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## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Inversion Generating Function for Permutations

A permutation
$$\sigma=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \ldots & n \ \sigma_{1} & \sigma_{2} & \ldots & \sigma_{n} \end{array}\right)$$
written in 1-line notation is $\sigma_{1} \sigma_{2} \cdots \sigma_{n}$. A pair of indices $i\sigma_{j}$. So an inversion is an out of order pair in the 1-line representation of $\sigma$.
We define
$$\operatorname{inv}(\sigma)=\sum_{i\sigma_{j}\right),$$
in other words $\operatorname{inv}(\sigma)$ is the total number of inversions in $\sigma$. We use the notation $i(\sigma)$ interchangeably with inv $(\sigma)$.
There are two extreme cases we note: the permutation
$$\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \ 1 & 2 & 3 & \ldots n \end{array}\right)$$
has no inversions. Its reverse has every pair of indices inverted, and there are $\left(\begin{array}{l}n \ 2\end{array}\right)$ of these. Therefore
$$\operatorname{inv}\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \ 1 & 2 & 3 & \ldots & n \end{array}\right)=0, \quad \operatorname{inv}\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \ n & n-1 & n-2 & \ldots & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} n \ 2 \end{array}\right)$$

## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Gaussian Polynomials

Knowing the generating function of permutations by inversions allows us to give a combinatorial interpretation of Gaussian polynomials, or the so-called q-binomial coefficients. These are defined as follows.
Denoting by the symbol $(q){n}$ the polynomial $$(1+q)\left(1+q+q^{2}\right) \cdots\left(1+q+\cdots+q^{n-1}\right)$$ we put $$\left[\begin{array}{c} n+m \ n \end{array}\right]=\frac{(q){n+m}}{(q){m}(q){n}} .$$
It is clear that setting $q=1$ in (2.22) one obtains $n$ !, so with this substitution (2.23) reduces to
$$\frac{(n+m) !}{m ! n !}=\left(\begin{array}{c} n+m \ n \end{array}\right)$$
which is the ordinary binomial coefficient.
What is not so clear is that the right hand side of (2.23) is actually a polynomial in $q$, since the factors of the expressions in the denominator do not seem to appear among the factors of the numerator.
As a few examples we have
\begin{aligned} {\left[\begin{array}{l} 5 \ 2 \end{array}\right] } &=\frac{(q){5}}{(q){3}(q)_{2}} \ &=\frac{(1+q)\left(1+q+q^{2}\right)\left(1+q+q^{2}+q^{3}\right)\left(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}\right)}{(1+q)\left(1+q+q^{2}\right)(1+q)} \ &=\frac{\left(1+q+q^{2}+q^{3}\right)\left(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}\right)}{(1+q)} \ &=1+q+2 q^{2}+2 q^{3}+2 q^{4}+q^{5}+q^{6} \end{aligned}

# 组合学代考

## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Inversion Generating Function for Permutations

p=(12…n p1p2…pn)

$$\operatorname{inv}(\sigma)=\sum_{i\sigma_{j}\right)， 一世n○吨H和r在○rds投资(p)一世s吨H和吨○吨一个ln在米b和r○F一世n在和rs一世○ns一世np.在和在s和吨H和n○吨一个吨一世○n一世(p)一世n吨和rCH一个nG和一个bl是在一世吨H一世n在(p).吨H和r和一个r和吨在○和X吨r和米和C一个s和s在和n○吨和:吨H和p和r米在吨一个吨一世○n \剩下（123…n 123…n\正确的） H一个sn○一世n在和rs一世○ns.我吨sr和在和rs和H一个s和在和r是p一个一世r○F一世nd一世C和s一世n在和r吨和d,一个nd吨H和r和一个r和(n 2)○F吨H和s和.吨H和r和F○r和 \operatorname{inv}\left(123…n 123…n\right)=0, \quad \operatorname{inv}\left(123…n nn−1n−2…1\右）=\左（n 2\右）$$

## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Gaussian Polynomials

$$(1+q)\left(1+q+q^{2}\right) \cdots\left(1+q+\cdots+q^{n-1}\right)$$

$$[n+m n]=\frac{(q) n+m}{(q) m(q) n} .$$

$$\frac{(n+m) !}{m ! n !}=(n+m n)$$

$$[52]=\frac{(q) 5}{(q) 3(q)_{2}} \quad=\frac{(1+q)\left(1+q+q^{2}\right)\left(1+q+q^{2}+q^{3}\right)\left(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}\right)}{(1+q)\left(1+q+q^{2}\right)(1+q)}=\frac{\left(1+q+q^{2}+q^{3}\right)\left(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}\right)}{(1+q)}$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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