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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Lagrange’s Theorem

One of the most important invariants of a finite group is its order. While studying finite groups Lagrange established a relation between the order of a finite group and the order of its any subgroup. He proved that the order of any subgroup $H$ of a finite group $G$ divides the order of $G$. This is established by certain decompositions of the underlying set $G$ into a family of subsets ${a H: a \in G}$ or ${H a: a \in G}$, called cosets of $H$.

Let $G$ be a group and $H$ subgroup of $G$. If $a \in G$, then $a H$ denotes the subset ${a h \in G: h \in H}$ and $H a$ dennotes the subset ${h a \in G: h \in H}$ of $G$. Now $a=a 1=$ $1 a$ shows that $a \in a H$ and $a \in H a$. The set $a H$ is called the left coset of $H$ in $G$ containing $a$ and $H a$ is called the right $\operatorname{coset}$ of $H$ in $G$ containing $a$. A subset $A$ of $G$ is called a left (right) $\operatorname{coset}$ of $H$ in $G$ iff $A=a H(=H a)$ for some $a \in G$.
Lemma 2.5.1 If $H$ is a subgroup of a group $G$ and $a, b \in G$, then each of the following statements is true.
(i) $a H-H$ iff $a \in I I$;
(i)’ $H a=H$ iff $a \in H$;
(ii) $a H=b H$ iff $a^{-1} b \in H$;
(ii)’ $H a=H b$ iff $a b^{-1} \in H$;
(iii) Either $a H=b H$ or $a H \cap b H=\emptyset$;
(iii)’ Either $\mathrm{Ha}=\mathrm{Hb}$ or $\mathrm{Ha} \cap \mathrm{Hb}=\emptyset$;

## 数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Normàl Subgroups, Quotient Gromps and Homomorphism Theorems

In this section we make the study of normal subgroups and develop the theory of quotient groups with the help of homomorphisms. We show how to construct isomorphic replicas of all homomorphic images of a specified abstract group. For this purpose we introduce the concept of normal subgroups. For some subgroups of a group, every left coset is a right coset and conversely, which implies that for some subgroups, the concepts of a left coset and a right coset coincide. Such subgroups are called normal subgroups. Galois first recognized that those subgroups for which left and right cosets coincide are a distinguished one. We shall now study those subgroups $H$ of a group $G$ such that $a H=H a$ for all $a \in G$. Such subgroups play an important role in determining both the structure of a group and the nature of the homomorphisms with domain $G$.

Definition 2.6.1 Let $H$ be a subgroup of a group $G$ and $a, b \in G$. Then $a$ is said to be right (left) congruent to $b$ modulo $H$, denoted by $a \rho_{r} b(\bmod H)\left(a \rho_{l} b(\bmod H)\right)$ iff $a b^{-1} \in H\left(a^{-1} b \in H\right)$

Theorem 2.6.1 Let $H$ be a subgroup of a group H. Then the relation $\rho_{r}\left(\rho_{l}\right)$ on $G$ is an equivalence relation and the corresponding equivalence class of $a \in G$ is the right $($ left $)$ coset $\mathrm{Ha}(\mathrm{aH}) . \rho_{r}\left(\rho_{l}\right)$ is called the right (left) congruence relation on $G$ modulo $H$.

Proof We write $a \rho b$ for $a \rho_{r} b(\bmod H)$ and then prove the theorem only for right congruence $\rho$ and right cosets.
$a a^{-1}=1 \in H \Rightarrow a \rho a \quad \forall a \in G$. Again $a \rho b \Rightarrow a b^{-1} \in H \Rightarrow\left(a b^{-1}\right)^{-1} \in$ $H \Rightarrow b a^{-1} \in H \Rightarrow b \rho a$. Finally, $a \rho b$ and $b \rho c \Rightarrow a b^{-1} \in H$ and $b c^{-1} \in H \Rightarrow$ $\left(a b^{-1}\right)\left(b c^{-1}\right) \in H \Rightarrow a c^{-1} \in H \Rightarrow a \rho c$. Consequently, $\rho$ is an equivalence relation. Now for each $a \in G, a \rho={x \in G: x \rho a}=\left{x \in G: x a^{-1} \in H\right}={x \in$ $G: x a^{-1}=h$ for some $\left.h \in H\right}={x \in G: x=h a, h \in H}={h a \in G: h \in H}=$ $H a$.

# 现代代数代考

## 数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Lagrange’s Theorem

(一世) $a H-H$ 当且当 $a \in I I ;$ (一世) ‘ $H a=H$ 当且当 $a \in H ;$ (二) $a H=b H$ 当且当 $a^{-1} b \in H$;
(ii)’ $H a=H b$ 当且当 $a b^{-1} \in H$;
(iii) 无论是 $a H=b H$ 或者 $a H \cap b H=\emptyset$;
(iii)’ 要么 $\mathrm{Ha}=\mathrm{Hb}$ 或者 $\mathrm{Ha} \cap \mathrm{Hb}=\emptyset$;

## 数学代写|现代代数代写Modern Algebra代考|Normàl Subgroups, Quotient Gromps and Homomorphism Theorems

$a a^{-1}=1 \in H \Rightarrow a \rho a \quad \forall a \in G$. 再次 $a \rho b \Rightarrow a b^{-1} \in H \Rightarrow\left(a b^{-1}\right)^{-1} \in H \Rightarrow b a^{-1} \in H \Rightarrow b \rho a$. 最后， $a \rho b$ 和 $b \rho c \Rightarrow a b^{-1} \in H$ 和 $b c^{-1} \in H \Rightarrow$
$\left(a b^{-1}\right)\left(b c^{-1}\right) \in H \Rightarrow a c^{-1} \in H \Rightarrow a \rho c$. 最后， $\rho$ 是等价关系。现在对于每个\1eft 的分隔符缺失或无法识别
$H a$.

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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