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数论是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。
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数学代写|数论作业代写number theory代考|Fermat’s Little Theorem
The number $n^{3}-n$ for $n \in \mathbb{N}$ is divisible by 3 (and also by 2 ), since it can be written as the product of three consecutive integers
$$
n^{3}-n=(n-1) n(n+1) .
$$
Similarly the number $n^{5}-n$ is divisible by 5 , since
$$
n^{5}-n=\left(n^{2}-1\right) n\left(n^{2}+5-4\right)=5\left(n^{2}-1\right) n+(n-2)(n-1) n(n+1)(n+2) .
$$
We generalize these simple statements below in Fermat’s Little Theorem $2.16$ which belongs among the most used tools in number theory, as we shall see throughout this book (cf. Index). To prove it, we need the following implication, which follows directly from Euclid’s Theorem 2.1:
If $p$ is a prime and $a b \equiv 0(\bmod p)$, then
$$
a \equiv 0 \quad(\bmod p) \quad \text { or } b \equiv 0 \quad(\bmod p) .
$$
Theorem $2.16$ (Fermat’s Little Theorem) If $a \in \mathbb{N}$ and $p$ is a prime, then $p \mid\left(a^{p}-a\right)$
Proof The case $p=2$ is obvious. Let $p$ be a prime greater than 2 . If $p \mid a$, then $p$ also divides the number $a^{p}-a=a\left(a^{p-1}-1\right)$. So let the integers $p$ and $a$ be coprime, i.e.,
$$
(p, a)=1
$$
数学代写|数论作业代写number theory代考|Euler–Fermat Theorem
Leonhard Euler (1707-1783) generalized Fermat’s Little Theorem $2.17$ also for a non-prime modulus. To elucidate his idea, we first introduce the Euler totient function $\phi$. For every $n \in \mathbb{N}$ its value $\phi(n)$ is defined as the number of all positive integers not exceeding $n$ that are coprime to $n$, i.e.,
$$
\phi(n)=|{m \in \mathbb{N} ; m \leq n,(m, n)=1}|,
$$
where $|\cdot|$ denotes the number of elements. We easily find that $\phi(1)=1, \phi(2)=1, \phi(3)=2, \phi(4)=2, \phi(5)=4, \phi(6)=2, \phi(7)=6, \ldots$
Further values of $\phi$ are listed in Table 13.3. From the definition of the function $\phi$ we observe that its values are always even when $n>2$, since $(n-m, n)=1$ whenever $1 \leq m \leq n$ and $(m, n)=1$. If $p$ a prime, then obviously
$$
\phi(p)=p-1
$$ and
$$
\phi\left(p^{k}\right)=(p-1) p^{k-1}
$$
for any $k \in \mathbb{N}$.
The Euler totient function has the following important property:
$$
(m, n)=1 \quad \Longrightarrow \quad \phi(m n)=\phi(m) \phi(n) .
$$
A proof is given e.g. in [118, Article 38], [56, p. 125], or [291, p. 69]. Consequently, if the prime-power factorization of $n$ is given by
$$
n=\prod_{i=1}^{r} p_{i}^{k_{i}}
$$
where $p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{r}, k_{i} \in \mathbb{N}$, then by (2.38) and (2.39)
$$
\begin{aligned}
\phi(n) &=\prod_{i=1}^{r}\left(p_{i}-1\right) p_{i}^{k_{i}-1}=n \prod_{i=1}^{r} \frac{\left(p_{i}-1\right) p_{i}^{k_{i}-1}}{p_{i}^{k_{i}}} \
&=n\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{p_{r}}\right)
\end{aligned}
$$

数论作业代写
数学代写|数论作业代写number theory代考|Fermat’s Little Theorem
号码 $n^{3}-n$ 为了 $n \in \mathbb{N}$ 可以被 3 整除(也可以被 2 整除),因为它可以写成三个连续整数的乘积
$$
n^{3}-n=(n-1) n(n+1) .
$$
同样数 $n^{5}-n$ 能被 5 整除,因为
$$
n^{5}-n=\left(n^{2}-1\right) n\left(n^{2}+5-4\right)=5\left(n^{2}-1\right) n+(n-2)(n-1) n(n+1)(n+2) .
$$
我们在费马小定理中概括了以下这些简单的陈述 $2.16$ 正如我们将在本书中看到的那样(参见索引),它属于数论中最常用的工具之一。为了证明这一点,我们需 要直接从欧几里得定理 $2.1$ 得出的以下推论:
如果 $p$ 是一个素数并且 $a b \equiv 0(\bmod p)$ ,然后
$$
a \equiv 0 \quad(\bmod p) \quad \text { or } b \equiv 0 \quad(\bmod p) .
$$
定理2.16(费马小定理) 如果 $a \in \mathbb{N}$ 和 $p$ 是素数,那么 $p \mid\left(a^{p}-a\right)$
证明案例 $p=2$ 很明显。让 $p$ 是大于 2 的素数。如果 $p \mid a$ ,然后 $p$ 也除数 $a^{p}-a=a\left(a^{p-1}-1\right)$. 所以让整数 $p$ 和 $a$ 互质,即
$$
(p, a)=1
$$
数学代写|数论作业代写number theory代考|Euler–Fermat Theorem
Leonhard Euler (1707-1783) 推广了费马小定理 $2.17$ 也适用于非主要模数。为了阐明他的想法,我们首先介绍欧拉函数 $\phi$. 对于每一个 $n \in \mathbb{N}$ 它的价值 $\phi(n)$ 定义为 所有不超过的正整数的个数 $n$ 互质的 $n$ ,那是,
$$
\phi(n)=|m \in \mathbb{N} ; m \leq n,(m, n)=1|,
$$
在哪里|·表示元素的数量。我们很容易发现 $\phi(1)=1, \phi(2)=1, \phi(3)=2, \phi(4)=2, \phi(5)=4, \phi(6)=2, \phi(7)=6, \ldots$
进一步的价值 $\phi$ 列在表 $13.3$ 中。从函数的定义 $\phi$ 我们观察到它的值总是即使 $n>2$ ,自从 $(n-m, n)=1$ 每当 $1 \leq m \leq n$ 和 $(m, n)=1$. 如果 $p$ 个素数,那么显
$$
\phi(p)=p-1
$$
$$
\phi\left(p^{k}\right)=(p-1) p^{k-1}
$$
对于任何 $k \in \mathbb{N}$.
Euler totient 函数具有以下重要性质:
$$
(m, n)=1 \quad \Longrightarrow \quad \phi(m n)=\phi(m) \phi(n) .
$$
例如在 [118, Article 38], [56, p. 125] 或 [291, p. 69]。因此,如果素数功率因数分解为 $n$ 是(准) 给的
$$
n=\prod_{i=1}^{r} p_{i}^{k_{i}}
$$
在哪里 $p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{r}, k_{i} \in \mathbb{N}$ ,然后由 (2.38) 和 (2.39)
$$
\phi(n)=\prod_{i=1}^{r}\left(p_{i}-1\right) p_{i}^{k_{i}-1}=n \prod_{i=1}^{r} \frac{\left(p_{i}-1\right) p_{i}^{k_{i}-1}}{p_{i}^{k_{i}}} \quad=n\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{p_{r}}\right)
$$

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