数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH312

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Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|数论作业代写number theory代考|Closure properties of algebraic numbers

Next we shall sketch proofs that the set of (complex) algebraic numbers forms a subfield of $\mathbb{C}$, and that the algebraic integers form an integral domain. These proofs require a certain acquaintance with basic properties of vector spaces and abelian groups; however, the level required is probably too much to summarise in an appendix. Therefore, on this occasion only, we invite the interested reader to refer to other sources for background material. Two of many possibilities are Axler [8] for linear algebra, Stewart and Tall [62] for groups. The reader who prefers to continue with the main topics of this book can safely proceed to section $3.2$ after noting carefully the results of Theorem 3.10, Corollary $3.11$ and Theorem 3.12.
Lemma 3.8. Let $S=\left{\alpha_{k} \mid k \in K\right}$ be a set of complex numbers. Then

the set of linear combinations
$$
\sum r_{k} \alpha_{k}
$$
with finitely many terms and rational coefficients $r_{k}$ is a vector space over the field $\mathbb{Q}$;

the set of linear combinations
$$
\sum m_{k} \alpha_{k}
$$
with finitely many terms and integer coefficients $m_{k}$ is an abelian group under addition.

Lemma 3.9. Finiteness criteria for algebraic numbers. Let $\alpha \in \mathbb{C}$; in the previous lemma take $S=\left{1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots\right}$. Then

$\alpha$ is algebraic if and only if the vector space of rational linear combinations of $S$ is finite-dimensional;
$\alpha$ is an algebraic integer if and only if the group of integer linear combinations of $S$ is finitely generated.

数学代写|数论作业代写number theory代考|EXISTENCE OF TRANSCENDENTAL NUMBERS

The first question we need to address about transcendental numbers is whether or not there are any! It is clear that algebraic numbers exist: for a start, all rational numbers are algebraic, and we have also given a few examples of irrational algebraic numbers. However, it is conceivable that every complex number could be a root of a rational polynomial, in which case transcendental numbers would not exist.

Notice, by the way, that we have so far only seen algebraic numbers of degree up to 4 . It is not at all clear that algebraic numbers of arbitrarily high degree exist. If, for example, we were to consider polynomials with real (rather than rational) coefficients, then there would be no irreducible polynomials of degree greater than 2. The situation in this case would therefore be very simple: all real numbers would be algebraic (over $\mathbb{R}$ ) of degree 1 , and all nonreal complex numbers would be algebraic (over $\mathbb{R}$ ) of degree 2. Among the complex numbers there would be no algebraic numbers of higher degree, and no transcendental numbers.

The existence of transcendental numbers was first proved by Joseph Liouville, who attempted to show that $e$ is not an algebraic number. He failed in this aim but achieved enough to allow him in 1844 (and again, using different techniques, in 1851) to give specific examples of transcendental numbers. A completely different proof was given three decades later by Georg Cantor: a proof which is perhaps simpler, though, as it does not provide any specific examples of transcendentals, possibly somehow beside the point as far as number theory is concerned. We shall begin with Cantor’s proof.

Cantor proved the existence of transcendental numbers simply by showing that there are, in a sense, more complex numbers than algebraic numbers. Specifically, the set of complex numbers is uncountable – this follows immediately from the uncountability of the reals, proved by Cantor in 1874 – while, as we shall now show, the set of (complex) algebraic numbers is countable.
First, a slightly informal proof. Recall that an algebraic number is, (almost) by definition, a root of a non-zero polynomial with integral coefficients. Define the height of any such polynomial to be the maximum of the absolute values of its coefficients: that is, if $f(z)=a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_{1} z+a_{0}$ with all $a_{k}$ integers and $a_{n} \neq 0$, then
$$
H(f)=\max \left(\left|a_{n}\right|,\left|a_{n-1}\right|, \ldots,\left|a_{1}\right|,\left|a_{0}\right|\right)
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|Closure properties of algebraic numbers

接下来，我们将勾勒出（复) 代数数集形成的子域的证明 $\mathbb{C}$ ，并且代数整数形成一个积分域。这些证明需要对向量空间和阿贝尔群的基本性质有一定的了解；但是，所需的级别可能太多，无法在附录中进行总结。因此，仅在这种情况下，我们邀请感兴趣的读者参考其他来源的背景材料。许多可能性中的两种是用于线性代数的 Axler [8]，用于组的 Stewart 和 Tall [62]。喜欢继续阅读本书主要主题的读者可以安全地继续阅读章节 $3.2$ 在仔细注意定理 $3.10$ 的结果后，推论 $3.11$ 和定理 3.12。
引理 3.8。让 \left 的分隔符缺失或无法识别
是一组复数。然后

线性组合的集合
$$
\sum r_{k} \alpha_{k}
$$
具有有限多项和有理系数 $r_{k}$ 是场上的向量空间 $\mathbb{Q}$;
线性组合的集合
$$
\sum m_{k} \alpha_{k}
$$
具有有限多项和整数系数 $m_{k}$ 是加法下的阿贝尔群。
引理 3.9。代数数的有限性准则。让 $\alpha \in \mathbb{C}$; 在前面的引理中 $\backslash 1$ ef $\mathrm{t}$ 的分隔符缺失或无法识别 .然后
$\alpha$ 是代数的当且仅当 $S$ 是有限维的；
$\alpha$ 是一个代数整数当且仅当整数线性组合的群 $S$ 是有限生成的。

数学代写|数论作业代写number theory代考|EXISTENCE OF TRANSCENDENTAL NUMBERS

关于超越数，我们需要解决的第一个问题是是否存在超越数：很明显，代数数是存在的：首先，所有有理数都是代数数，我们还给出了一些无理数代数数的例子。但是，可以想象每个复数都可以是有理多项式的根，在这种情况下，超越数将不存在。
顺便说一句，请注意，到目前为止，我们只看到了次数不超过 4 的代数数。是否存在任意高次数的代数数是完全不清楚的。例如，如果我们要考虑具有实数 (而不是有理数) 系数的多项式，那么将不存在次数大于 2 的不可约多项式。因此，这种情况下的情况非常简单：所有实数都是代数 (超过 $\mathbb{R}$ ) 的 1 次，并且所有非实数复数都是代数的（超过 $\mathbb{R}$ ) 2 次。在复数中，没有更高次的代数数，也没有超越数。
超越数的存在首先由约瑟夫刘维尔证明，他试图证明 $e$ 不是代数数。他末能实现这一目标，但取得的成就足以让他在 1844 年（并在 1851 年再次使用不同的技术) 给出超越数的具体例子。三十年后，乔治康托尔给出了一个完全不同的证明: 一个可能更简单的证明，因为它没有提供任何超越数的具体例子，就数论而言可能有点离题。我们将从康托尔的证明开始。
康托尔证明了超越数的存在，简单地证明了在某种意义上，存在比代数数更复杂的数。具体来说，复数集是不可数的一一这直接来自于实数的不可数性，由康托尔在 1874 年证明—一而，正如我们现在将展示的，（复数）代数集是可数的。
首先，一个稍微非正式的证明。回想一下，代数数 (几乎) 根据定义是具有整数系数的非零多项式的根。将任何此类多项式的高度定义为其系数绝对值的最大值：也就是说，如果 $f(z)=a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_{1} z+a_{0}$ 所有 $a_{k}$ 整数和 $a_{n} \neq 0$ ，然后
$$
H(f)=\max \left(\left|a_{n}\right|,\left|a_{n-1}\right|, \ldots,\left|a_{1}\right|,\left|a_{0}\right|\right)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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