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## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Definition of scalar product

In the theory of differential operators and hence finite element method, the following definition of scalar product $(\cdot, \cdot)$ is meaningful. If $u$ and $v$ are two elements of a Hilbert space $H^{0}=L_{2}$, then we could define (called the $L_{2}$-inner product)
$$(u, v){0}=\int{\bar{\Omega}{x}} u v d \Omega{x}, \quad \forall u, v \in L_{2}\left(\bar{\Omega}{x}\right)$$ where $\bar{\Omega}{x}$ is the domain of definition of the functions $u$ and $v$. We note that the Hilbert space $H^{1}$ contains functions that are continuous but the first derivatives may be discontinuous. However, if the first derivatives are square integrable, the definition of the scalar product
$$(u, v){1}=\int{\bar{\Omega}{x}}\left(u v+\frac{d u}{d x} \frac{d v}{d x}\right) d \Omega{x}, \quad \forall u, v \in H^{1}\left(\bar{\Omega}_{x}\right)$$ is meaningful (assuming $u=u(x), v=v(x), \ldots$ ). Likewise, the scalar product $(u, v)$ in $H^{k}\left(\bar{\Omega}{x}\right)$ can be defined as $$(u, v){k}=\sum_{i=0}^{k} \int_{\bar{\Omega}{x}} \frac{d^{i} u}{d x^{i}} \frac{d^{i} v}{d x^{i}} d \Omega{x} \quad \forall u, v \in H^{k}\left(\bar{\Omega}_{x}\right)$$
The extension of the above definition for functions of more than one variable is rather straightforward.

## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Operators

The following statements summarize the properties of operators.

(1) An operator also defines a rule, law, or mapping.
(2) An operator acts on functions and hence must be defined for a set or a space of functions, called the domain of definition of the operator.
(3) An operator is denoted by a symbol together with the function on which it acts.
(4) For each element in its domain of definition, an operator produces another element. The collection of these elements is called the range (space) of the operator.
(5) In the case of initial value problems the operators are space-time operators and the functions on which the operators act are space-time functions.
Thus, if $V \subset H$ is the linear space containing functions $u, v, w, \ldots$ constituting the domain of definition of an operator $A$ then the collection of elements $A u, A v, A w, \ldots$ belong to the range of $A$, denoted ${ }^{A} V$. We have
$$A: V \rightarrow{ }^{A} V, \quad \forall u \in V$$
That is, operator $A$ maps $V$ into ${ }^{A} V\left(\forall u \in V, A(u) \in{ }^{A} V\right)$. Even though $V$ is a linear space containing functions $u, v, w, \ldots$, the nature of space ${ }^{A} V$ depends upon the specific nature of the operator $A$, which can be linear or non-linear.

# 有限元方法代考

## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Definition of scalar product

$$(u, v) 0=\int \bar{\Omega} x u v d \Omega x, \quad \forall u, v \in L_{2}(\bar{\Omega} x)$$

$$(u, v) 1=\int \bar{\Omega}{x}\left(u v+\frac{d u}{d x} \frac{d v}{d x}\right) d \Omega x, \quad \forall u, v \in H^{1}\left(\bar{\Omega}{x}\right)$$

$$(u, v) k=\sum_{i=0}^{k} \int_{\bar{\Omega} x} \frac{d^{i} u}{d x^{i}} \frac{d^{i} v}{d x^{i}} d \Omega x \quad \forall u, v \in H^{k}\left(\bar{\Omega}_{x}\right)$$

## 数学代写|有限元方法代写Finite Element Method代考|Operators

(1) 运算符还定义规则、法则或映射。
(2) 算子作用于函数，因此必须为函数集或函数空间定义，称为算子定义域。
(3) 运算符用符号及其作用的功能表示。
(4) 对于其定义域中的每个元素，一个运算符产生另一个元素。这些元素的集合称为运算符的范围（空格)。
(5) 在初值问题的情况下，算子是时空算子，算子所作用的函数是时空函数。

$$A: V \rightarrow{ }^{A} V, \quad \forall u \in V$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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