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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。
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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Finding All Simple Modules
The Jordan-Hölder theorem shows that every module which has a composition series can be built from simple modules. Therefore, it is a fundamental problem of representation theory to understand what the simple modules of a given algebra are.
Recall from Example $2.25$ the following notion. Let $A$ be a $K$-algebra and $V$ an $A$-module. Then for every $v \in V$ we set $\operatorname{Ann}{A}(v)={a \in A \mid a v=0}$, and call this the annihilator of $v$ in $A$. We have seen in Example $2.25$ that for every $v \in V$ there is an isomorphism of $A$-modules $A / A{A} n_{A}(v) \cong A v$. In the context of simple modules this takes the following form, which we restate here for convenience.
Lemma 3.18. Let $A$ be a $K$-algebra and $S$ a simple A-module. Then for every non-zero $s \in S$ we have that $S \cong A / A_{A}(s)$ as A-modules.
Proof. As in Example $2.25$ we consider the A-module homomorphism $\psi: A \rightarrow S, \psi(a)=a s$. Since $S$ is simple and $s$ non-zero, this map is surjective by Lemma 3.3, and by definition the kernel is $\operatorname{Ann}{A}(s)$. So the isomorphism theorem yields $A / \operatorname{Ann}{A}(s) \cong \operatorname{im}(\psi)=A s=S$.
This implies in particular that if an algebra has a composition series, then it can only have finitely many simple modules:
Theorem 3.19. Let A be a $K$-algebra which has a composition series as an $A$ module. Then every simple A-module occurs as a composition factor of A. In particular, there are only finitely many simple A-modules, up to isomorphism.
Proof. By Lemma $3.18$ we know that if $S$ is a simple $A$-module then $S \cong A / I$ for some $A$-submodule $I$ of $A$. By Proposition $3.17$ there is some composition series of $A$ in which $I$ is one of the terms. Since $A / I$ is simple there are no further $A$ submodules between $I$ and $A$ (see Lemma 3.4). This means that $I$ can only appear as the penultimate entry in this composition series, and $S \cong A / I$, so it is a composition factor of $A$.
For finite-dimensional algebras we have an interesting consequence.
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Simple Modules for Factor Algebras of Polynomial
We will now determine the simple modules for an algebra $A$ of the form $K[X] / I$ where $I$ is a non-zero ideal with $I \neq K[X]$; hence $I=(f)$ where $f$ is a polynomial of positive degree. Note that this does not require us to know a composition series of $A$, in fact we could have done this already earlier, after Lemma 3.4.
Proposition 3.23. Let $A=K[X] /(f)$ with $f \in K[X]$ of positive degree.
(a) The simple A-modules are up to isomorphism precisely the A-modules $K[X] /(h)$ where $h$ is an irreducible polynomial dividing $f$.
(b) Write $f=f_{1}^{a_{1}} \ldots f_{r}^{a_{r}}$, with $a_{i} \in \mathbb{N}$, as a product of irreducible polynomials $f_{i} \in K[X]$ which are pairwise coprime. Then A has precisely $r$ simple modules. up to isomorphism, namely $K[X] /\left(f_{1}\right), \ldots, K[X] /\left(f_{r}\right)$.
Proof. (a) First, let $h \in K\lfloor X\rfloor$ be an irreducible polynomial dividing $f$. Then $K[X] /(h)$ is an $A$-module, by Exercise $2.23$, with $A$-action given by
$$
\left(g_{1}+(f)\right)\left(g_{2}+(h)\right)=g_{1} g_{2}+(h) .
$$
Since $h$ is irreducible, the ideal $(h)$ is maximal, and hence $K[X] /(h)$ is a simple A-module, by Lemma 3.4.
Conversely, let $S$ be any simple $A$-module. By Lemmas $3.18$ and $3.4$ we know that $S$ is isomorphic to $A / U$ where $U$ is a maximal submodule of $A$. By the submodule correspondence, see Theorem $2.28$, we know $U=W /(f)$ where $W$ is an ideal of $K[X]$ containing $(f)$, that is, $W=(h)$ where $h \in K[X]$ and $h$ divides $f$. Applying the isomorphism theorem yields
$$
A / U=(K[X] /(f)) /(W /(f)) \cong K[X] / W .
$$
Isomorphisms preserve simple modules (see Exercise 3.3), so with $A / U$ the module $K[X] / W$ is also simple. This means that $W=(h)$ is a maximal ideal of $K[X]$ and then $h$ is an irreducible polynomial.
(b) By part (a), every simple A-module is isomorphic to one of $K[X] /\left(f_{1}\right), \ldots, K[X] /\left(f_{r}\right)$ (use that $K[X]$ has the unique factorization property, hence $f_{1}, \ldots, f_{r}$ are the unique irreducible divisors of $f$, up to multiplication by units). On the other hand, these $A$-modules are pairwise non-isomorphic: suppose $\psi: K[X] /\left(f_{i}\right) \rightarrow K[X] /\left(f_{j}\right)$ is an $A$-module homomorphism, we show that for $i \neq j$ it is not injective. Write $\psi\left(1+\left(f_{i}\right)\right)=g+\left(f_{j}\right)$ and consider the coset $f_{j}+\left(f_{i}\right)$ Since $f_{i}$ and $f_{j}$ are irreducible and coprime, this coset is not the zero element in $K[X] /\left(f_{i}\right)$. But it is in the kernel of $\psi$, since
$$
\begin{aligned}
\psi\left(f_{j}+\left(f_{i}\right)\right) &=\psi\left(\left(f_{j}+\left(f_{i}\right)\right)\left(1+\left(f_{i}\right)\right)\right)=\left(f_{j}+\left(f_{i}\right)\right) \psi\left(1+\left(f_{i}\right)\right) \
&=\left(f_{j}+\left(f_{i}\right)\right)\left(g+\left(f_{j}\right)\right)=f_{j} g+\left(f_{j}\right)
\end{aligned}
$$
which is the zero element in $K[X] /\left(f_{j}\right)$. In particular, $\psi$ is not an isomorphism.
表示论代考
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Finding All Simple Modules
Jordan-Hölder 定理表明，每个具有组合序列的模块都可以由简单的模块构建。因此，理解给定代数的简单模块是什么是表示论的一个基 本问题。
$\mathrm{~ 从 示 例 中 回 忆 2 . 2 5 下 面 的 概 。}$ 称其为殀灭者 $v$ 在 $A$. 我们已经在示例中看到 $2.25$ 那对于每个 $v \in V$ 有一个同构 $A$-模块 $A / A A n_{A}(v) \cong A v$. 在简单模块的上下文中，它采 用以下形式，为方便起见，我们在此重述。
引理 3.18。让 $A$ 做一个 $K$-代数和 $S$ 一个简单的 A 模块。然后对于每个非零 $s \in S$ 我们有 $S \cong A / A_{A}(s)$ 作为 A 模块。
证明。如示例 $2.25$ 我们考虑 A 模同态 $\psi: A \rightarrow S, \psi(a)=a s$. 自从 $S$ 很简单 $s$ 非零，这个映射是由引理 $3.3$ 满射的，根据定义，内核是 $\operatorname{Ann} A(s)$. 所以同构定理产生 $A / \operatorname{Ann} A(s) \cong \operatorname{im}(\psi)=A s=S$.
这尤其意味着如果一个代数有一个复合级数，那么它只能有有限多个简单模块:
定理 3.19。让 A 成为 $K$-代数，它有一个组合系列作为 $A$ 模块。然后每个简单的 A 模都作为 A 的合成因子出现。特别是，只有有限多个简 单的 A 模，直到同构。
证明。引理 $3.18$ 我们知道，如果 $S$ 是一个简单的 $A$-模块然后 $S \cong A / I$ 对于一些 $A$-子模块 $I$ 的 $A$. 按命题 $3.17$ 有一些组成系列 $A$ 其中 $I$ 是条款 之一。自从 $A / I$ 很简单，没有更进一步 $A$ 之间的子模块 $I$ 和 $A$ （见引理 3.4）。这意味着 $I$ 只能作为该作文系列的倒数第二个条目出现，并 且 $S \cong A / I$, 所以它是一个组成因子 $A$.
对于有限维代数，我们有一个有趣的结果。
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Simple Modules for Factor Algebras of Polynomial
我们现在将确定代数的简单模块 $A$ 形式的 $K[X] / I$ 在哪里 $I$ 是一个非零理想 $I \neq K[X]$; 因此 $I=(f)$ 在哪里 $f$ 是一个正次数多项式。请注 意，这并不要求我们知道一个组成系列 $A$ ，事实上我们本可以在引理 $3.4$ 之后更早地做到这一点。 提案 3.23。让 $A=K[X] /(f)$ 和 $f \in K[X]$ 的积极程度。
(a) 简单 $\mathrm{A}$ 模完全符合同构 $\mathrm{A}$ 模 $K[X] /(h)$ 在哪里 $h$ 是不可约多项式除法 $f$.
(b) 写 $f=f_{1}^{a_{1}} \ldots f_{r}^{a_{r}}$ ，和 $a_{i} \in \mathbb{N}$ ，作为不可约多项式的乘积 $f_{i} \in K[X]$ 它们是成对互质的。那么 $\mathrm{A}$ 正好 $r$ 简单的模块。直到同构，即 $K[X] /\left(f_{1}\right), \ldots, K[X] /\left(f_{r}\right)$
证明。(a) 首先，让 $h \in K\lfloor X\rfloor$ 是一个不可约多项式除法 $f$. 然后 $K[X] /(h)$ 是一个 $A$-模块，通过练习 $2.23$ ，和 $A$-动作由
$$
\left(g_{1}+(f)\right)\left(g_{2}+(h)\right)=g_{1} g_{2}+(h) .
$$
自从 $h$ 是不可约的，理想的 $(h)$ 是最大的，因此 $K[X] /(h)$ 是引理 $3.4$ 的一个简单的 A 模块。
反之，让 $S$ 做任何简单的事 $A$-模块。通过引理 $3.18$ 和 $3.4$ 我们知道 $S$ 同构于 $A / U$ 在哪里 $U$ 是的最大子模 $A$. 由子模块对应，见定理 $2.28$ ，我 们知道 $U=W /(f)$ 在哪里 $W$ 是一个理想的 $K[X]$ 包含 $(f)$ ，那是， $W=(h)$ 在哪里 $h \in K[X]$ 和 $h$ 划分 $f$. 应用同构定理产生
$$
A / U=(K[X] /(f)) /(W /(f)) \cong K[X] / W \text {. }
$$
同构保留简单的模块 (见练习 $3.3$ )，所以 $A / U$ 模块 $K[X] / W$ 也很简单。这意味着 $W=(h)$ 是一个最大理想 $K[X]$ 接着 $h$ 是不可约多项 式。
(b) 根据 (a) 部分，每个简单的 A 模都同构于 $K[X] /\left(f_{1}\right), \ldots, K[X] /\left(f_{r}\right)$ (使用那个 $K[X]$ 具有唯一的因式分解性质，因此 $f_{1}, \ldots, f_{r}$ 是 唯一的不可约因数 $f$ ，最多乘以单位 $)$ 。另一方面，这些 $A$-模块是成对非同构的：假设 $\psi: K[X] /\left(f_{i}\right) \rightarrow K[X] /\left(f_{j}\right)$ 是一个 $A$-模同态， 我们证明对于 $i \neq j$ 它不是单射的。写 $\psi\left(1+\left(f_{i}\right)\right)=g+\left(f_{j}\right)$ 并考虑陪集 $f_{j}+\left(f_{i}\right)$ 自从 $f_{i}$ 和 $f_{j}$ 是不可约且互质的，这个陪集不是 $K[X] /\left(f_{i}\right)$. 但它在内核中 $\psi$ ，自从
$$
\psi\left(f_{j}+\left(f_{i}\right)\right)=\psi\left(\left(f_{j}+\left(f_{i}\right)\right)\left(1+\left(f_{i}\right)\right)\right)=\left(f_{j}+\left(f_{i}\right)\right) \psi\left(1+\left(f_{i}\right)\right) \quad=\left(f_{j}+\left(f_{i}\right)\right)\left(g+\left(f_{j}\right)\right)=f_{j} g+\left(f_{j}\right)
$$
这是零元素 $K[X] /\left(f_{j}\right)$. 尤其是， $\psi$ 不是同构。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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