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数论是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。
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数学代写|数论作业代写number theory代考|THE PRIME NUMBER THEOREM
For any real number $x$, we denote by $\pi(x)$ the number of primes less than or equal to $x$. For example, $\pi(1)=0$ and $\pi(10)=4$ and $\pi(100)=\pi(100.5)=25$. The symbol $\pi$ is customary and is used because it is the Greek equivalent of ” $\mathrm{p}$ “, the first letter of the word “prime” – it has, of course, nothing to do with the trigonometric constant $\pi$. The following result, which gives an estimate for $\pi(x)$ in terms of elementary functions, was proved independently and more or less simultaneously in 1896 by Hadamard [27] and de la Vallée Poussin [65]. A proof is given by Hardy and Wright [29].
Theorem 3.37. The Prime Number Theorem. The number of primes not exceeding $x$ satisfies
$$
\frac{\pi(x)}{x / \log x} \rightarrow 1 \quad \text { as } x \rightarrow \infty
$$
where log denotes the natural (base e) logarithm.
We may use the Prime Number Theorem to estimate the least common multiple of the first $n$ positive integers. Given a prime $p$ and a positive integer $n$, there is a unique non-negative integer $\alpha$ such that $p^{\alpha} \leq n<p^{\alpha+1}$; the least common multiple will be the product of all these powers $p^{\alpha}$. Therefore
$$
L_{n}=\operatorname{lcm}(1,2, \ldots, n)=\prod_{\substack{p \leq n \ p \text { prime }}} p^{\alpha} \leq \prod_{\substack{p \leq n \ p \text { prime }}} n=n^{\pi(n)}
$$
the last equality being true because the product consists of $\pi(n)$ equal factors. Let $c$ be a constant greater than $e$. It follows from the Prime Number Theorem that if $n$ is sufficiently large then
$$
\frac{\pi(n)}{n / \log n}<\log c
$$
and hence
$$
L_{n} \leq n^{\pi(n)}=e^{\pi(n) \log n}<c^{n} .
$$
In section $3.4$ we chose $c=3$ to keep things simple. We could have taken a slightly smaller value, which would have resulted in a slightly larger value for $s$; however, this would have made no significant difference to the result.
Comment. In fact, it can be shown [55] that the maximum value of $\left(L_{n}\right)^{1 / n}$ occurs when $n=113$. Therefore, if we take
$$
c=(\operatorname{lcm}(1,2, \ldots, 113))^{1 / 113}=2.8258821394 \cdots,
$$
then we have $L_{n} \leq c^{n}$ for all $n$, and not just for all sufficiently large $n$.
数学代写|数论作业代写number theory代考|DEFINITION AND BASIC PROPERTIES
Definition 4.1. A finite or infinite expression of the form
$$
a_{0}+\frac{b_{1}}{a_{1}+\frac{b_{2}}{a_{2}+\frac{b_{3}}{a_{3}+\cdots}}}
$$
is called a continued fraction. A simple continued fraction is one in which every $b_{k}$ is 1 , every $a_{k}$ is an integer, and every $a_{k}$ except possibly $a_{0}$ is positive. For a (finite or infinite) simple continued fraction we shall also use the notations
$$
a_{0}+\frac{1}{a_{1}+} \frac{1}{a_{2}+} \frac{1}{a_{3}+\ldots} \quad \text { and } \quad\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\right] .
$$
A finite simple continued fraction is said to represent the number obtained by performing the arithmetic in the obvious way; an infinite simple continued fraction $\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\right]$ represents the real number $\alpha$ if
$$
\alpha=\lim {n \rightarrow \infty}\left[a{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}\right] .
$$
Let $k \in \mathbb{N}$. The integer $a_{k}$ is called the $k$ th partial quotient of the continued fraction $\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots\right]$, or of the number $\alpha$ it represents; the continued fraction $\alpha_{k}=\left[a_{k}, a_{k+1}, a_{k+2}, \ldots\right]$ is the kth complete quotient of $\alpha$; and the continued fraction $\left[a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k}\right]$ is the kth convergent to $\alpha$.
Note that a convergent, being defined as a finite continued fraction, is always a rational number. Henceforth we shall blur the distinction between a continued fraction and the number represented by the continued fraction. We shall use such language as, for example, “the continued fraction $\alpha=\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots\right]^{\text {” }}$ instead of saying more precisely, “the continued fraction $\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots\right]$ which represents the number $\alpha \geqslant$
Continued fractions, their convergents, partial quotients and complete quotients have many fascinating properties.

数论作业代写
数学代写|数论作业代写number theory代考|THE PRIME NUMBER THEOREM
对于任何实数 $x$ ,我们表示为 $\pi(x)$ 小于或等于的㛃数个数 $x$. 例如, $\pi(1)=0$ 和 $\pi(10)=4$ 和 $\pi(100)=\pi(100.5)=25$. 符号 $\pi$ 是习惯性的 $\pi(x)$ 就初等函数而言,Hadamard [27] 和 de la Vallée Poussin [65] 在 1896 年或多或少地同时独立地证明了。Hardy 和 Wright [29] 给出 了证明。
定理 3.37。維数定理。质数不超过 $x$ 满足
$$
\frac{\pi(x)}{x / \log x} \rightarrow 1 \quad \text { as } x \rightarrow \infty
$$
其中 $\log$ 表示自然 (以 e 为底) 对数。
我们可以使用箐数定理来估计第一个的最小公倍数 $n$ 正整数。给定一个表数 $p$ 和一个正整数 $n$, 存在唯一的非负整数 $\alpha \mathrm{~ 这}$ 最小公倍数将是所有这些㚙的乘积 $p^{\alpha}$. 所以
$$
L_{n}=\operatorname{lcm}(1,2, \ldots, n)=\prod_{p \leq n p \text { prime }} p^{\alpha} \leq \prod_{p \leq n p \text { prime }} n=n^{\pi(n)}
$$
最后一个等式为真,因为产品由 $\pi(n)$ 等因熬。让 $c$ 是一个大于 $e$.从溸数定理可以得出,如果 $n$ 那么足够大
$$
\frac{\pi(n)}{n / \log n}<\log c
$$
因此
$$
L_{n} \leq n^{\pi(n)}=e^{\pi(n) \log n}<c^{n}
$$
在部分 $3.4$ 我们选择了 $c=3$ 保持简单。我们本可以取一个稍小的值,这会产生一个稍大的值 $s$; 但是,这不会对结果产生重大影响。
$$
c=(\operatorname{lcm}(1,2, \ldots, 113))^{1 / 113}=2.8258821394 \cdots,
$$
那么我们有 $L_{n}<c^{n}$ 对所有人 $n$, 而不仅仅是对所有足够大的 $n$.
数学代写|数论作业代写number theory代考|DEFINITION AND BASIC PROPERTIES
定义 4.1。形式的有限或无限表达
$$
a_{0}+\frac{b_{1}}{a_{1}+\frac{b_{2}}{a_{2}+\frac{b_{3}}{a_{3}+\cdots}}}
$$
称为连分数。简单连分数是其中每 $b_{k}$ 是 1 ,每个 $a_{k}$ 是一个整数,并且每个 $a_{k}$ 除非可能 $a_{0}$ 是积极的。对于 (有限或无限) 简单连分数,我 们还将使用符号
$$
a_{0}+\frac{1}{a_{1}+} \frac{1}{a_{2}+} \frac{1}{a_{3}+\ldots} \quad \text { and } \quad\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\right]
$$
一个有限简单连分数被称为表示通过以显而易见的方式执行算术获得的数字;一个无限简单连分数 $\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\right]$ 代表实数 $\alpha$ 如果
$$
\alpha=\lim n \rightarrow \infty\left[a 0, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}\right] .
$$
让 $k \in \mathbb{N}$. 整数 $a_{k}$ 被称为 $k$ 连分数的部分商 $\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots\right]$, 或数 $\alpha$ 它代表; 连分数 $\alpha_{k}=\left[a_{k}, a_{k+1}, a_{k+2}, \ldots\right]$ 是的第 $\mathrm{k}$ 个完全商 $\alpha$; 和连分数 $\left[a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{k}\right]$ 是第 $\mathrm{k}$ 个收敛到 $\alpha$.
请注意,定义为有限连分数的收敛始終是有理数。以后我们将模楜连分数和连分数所代表的数之间的区别。我们将使用这样的语言,例 如, “连分数 $\alpha=\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots\right]^{\prime}$ 而不是更准确地说,”连分数 $\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots\right]$ 代表数字 $\alpha \geqslant$
连分数、它们的收敛、部分商和完全商具有许多令人着迷的性质。

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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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