数学代写|编码理论代写Coding theory代考|MTH 4107

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我们提供的编码理论Coding theory及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|GENERAL PROPERTIES OF CYCLIC CODES

For both single- and double-error-correcting BCH codes, we were able to find a polynomial $g(x)$ which had the property that a binary polynomial $C(x)$, of degree $<n$, represents a codeword iff $C(x)$ is a multiple of $g(x)$. This polynomial, $g(x)$, is called the generator polynomial of the cyclic code. Let the polynomial $C(x)$ be divided by some multiple of $g(x)$, say $g(x) h(x)$. This gives a quotient $q(x)$ and a remainder $r(x)$, so $C=q g h+r$, and $C$ is a multiple of $g$ iff $r$ is a multiple of $g$. Thus, if the polynomial $C(x)$ represents a codeword, then any multiple of $C(x) \bmod g(x) h(x)$ represents another codeword. In particular, if $g$ is the product of distinct irreducible polynomials of degrees dividing $m$, and $g \neq x$, then $g$ divides $x^{2^{m}-1}-1=x^{n}-1$. Taking $h(x)=\left(x^{n}-1\right) / g(x)$, we conclude that if the polynomial $C(x)$ represents a codeword, then so does every multiple of $C(x) \bmod x^{n}-1$.

If the polynomial $C(x)=C_{0}+C_{1} x+C_{2} x^{2}+\cdots+C_{n-1} x^{n-1}$ is multiplied by $x \bmod x^{n}-1$, the result is $C_{n-1}+C_{0} x+\cdots+C_{n-2} x^{n-1}$. The codeword represented by the polynomial $x C(x) \bmod x^{n}-1$ is seen to be a cyclic shift of the codeword represented by the polynomial $C(x)$. Since every cyclic shift of a codeword therefore gives another codeword, we say that the code is a cyclic code. Evidently, if $g(x)$ is any divisor of $x^{n}-1$, then the set of multiples of $g(x) \bmod x^{n}-1$ forms a linear cyclic code. This is true even if $n+1$ is not a power of 2 .

Conversely, if the codewords of a linear cyclic code are represented by a set of polynomials, then for every code polynomial $C(x)$, the code contains all cyclic shifls of $C(x)$. The $k$ th cyclic right shift of the polynomial $C(x)$ is the polynomial $x^{k} C(x) \bmod x^{n}-1$. Since the sum of codewords of a linear code is also a codeword of the same linear code, the code must contain all multiples of $C(x) \bmod x^{n}-1$. Using Euclid’s algorithm, we may write the ged of $C(x)$ and $x^{n}-1$ as a multiple of $C(x) \bmod x^{n}-1$. Hence, a linear cyclic code contains the ged of every codeword polynomial and $x^{n}-1$. If we let $g(x)$ denote the codeword polynomial of lowest degree, we conclude that $g(x)$ must divide $x^{n}-1$ and that every codeword polynomial must be a multiple of $g(x)$.

We conclude that the codeword polynomials of any linear cyclic code consist of the multiples of some generator polynomial mod $x^{n}-1$, where the generator polynomial $g(x)$ is a divisor of $x^{n}-1$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|THE CHIEN SEARCH

In Sec. $5.1$ we found that even after the decoder knows the error locations, it is difficult to correct the errors immediately. It turns out to be simpler to wait until the erroneous digits leave the received-word buffer, and then to correct them as they leave.

One approach to the correction problem, due to Chien (1964), avoids the explicit solution of the algebraic equation $\sigma\left(z^{-1}\right)=0$. As the digit at location $X_{i}$ leaves the buffer, the decoder may calculate the polynomial $\sigma\left(X_{i}^{-1}\right)$ to see whether or not this is zero. If $\sigma\left(X_{i}^{-1}\right) \neq 0$, then the digit at location $X_{i}$ is unchanged; if $\sigma\left(X_{i}^{-1}\right)=0$, then the error at location $X_{i}$ is corrected. This method is not restricted to single- and doubleerror-correcting codes. Once the decoder has found the coetticients of the error locator $\sigma(z)=\sum_{i=0}^{t} \sigma_{i} z^{i}$, whose roots are the reciprocals of the error locations, then Chien’s search may be used to test each of the locations $\alpha^{-1}, \alpha^{-2}, \alpha^{-3}, \ldots, 1$, to see if the digit in the position now leaving the buffer is a reciprocal root of the error locator. For double-errorcorrecting binary BCH codes, the error locator $\sigma(z)$ may be computed according to Eq. (1.47); for multiple-error-correcting BCH codes, the error locator may be computed by more involved procedures which we shall present in Chap. $7 .$

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|OUTLINE OF GENERAL DECODER FOR ANY CYCLIC BINARY CODE

A sketch of an overall design for any binary cyclic code is shown in Fig. 5.14. The decoder consists of four principal parts, a buffer of $2 n$ digits, shift registers wired to divide the incoming word by each irreducible factor of the generator polynomial, a central Galois field processor, and a Chien searcher. At a typical instant of time, the buffer will hold parts of three successive blocks, as shown in Fig. 5.15. The first $i$ digits of the buffer hold the first $i$ digits of the incoming word; the next $n$ digits of the buffer hold the entire buffered word; the last $n-i$ digits of the buffer hold the last $n-i$ digits of the outgoing word. The Chien searcher is in the process of computing $\sigma\left(\alpha^{i}\right)$ in order to determine whether or not the next digit to leave the buffer should be corrected. The shift registers wired to divide the incoming word by each irreducible factor of the generator polynomial are busily doing just that. The central processor is engaged in trying to find the error-locator polynomial for the buffered word.

When all the $n$ digits of the incoming block have been received, then all the digits of the outgoing block have left. The buffer then appears as in Fig. 5.16. The buffered block then becomes the outgoing block, and the incoming block becomes the buffered block. The coefficients of the error-locator polynomial are read out of the central GF processor and into the Chien searcher, as the remainders of the received word divided by each irreducible factor of the generator polynomial are read into the central GF processor. As the next $n$ digits of the incoming word arrive from the channel, the central GF computer must compute the coefficients of the error-locator polynomial for the buffered word.

编码理论代考

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|GENERAL PROPERTIES OF CYCLIC CODES

对于单纠错和双纠错 $\mathrm{BCH}$ 码，我们能够找到一个多项式 $g(x)$ 它具有二进制多项式的性质 $C(x)$, 度数 $<n$, 表示一个码字 iff $C(x)$ 是的倍数 $g(x)$. 这个多项式， $g(x)$, 称为循环码的生成多项式。让多项式 $C(x)$ 被某个倍数除以 $g(x)$ ，说 $g(x) h(x)$. 这给出了一个商 $q(x)$ 和剩余的 $r(x)$ ，所以 $C=q g h+r$ ，和 $C$ 是的倍数 $g$ 当且当 $r$ 是的倍数 $g$. 因此，如果多项式 $C(x)$ 表示一个码字，然后是 $C(x) \bmod g(x) h(x)$ 代表另一个码字。特别是，如果 $g$ 是不同的不可约多项式的度除法的乘积 $m$ ，和 $g \neq x$ ，然后 $g$ 划分 $x^{2^{m}-1}-1=x^{n}-1$. 服用 $h(x)=\left(x^{n}-1\right) / g(x)$ ，我们得出结论，如果多项式 $C(x)$ 代表一个码字，那么每个 $C(x) \bmod x^{n}-1$.
如果多项式 $C(x)=C_{0}+C_{1} x+C_{2} x^{2}+\cdots+C_{n-1} x^{n-1}$ 乘以 $x \bmod x^{n}-1$ ，结果是 $C_{n-1}+C_{0} x+\cdots+C_{n-2} x^{n-1}$. 多项式表示的码字 $x C(x) \bmod x^{n}-1$ 被视为由多项式表示的码字的循环移位 $C(x)$. 由于代码字的每个循环移位因此给出另一个代码字，我们说该代码是循环代码。显然，如果 $g(x)$ 是任何除数 $x^{n}-1$ ，然后是的倍数的集合 $g(x) \bmod x^{n}-1$ 形成一个线性循环码。这是真的，即使 $n+1$ 不是 2 的幂。
相反，如果线性循环码的码字由一组多项式表示，那么对于每个码多项式 $C(x)$ ，代码包含所有循环移位 $C(x)$. 这 $k$ 多项式的第 th 次循环右移 $C(x)$ 是多项式 $x^{k} C(x) \bmod x^{n}-1$. 由于一个线性码的码字之和也是同一个线性码的码字，所以该码必须包含所有的倍数 $C(x) \bmod x^{n}-1$. 使用欧几里得算法，我们可以写出 $C(x)$ 和 $x^{n}-1$ 作为的倍数 $C(x) \bmod x^{n}-1$. 因此，线性循环码包含每个码字多项式的 ged 和 $x^{n}-1$. 如果我们让 $g(x)$ 表示最低次数的码字多项式，我们得出结论 $g(x)$ 必须分开 $x^{n}-1$ 并且每个码字多项式必须是 $g(x)$.
我们得出结论，任何线性循环码的码字多项式都由一些生成多项式 $\bmod$ 的倍数组成 $x^{n}-1$ ，其中生成多项式 $g(x)$ 是一个除数 $x^{n}-1$.

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|THE CHIEN SEARCH

在秒。5.1我们发现即使解码器知道错误位置后，也很难立即纠正错误。事实证明，等到错误的数字离开接收字缓冲区，然后在它们离开时纠正它们更简单。
由 Chien (1964) 提出的校正问题的一种方法避免了代数方程的显式解 $\sigma\left(z^{-1}\right)=0$. 作为位置的数字 $X_{i}$ 离开缓冲区，解码器可以计算多项式 $\sigma\left(X_{i}^{-1}\right)$ 看看这是否为零。如果 $\sigma\left(X_{i}^{-1}\right) \neq 0$ ，然后是位置的数字 $X_{i}$ 不变；如果 $\sigma\left(X_{i}^{-1}\right)=0$ ，然后位置的错误 $X_{i}$ 被纠正。这种方法不限于单纠错码和双纠错码。一旦解码器找到错误定位器的系数 $\sigma(z)=\sum_{i=0}^{t} \sigma_{i} z^{i}$ ，其根是错误位置的倒数，则可以使用 Chien 搜索来测试每个位置 $\alpha^{-1}, \alpha^{-2}, \alpha^{-3}, \ldots, 1$ ，看看现在离开缓冲区的位置中的数字是否是错误定位器的倒数根。对于双纠错二进制 BCH 码，错误定位器 $\sigma(z)$ 可以根据公式计算。(1.47) ；对于多纠错 $\mathrm{BCH}$ 码，错误定位器可以通过我们将在第 1 章中介绍的更复杂的过程来计算。

数学代写|编码理论代写Coding theory代考|OUTLINE OF GENERAL DECODER FOR ANY CYCLIC BINARY CODE

任何二进制循环码的总体设计草图如图 $5.14$ 所示。解码器由四个主要部分组成，一个缓冲区 $2 n$ 位，移位寄存器连接以将输入字除以生成多项式的每个不可约因子，中央伽罗瓦场处理器和Chien搜索器。在一个典型的时刻，缓冲区将保存三个连续块的一部分，如图 $5.15$ 所示。首先 $i$ 缓冲区的数字保持第一个 $i$ 输入单词的数字；下一个 $n$ 缓冲区的数字保存整个缓冲字；最后 $n-i$ 缓冲区的数字保留最后一个 $n-i$ 传出单词的数字。Chien 搜索器在计算过程中 $\sigma\left(\alpha^{i}\right)$ 为了确定是否应该更正离开缓冲区的下一个数字。连接到将输入字除以生成多项式的每个不可约因数的移位寄存器正忙于这样做。中央处理器试图找到缓冲字的错误定位多项式。
当所有的 $n$ 已收到传入块的数字，则传出块的所有数字都已离开。然后缓冲区如图 $5.16$ 所示。然后缓冲块成为传出块，传入块成为缓冲块。错误定位多项式的系数从中央 GF 处理器读出并进入 Chien 搜索器，因为接收到的字的余数除以生成多项式的每个不可约因数被读入中央 GF 处理器。作为下一个 $n$ 输入字的数字从通道到达，中央 GF 计算机必须计算缓冲字的错误定位多项式的系数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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