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数学代写|数论作业代写number theory代考|Fermat’s Little Theorem

The number $n^{3}-n$ for $n \in \mathbb{N}$ is divisible by 3 (and also by 2 ), since it can be written as the product of three consecutive integers
$$n^{3}-n=(n-1) n(n+1) .$$
Similarly the number $n^{5}-n$ is divisible by 5 , since
$$n^{5}-n=\left(n^{2}-1\right) n\left(n^{2}+5-4\right)=5\left(n^{2}-1\right) n+(n-2)(n-1) n(n+1)(n+2) .$$
We generalize these simple statements below in Fermat’s Little Theorem $2.16$ which belongs among the most used tools in number theory, as we shall see throughout this book (cf. Index). To prove it, we need the following implication, which follows directly from Euclid’s Theorem 2.1:
If $p$ is a prime and $a b \equiv 0(\bmod p)$, then
$$a \equiv 0 \quad(\bmod p) \quad \text { or } b \equiv 0 \quad(\bmod p) .$$

Theorem $2.16$ (Fermat’s Little Theorem) If $a \in \mathbb{N}$ and $p$ is a prime, then $p \mid\left(a^{p}-a\right)$

Proof The case $p=2$ is obvious. Let $p$ be a prime greater than 2 . If $p \mid a$, then $p$ also divides the number $a^{p}-a=a\left(a^{p-1}-1\right)$. So let the integers $p$ and $a$ be coprime, i.e.,
$$(p, a)=1$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Euler–Fermat Theorem

Leonhard Euler (1707-1783) generalized Fermat’s Little Theorem $2.17$ also for a non-prime modulus. To elucidate his idea, we first introduce the Euler totient function $\phi$. For every $n \in \mathbb{N}$ its value $\phi(n)$ is defined as the number of all positive integers not exceeding $n$ that are coprime to $n$, i.e.,
$$\phi(n)=|{m \in \mathbb{N} ; m \leq n,(m, n)=1}|,$$
where $|\cdot|$ denotes the number of elements. We easily find that $\phi(1)=1, \phi(2)=1, \phi(3)=2, \phi(4)=2, \phi(5)=4, \phi(6)=2, \phi(7)=6, \ldots$
Further values of $\phi$ are listed in Table 13.3. From the definition of the function $\phi$ we observe that its values are always even when $n>2$, since $(n-m, n)=1$ whenever $1 \leq m \leq n$ and $(m, n)=1$. If $p$ a prime, then obviously
$$\phi(p)=p-1$$ and
$$\phi\left(p^{k}\right)=(p-1) p^{k-1}$$
for any $k \in \mathbb{N}$.
The Euler totient function has the following important property:
$$(m, n)=1 \quad \Longrightarrow \quad \phi(m n)=\phi(m) \phi(n) .$$
A proof is given e.g. in [118, Article 38], [56, p. 125], or [291, p. 69]. Consequently, if the prime-power factorization of $n$ is given by
$$n=\prod_{i=1}^{r} p_{i}^{k_{i}}$$
where $p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{r}, k_{i} \in \mathbb{N}$, then by (2.38) and (2.39)
\begin{aligned} \phi(n) &=\prod_{i=1}^{r}\left(p_{i}-1\right) p_{i}^{k_{i}-1}=n \prod_{i=1}^{r} \frac{\left(p_{i}-1\right) p_{i}^{k_{i}-1}}{p_{i}^{k_{i}}} \ &=n\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{p_{r}}\right) \end{aligned}

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Fermat’s Little Theorem

$$n^{3}-n=(n-1) n(n+1) .$$

$$n^{5}-n=\left(n^{2}-1\right) n\left(n^{2}+5-4\right)=5\left(n^{2}-1\right) n+(n-2)(n-1) n(n+1)(n+2) .$$

$$a \equiv 0 \quad(\bmod p) \quad \text { or } b \equiv 0 \quad(\bmod p) .$$

$$(p, a)=1$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Euler–Fermat Theorem

Leonhard Euler (1707-1783) 推广了费马小定理 $2.17$ 也适用于非主要模数。为了阐明他的想法，我们首先介绍欧拉函数 $\phi$. 对于每一个 $n \in \mathbb{N}$ 它的价值 $\phi(n)$ 定义为 所有不超过的正整数的个数 $n$ 互质的 $n$ ，那是，
$$\phi(n)=|m \in \mathbb{N} ; m \leq n,(m, n)=1|,$$

$$\phi(p)=p-1$$
$$\phi\left(p^{k}\right)=(p-1) p^{k-1}$$

Euler totient 函数具有以下重要性质:
$$(m, n)=1 \quad \Longrightarrow \quad \phi(m n)=\phi(m) \phi(n) .$$

$$n=\prod_{i=1}^{r} p_{i}^{k_{i}}$$

$$\phi(n)=\prod_{i=1}^{r}\left(p_{i}-1\right) p_{i}^{k_{i}-1}=n \prod_{i=1}^{r} \frac{\left(p_{i}-1\right) p_{i}^{k_{i}-1}}{p_{i}^{k_{i}}} \quad=n\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{p_{r}}\right)$$

有限元方法代写

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MATLAB代写

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