数学代写|编码理论代写Coding theory代考|ELEN90030

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我们提供的编码理论Coding theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|DETERMINING MINIMAL POLYNOMIALS

If $w$ is a root in $\mathrm{GF}\left(q^{m}\right)$ of an irreducible polynomial of degree $m$ over $\mathrm{GF}(q)$, then every element in $\mathrm{GF}\left(q^{m}\right)$ may be expressed as a polynomial over $\mathrm{GF}(q)$ of degree $<m$ in $w$. Each element in $\mathrm{GF}\left(q^{m}\right)$ is a root of some minimal polynomial over $\mathrm{GF}(q)$, and the degree of this minimal polynomial is a divisor of $m$. Often one wishes to determine this minimal polynomial.

For example, suppose $w$ is a root in $\mathrm{GF}\left(2^{6}\right)$ of the cyclotomic polynomial $Q^{(9)}(x)=x^{6}+x^{3}+1$. Since the multiplicative order of $2 \bmod 9$ is $6, w$ has 6 distinct conjugates in $\mathrm{GF}\left(2^{6}\right)$, and $Q^{(9)}(x)$ is irreducible over $\mathrm{GF}(2)$. Suppose $u=w^{3}+w+1$. What is the minimal polynomial of $u$ ?

The most straightforward approach is to express $u, u^{2}, u^{3}, \ldots, u^{6}$ as polynomials in $w$ and to determine which linear combination of these is 0. In the present example, we have
$$
\begin{aligned}
1 &=1 & & \
u &=1+w & &+w^{3} \
u^{2} &=& w^{2}+w^{3} \
u^{3} &=1 & &+w^{2}+w^{3}+w^{4}+w^{5} \
u^{4} &=1 & &+w^{3}+w^{4} \
u^{5} &=& & w^{3}+w^{4}+w^{5} \
u^{6} &=& & w+w^{2}+w^{3}+w^{4}+w^{5}
\end{aligned}
$$
Solving the equations
$$
\left[M_{0}, M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}, M_{5}, M_{6}\right]\left[\begin{array}{llllll}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right]=[0,0,0,0,0,0]
$$
we obtain $\mathbf{M}=[1,1,1,0,0,1,1]$, so the minimal polynomial of $u$ is $1+x+$ $x^{2}+x^{5}+x^{6}$.

This method has the advantage of great generality. It is also easily programmed on a computer, and it is quite feasible even for large fields. In certain special cases, however, hand computations may be considerably shortened by the use of appropriate shortcuts which we now present.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|REORDERING THE COLUMNS OF THE PARITY-CHECK MATRIX OF HAMMING CODES

In Sec. 1.3, we saw how to construct single-error-correcting codes having $n=2^{m}-1$ digits, of which $m$ are check digits and $n-m$ are information digits. Each of the $n$ columns of the parity-check matrix must contain a different nonzero binary $m$-tuple, which is called the location number of that digit. As long as the $n$ different digits of the code are assigned different nonzero location numbers, it does not matter how these location numbers are ordered. For example, the parity-check matrix for a single-error-correcting code of block length 15 might be given as
$$
\mathcal{F}^{\prime}=\left[\begin{array}{lllllllllllllll}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$
In order to correct additional errors, we must add more rows to this matrix. In order to find intelligent methods for adding those additional rows and in order to decode the resulting codes, we found it helpful to consider each of these $n$ error location numbers as a nonzero element in $\mathrm{GF}\left(2^{m}\right)$, represented as a binary polynomial of degree $<m$ in a root of some irreducible binary polynomial of degree $m$. We shall now show that this viewpoint is also helpful for designing efficient encoders and decoders, even in the single-error-correcting case.

In the present example, with $m=4$, we might choose the primitive polynomial to be $x^{4}+x+1$. The leftmost column then has location number 1 ; the second column, location number $\alpha$; the third column, location number $\alpha+1 ; \ldots$; the eleventh column, $\alpha^{3}+\alpha+1 ; \ldots .$ If we denote the error location numbers by the field elements $\eta_{i}^{\prime}, i=0,1$, $2, \ldots, 14$, we have $\eta_{0}^{\prime}=1, \eta_{1}^{\prime}=\alpha, \eta_{2}^{\prime}=\alpha+1, \eta_{3}^{\prime}=\alpha^{2}, \eta_{4}^{\prime}=\alpha^{2}+1$, $\eta_{5}^{\prime}=\alpha^{2}+\alpha, \ldots, \eta_{14}^{\prime}=\alpha^{3}+\alpha^{2}+\alpha+1$. The 15-dimensional binary vector $\mathrm{R}=\left[R_{0}, R_{1}, \ldots, R_{14}\right]$ then has the syndrome $\exists \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{R}^{t}$, which is the Galois field representation of the sum of the corresponding location numbers, $\xi C^{\prime} \mathbf{R}^{t}=\sum_{i=0}^{14} R_{i \eta_{i}^{\prime}}$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|REORDERING THE COLUMNS OF THE PARITY-CHECK MATRIX

The syndrome, $\mathbf{S}^{t}=\xi c R^{t}$, consists of $2 m$ digits. The first $m$ digits of the syndrome give $S_{1}$, the sum of the error locetions; the second $m$ digits of the syndrome give $S_{3}$, the sum of the cubes of the error locations. If the received vector is represented by the polynomial $R(x)=\sum_{i=0}^{n-1} R_{i} x^{i}$, then $S_{1}-R(u)$, and $S_{3}-R\left(\alpha^{3}\right)$. These two power sums may be computed from the received word separately. To compute $S_{1}$, we divide $R(x)$ by $M^{(1)}(x)$, the minimal polynomial of $\alpha$, to obtain the remainder $r^{(1)}(x)$. We then have $S_{1}=r^{(1)}(\alpha)$. To compute $S_{3}$, we divide $R(x)$ by

$M^{(3)}(x)$, the minimal polynomial of $\alpha^{3}$, to obtain the remainder $r^{(3)}(x)$. We then compute $S_{3}=r^{(3)}\left(\alpha^{3}\right)$. In general, the calculation of $S_{3}$ from $r^{(3)}$ may require as many as $m$ parity checks, and each of these parity checks has at most $m$ inputs. $\dagger$

In the present example, the minimal polynomial of $\alpha^{3}$ is $x^{4}+x^{3}+$ $x^{2}+x+1$. The polynomials $r^{(1)}(x)$ and $r^{(3)}(x)$ may be obtained by running the received word through the horizontal feedback shift registers shown in Fig. 5.06. As the decoder receives the digits from the channel, they are fed into the 15-digit received-word buffer, shown horizontally at the top of Fig. 5.06. After all 15 digits of the block are received, this buffer contains the polynomial $R(x)$, representing the received word. As the received channel digits are fed into this register, they are simultaneously fed into the two feedback shift registers, wired according to the minimal polynomials of $\alpha$ and $\alpha^{3}$. These registers are initially zero. As the digits arrive from the channel, these registers divide the polynomial $R(x)$ by $M^{(1)}$ and $M^{(3)}$, the minimal polynomials of $\alpha$ and $\alpha^{3}$, respectively. When the entire block of 15 digits has arrived, these registers contain the remainders $r^{(1)}(x)$ and $r^{(3)}(x)$.

编码理论代考

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如果 $w$ 是一个根GF $\left(q^{m}\right)$ 一个不可约多项式的 $m$ 超过GF $(q)$, 那么中的每个元素 GF $\left(q^{m}\right)$ 可以表示为多项式GF $(q)$ 学位 $<m$ 在 $w$. 中的每个元素 $\mathrm{GF}\left(q^{m}\right)$ 是某个最小多项式的根 $\mathrm{GF}(q)$ ，并且这个最小多项式的次数是 $m$. 通常人们希望确定这个最小多项式。
例如，假设 $w$ 是一个根GF $\left(2^{6}\right)$ 分圆多项式的 $Q^{(9)}(x)=x^{6}+x^{3}+1$. 由于乘法顺序 $2 \bmod 9$ 是 $6, w$ 有 6 个不同的共轭GF $\left(2^{6}\right)$ ，和 $Q^{(9)}(x)$ 是不可约的 $\mathrm{GF}(2)$. 认为 $u=w^{3}+w+1$. 的最小多项式是什么 $u$ ?
最直接的方法是表达 $u, u^{2}, u^{3}, \ldots, u^{6}$ 作为多项式 $w$ 并确定它们的哪个线性组合为 0 。在本例中，我们有
$$
1=1 \quad u \quad=1+w \quad+w^{3} u^{2}=w^{2}+w^{3} u^{3}=1 \quad+w^{2}+w^{3}+w^{4}+w^{5} u^{4} \quad=1 \quad+w^{3}+w^{4} u^{5}=\quad w^{3}+w^{4}+
$$
求解方程
我们获得 $\mathbf{M}=[1,1,1,0,0,1,1]$, 所以最小多项式 $u$ 是 $1+x+x^{2}+x^{5}+x^{6}$.
该方法具有通用性强的优点。它也很容易在计算机上编程，即使对于大领域也相当可行。然而，在某些特殊情况下，通过使用我们现在提出的适当快捷方式，可以大大缩短手动计算。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|REORDERING THE COLUMNS OF THE PARITY-CHECK MATRIX OF HAMMING CODES

在秒。 $1.3$ ，我们看到了如何构造具有 $n=2^{m}-1$ 位数，其中 $m$ 是校验位和 $n-m$ 是信息数字。每个 $n$ 奇偶校验矩阵的列必须包含不同的非零二进制 $m$-tuple，称为该数字的位置编号。只要 $n$ 代码的不同数字被分配不同的非零位置编号，这些位置编号的排序方式无关紧要。例如，块长度为 15 的单纠错码的奇偶校验矩阵可以给出为
为了纠正额外的错误，我们必须向这个矩阵添加更多的行。为了找到添加这些额外行的智能方法并解码生成的代码，我们发现考虑其中的每一个都是有帮助的 $n$ 错误位置编号作为非零元素 $\mathrm{GF}\left(2^{m}\right)$ ，表示为度的二进制多项式 $<m$ 在某个不可约二元多项式的根中 $m$. 我们现在将证明这个观点也有助于设计高效的编码器和解码器，即使在单纠错的情况下也是如此。
在本例中，与 $m=4$ ，我们可以选择原始多项式为 $x^{4}+x+1$. 然后最左边的列具有位置编号 1 ；第二列，位置编号 $\alpha$; 第三列，位置编号 $\alpha+1 ; \ldots$; 第十一栏， $\alpha^{3}+\alpha+1 ; \ldots$. 如果我们用字段元素表示错误位置编号 $\eta_{i}^{\prime}, i=0,1,2, \ldots, 14$ ，我们有 $\eta_{0}^{\prime}=1, \eta_{1}^{\prime}=\alpha, \eta_{2}^{\prime}=\alpha+1, \eta_{3}^{\prime}=\alpha^{2}, \eta_{4}^{\prime}=\alpha^{2}+1, \eta_{5}^{\prime}=\alpha^{2}+\alpha, \ldots, \eta_{14}^{\prime}=\alpha^{3}+\alpha^{2}+\alpha+1.15$ 维二进制向量

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综合症， $\mathbf{S}^{t}=\xi c R^{t}$ ，由组成 $2 m$ 位数。首先 $m$ 综合症的数字给 $S_{1}$ ，错误位置的总和；第二 $m$ 综合症的数字给 $S_{3}$ ，误差位置的立方和。如果接收到的向量由多项式表示 $R(x)=\sum_{i=0}^{n-1} R_{i} x^{i}$ ，然后 $S_{1}-R(u)$ ，和 $S_{3}-R\left(\alpha^{3}\right)$. 这两个功率和可以分别从接收到的字中计算出
$M^{(3)}(x)$ ，的最小多项式 $\alpha^{3}$ ，得到余数 $r^{(3)}(x)$. 然后我们计算 $S_{3}=r^{(3)}\left(\alpha^{3}\right)$. 一般来说，计算 $S_{3}$ 从 $r^{(3)}$ 可能需要多达 $m$ 奇偶校验，每个奇偶校验最多有 $m$ 输入。 $\dagger$
在本例中，最小多项式 $\alpha^{3}$ 是 $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$. 多项式 $r^{(1)}(x)$ 和 $r^{(3)}(x)$ 可以通过将接收到的字通过图 $5.06$ 所示的水平反馈移位寄存器运行来获得。当解码器从通道接收数字时，它们被送入 15 位接收字缓冲区，如图 $5.06$ 顶部水平所示。在接收到块的所有 15 位后，此缓冲区包含多项式 $R(x)$ ，表示接收到的单词。当接收到的通道数字被送入该寄存器时，它们同时被送入两个反馈移位奇存器，根据最小多项式接线 $\alpha$ 和 $\alpha^{3}$. 这些寄存器最初为零。当数字从通道到达时，这些寄存器除以多项式 $R(x)$ 经过 $M^{(1)}$ 和 $M^{(3)}$ ，的最小多项式 $\alpha$ 和 $\alpha^{3}$ ，分别。当整个 15 位数字块到达时，这些奇存器包含余数 $r^{(1)}(x)$ 和 $r^{(3)}(x)$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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