assignmentutor™您的专属作业导师

assignmentutor-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写表示论Representation theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写表示论Representation theory代写方面经验极为丰富，各种代写表示论Representation theory相关的作业也就用不着说。

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数学代写|表示论代写Representation theory代考|Simple Modules for Path Algebras

In this section we completely describe the simple modules for finite-dimensional path algebras of quivers.

Let $Q$ be a quiver without oriented cycles, then for any field $K$, the path algebra $A=K Q$ is finite-dimensional (see Exercise 1.2). We label the vertices of $Q$ by $Q_{0}={1, \ldots, n}$. Recall that for every vertex $i \in Q_{0}$ there is a trivial path $e_{i}$ of length 0 . We consider the $A$-module $A e_{i}$ generated by $e_{i}$; as a vector space this module is spanned by the paths which start at $i$. The $A$-module $A e_{i}$ has an $A$ submodule $J_{i}:=A e_{i}^{\geq 1}$ spanned by all paths of positive length starting at vertex $i$.
Hence we get $n$ one-dimensional (hence simple) $A$-modules as factor modules of the form
$$S_{i}:=A e_{i} / J_{i}=\operatorname{span}\left{e_{i}+J_{i}\right}$$ for $i=1, \ldots, n$. The $A$-action on these simple modules is given by $e_{i}\left(e_{i}+J_{i}\right)=e_{i}+J_{i}$ and $p\left(e_{i}+J_{i}\right)=0$ for all $p \in \mathcal{P} \backslash\left{e_{i}\right}$
where $\mathcal{P}$ denotes the set of paths in $Q$. The $A$-modules $S_{1}, \ldots, S_{n}$ are pairwise nonisomorphic. In fact, let $\varphi: S_{i} \rightarrow S_{j}$ be an $A$-module homomorphism for some $i \neq j$. Then there exists a scalar $\lambda \in K$ such that $\varphi\left(e_{i}+J_{i}\right)=\lambda e_{j}+J_{j}$. Hence we get
$$\varphi\left(e_{i}+J_{i}\right)=\varphi\left(e_{i}^{2}+J_{i}\right)=\varphi\left(e_{i}\left(e_{i}+J_{i}\right)\right)=e_{i}\left(\lambda e_{j}+J_{j}\right)=\lambda\left(e_{i} e_{j}+J_{j}\right)=0$$
since $e_{i} e_{j}=0$ for $i \neq j$. In particular, $\varphi$ is not an isomorphism.
We now show that this gives all simple $K Q$-modules, up to isomorphism.

## 数学代写|表示论代写Representation theory代考|Simple Modules for Direct Products

In this section we will describe the simple modules for direct products $A=A_{1} \times \ldots \times A_{r}$ of algebras. We will show that the simple $A$-modules are precisely the simple $A_{i}$-modules, viewed as $A$-modules by letting the other factors act as zero. We have seen a special case in Example 3.14.

Let $A=A_{1} \times \ldots \times A_{r}$. The algebra $A$ contains $\varepsilon_{i}:=\left(0, \ldots, 0,1_{A_{i}}, 0, \ldots, 0\right)$ for $1 \leq i \leq r$, and $\varepsilon_{i}$ commutes with all elements of $A$. Moreover, $\varepsilon_{i} \varepsilon_{j}=0$ for $i \neq j$ and also $\varepsilon_{i}^{2}=\varepsilon_{i}$; and we have
$$1_{A}=\varepsilon_{1}+\ldots+\varepsilon_{r}$$
Each $A_{i}$ is isomorphic to a factor algebra of $A$, via the projection map
$$\pi_{i}: A \rightarrow A_{i}, \pi_{i}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=a_{i}$$
This is convenient for computing with inflations of modules. Indeed, if $M$ is an $A_{i}$-module then if we view it as an $A$-module by the usual inflation (see Remark 2.38), the formula for the action of $A$ is
$$\left(a_{1}, \ldots, a_{r}\right) \cdot m:=a_{i} m \text { for }\left(a_{1}, \ldots, a_{r}\right) \in A, m \in M$$

## 数学代写|表示论代写Representation theory代考|Simple Modules for Path Algebras

$Q_{0}=1, \ldots, n$. 回想一下，对于每个顶点 $i \in Q_{0}$ 有一条平凡的道路 $e_{i}$ 长度为 0 。我们认为 $A$-模块 $A e_{i}$ 由产生 $e_{i} ;$ 作为向量空间，该模块由 开始于的路径跨越 $i$. 这 $A$-模块 $A e_{i}$ 有一个 $A$ 子模块 $J_{i}:=A e_{i}^{\geq 1}$ 由从顶点开始的所有正长度路径跨越 $i$.

$\backslash 1$ eft 的分隔符缺失或无法识别

\eft 的分隔符缺失或无法识别

$$\varphi\left(e_{i}+J_{i}\right)=\varphi\left(e_{i}^{2}+J_{i}\right)=\varphi\left(e_{i}\left(e_{i}+J_{i}\right)\right)=e_{i}\left(\lambda e_{j}+J_{j}\right)=\lambda\left(e_{i} e_{j}+J_{j}\right)=0$$

## 数学代写|表示论代写Representation theory代考|Simple Modules for Direct Products

$$1_{A}=\varepsilon_{1}+\ldots+\varepsilon_{r}$$

$$\pi_{i}: A \rightarrow A_{i}, \pi_{i}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=a_{i}$$

$$\left(a_{1}, \ldots, a_{r}\right) \cdot m:=a_{i} m \text { for }\left(a_{1}, \ldots, a_{r}\right) \in A, m \in M$$

## 有限元方法代写

assignmentutor™作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

assignmentutor™您的专属作业导师
assignmentutor™您的专属作业导师