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数论是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|Fermat’s Little Theorem

The number $n^{3}-n$ for $n \in \mathbb{N}$ is divisible by 3 (and also by 2 ), since it can be written as the product of three consecutive integers
$$
n^{3}-n=(n-1) n(n+1) .
$$
Similarly the number $n^{5}-n$ is divisible by 5 , since
$$
n^{5}-n=\left(n^{2}-1\right) n\left(n^{2}+5-4\right)=5\left(n^{2}-1\right) n+(n-2)(n-1) n(n+1)(n+2) .
$$
We generalize these simple statements below in Fermat’s Little Theorem $2.16$ which belongs among the most used tools in number theory, as we shall see throughout this book (cf. Index). To prove it, we need the following implication, which follows directly from Euclid’s Theorem 2.1:
If $p$ is a prime and $a b \equiv 0(\bmod p)$, then
$$
a \equiv 0 \quad(\bmod p) \quad \text { or } b \equiv 0 \quad(\bmod p) .
$$

Theorem $2.16$ (Fermat’s Little Theorem) If $a \in \mathbb{N}$ and $p$ is a prime, then $p \mid\left(a^{p}-a\right)$

Proof The case $p=2$ is obvious. Let $p$ be a prime greater than 2 . If $p \mid a$, then $p$ also divides the number $a^{p}-a=a\left(a^{p-1}-1\right)$. So let the integers $p$ and $a$ be coprime, i.e.,
$$
(p, a)=1
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Euler–Fermat Theorem

Leonhard Euler (1707-1783) generalized Fermat’s Little Theorem $2.17$ also for a non-prime modulus. To elucidate his idea, we first introduce the Euler totient function $\phi$. For every $n \in \mathbb{N}$ its value $\phi(n)$ is defined as the number of all positive integers not exceeding $n$ that are coprime to $n$, i.e.,
$$
\phi(n)=|{m \in \mathbb{N} ; m \leq n,(m, n)=1}|,
$$
where $|\cdot|$ denotes the number of elements. We easily find that $\phi(1)=1, \phi(2)=1, \phi(3)=2, \phi(4)=2, \phi(5)=4, \phi(6)=2, \phi(7)=6, \ldots$
Further values of $\phi$ are listed in Table 13.3. From the definition of the function $\phi$ we observe that its values are always even when $n>2$, since $(n-m, n)=1$ whenever $1 \leq m \leq n$ and $(m, n)=1$. If $p$ a prime, then obviously
$$
\phi(p)=p-1
$$ and
$$
\phi\left(p^{k}\right)=(p-1) p^{k-1}
$$
for any $k \in \mathbb{N}$.
The Euler totient function has the following important property:
$$
(m, n)=1 \quad \Longrightarrow \quad \phi(m n)=\phi(m) \phi(n) .
$$
A proof is given e.g. in [118, Article 38], [56, p. 125], or [291, p. 69]. Consequently, if the prime-power factorization of $n$ is given by
$$
n=\prod_{i=1}^{r} p_{i}^{k_{i}}
$$
where $p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{r}, k_{i} \in \mathbb{N}$, then by (2.38) and (2.39)
$$
\begin{aligned}
\phi(n) &=\prod_{i=1}^{r}\left(p_{i}-1\right) p_{i}^{k_{i}-1}=n \prod_{i=1}^{r} \frac{\left(p_{i}-1\right) p_{i}^{k_{i}-1}}{p_{i}^{k_{i}}} \
&=n\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{p_{r}}\right)
\end{aligned}
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Fermat’s Little Theorem

号码 $n^{3}-n$ 为了 $n \in \mathbb{N}$ 可以被 3 整除（也可以被 2 整除)，因为它可以写成三个连续整数的乘积
$$
n^{3}-n=(n-1) n(n+1) .
$$
同样数 $n^{5}-n$ 能被 5 整除，因为
$$
n^{5}-n=\left(n^{2}-1\right) n\left(n^{2}+5-4\right)=5\left(n^{2}-1\right) n+(n-2)(n-1) n(n+1)(n+2) .
$$
我们在费马小定理中概括了以下这些简单的陈述 $2.16$ 正如我们将在本书中看到的那样（参见索引），它属于数论中最常用的工具之一。为了证明这一点，我们需 要直接从欧几里得定理 $2.1$ 得出的以下推论:
如果 $p$ 是一个素数并且 $a b \equiv 0(\bmod p)$ ，然后
$$
a \equiv 0 \quad(\bmod p) \quad \text { or } b \equiv 0 \quad(\bmod p) .
$$
定理2.16（费马小定理) 如果 $a \in \mathbb{N}$ 和 $p$ 是素数，那么 $p \mid\left(a^{p}-a\right)$
证明案例 $p=2$ 很明显。让 $p$ 是大于 2 的素数。如果 $p \mid a$ ，然后 $p$ 也除数 $a^{p}-a=a\left(a^{p-1}-1\right)$. 所以让整数 $p$ 和 $a$ 互质，即
$$
(p, a)=1
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|Euler–Fermat Theorem

Leonhard Euler (1707-1783) 推广了费马小定理 $2.17$ 也适用于非主要模数。为了阐明他的想法，我们首先介绍欧拉函数 $\phi$. 对于每一个 $n \in \mathbb{N}$ 它的价值 $\phi(n)$ 定义为 所有不超过的正整数的个数 $n$ 互质的 $n$ ，那是，
$$
\phi(n)=|m \in \mathbb{N} ; m \leq n,(m, n)=1|,
$$
在哪里|·表示元素的数量。我们很容易发现 $\phi(1)=1, \phi(2)=1, \phi(3)=2, \phi(4)=2, \phi(5)=4, \phi(6)=2, \phi(7)=6, \ldots$
进一步的价值 $\phi$ 列在表 $13.3$ 中。从函数的定义 $\phi$ 我们观察到它的值总是即使 $n>2$ ，自从 $(n-m, n)=1$ 每当 $1 \leq m \leq n$ 和 $(m, n)=1$. 如果 $p$ 个素数，那么显
$$
\phi(p)=p-1
$$
$$
\phi\left(p^{k}\right)=(p-1) p^{k-1}
$$
对于任何 $k \in \mathbb{N}$.
Euler totient 函数具有以下重要性质:
$$
(m, n)=1 \quad \Longrightarrow \quad \phi(m n)=\phi(m) \phi(n) .
$$
例如在 [118, Article 38], [56, p. 125] 或 [291， p. 69]。因此，如果素数功率因数分解为 $n$ 是（准) 给的
$$
n=\prod_{i=1}^{r} p_{i}^{k_{i}}
$$
在哪里 $p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{r}, k_{i} \in \mathbb{N}$ ，然后由 (2.38) 和 (2.39)
$$
\phi(n)=\prod_{i=1}^{r}\left(p_{i}-1\right) p_{i}^{k_{i}-1}=n \prod_{i=1}^{r} \frac{\left(p_{i}-1\right) p_{i}^{k_{i}-1}}{p_{i}^{k_{i}}} \quad=n\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\frac{1}{p_{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{p_{r}}\right)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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