从图中观察到 $3.3$ 如果我们增加 $a$ 从零开始，我们会遇到不同的洞，这些洞被这些球的结合所包围，最终在不同的 时间被填满。但是，对应于原始两个循环的两个孔比其他孔持续时间更长。当我们扫描不断增加的子级别集时，我们可以通过查看一个特 征 (同调类) 存活多长时间来抽象出这个观察结果。这会从真实特征中剔除“虚假“特征 (㗍声)。持久同调的概念形式化和离散化了这个 想法: 它采用在拓扑空间 (单纯复形) 上定义的函数，并量化同调类的变化，因为子水平集（子复形) 随着函数值的增加而增长。
有两种主要的情况会出现持久性，尽管情况略有不同。一种是在拓扑空间上定义函数时，需要考虑子水平集的奇异同调群。另一种是当函 数在单纯复形上定义并且子级别集的序列由称为过滤的子复形的嵌套序列隐式给出时。这涉及单纯同调。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
