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## 数学代写|表示论代写Representation theory代考|Composition Series

Roughly speaking, a composition series of a module breaks the module up into ‘simple pieces’. This will make precise in what sense the simple modules are the building blocks for arbitrary modules.

Definition 3.6. Let $A$ be a $K$-algebra and $V$ an $A$-module. A composition series of $V$ is a finite chain of $A$-submodules
$$0=V_{0} \subset V_{1} \subset V_{2} \subset \ldots \subset V_{n}=V$$
such that the factor modules $V_{i} / V_{i-1}$ are simple, for all $1 \leq i \leq n$. The length of the composition series is $n$, the number of factor modules appearing. We refer to the $V_{i}$ as the terms of the composition series.
Example 3.7.
(1) The zero module has a composition series $0=V_{0}=0$ of length 0 . If $V$ is a simple module then $0=V_{0} \subset V_{1}=V$ is a composition series, of length 1 .
(2) Assume we have a composition series as in Definition 3.6. If $V_{k}$ is one of the terms, then $V_{k}$ ‘inherits’ the composition series
$$0=V_{0} \subset V_{1} \subset \ldots \subset V_{k}$$

(3) Let $K=\mathbb{R}$ and take $A$ to be the 2-dimensional algebra over $\mathbb{R}$, with basis $\left{1_{A}, \beta\right}$ such that $\beta^{2}=0$ (see Proposition 1.29); an explicit realisation would be $A=\mathbb{R}[X] /\left(X^{2}\right)$. Take the $A$-module $V=A$, and let $V_{1}$ be the space spanned by $\beta$, then $V_{1}$ is a submodule. Since $V_{1}$ and $V / V_{1}$ are 1-dimensional, they are simple (see Example 3.2). Hence $V$ has a composition series
$$0=V_{0} \subset V_{1} \subset V_{2}=V$$
(4) Let $A=M_{n}(K)$ and take the $A$-module $V=A$. In Exercise $2.5$ we have considered the $A$-submodules $C_{i}$ consisting of the matrices with zero entries outside the $i$-th column, where $1 \leq i \leq n$. In Exercise $3.1$ it is shown that every $A$-module $C_{i}$ is isomorphic to the natural $A$-module $K^{n}$. In particular, each $A$ module $C_{i}$ is simple (see Example 3.2). On the other hand we have a direct sum decomposition $A=C_{1} \oplus C_{2} \oplus \ldots \oplus C_{n}$ and therefore we have a finite chain of submodules
$$0 \subset C_{1} \subset C_{1} \oplus C_{2} \subset \ldots \subset C_{1} \oplus \ldots \oplus C_{n-1} \subset A$$
Each factor module is simple: By the isomorphism theorem (see Theorem 2.24) $C_{1} \oplus \ldots \oplus C_{k} / C_{1} \oplus \ldots \oplus C_{k-1} \cong C_{k} / C_{k} \cap\left(C_{1} \oplus \ldots \oplus C_{k-1}\right)=C_{k} /{0} \cong C_{k}$
This shows that the above chain is a composition series.

## 数学代写|表示论代写Representation theory代考|Modules of Finite Length

Because of the Jordan-Hölder theorem we can define the length of a module. This is a very useful natural generalization of the dimension of a vector space.

Definition 3.15. Let $A$ be a $K$-algebra. For every $A$-module $V$ the length $\ell(V)$ is defined as the length of a composition series of $V$ (see Definition 3.6), if it exists; otherwise we set $\ell(V)=\infty$. An $A$-module $V$ is said to be of finite length if $\ell(V)$ is finite, that is, when $V$ has a composition series.

Note that the length of a module is well-defined because of the Jordan-Hölder theorem which in particular says that all composition series of a module have the same length.

(1) Let $A=K$, the 1 -dimensional $K$-algebra. Then $A$-modules are just $K$-vector spaces and simple $A$-modules are precisely the 1 -dimensional $K$-vector spaces. In particular, the length of a composition series is just the dimension, that is, for every $K$-vector space $V$ we have $\ell(V)=\operatorname{dim}{K} V$. (2) Let $A$ be a $K$-algebra and $V$ an $A$ module. By Example $3.7$ we have that $\ell(V)=0$ if and only if $V=0$, the zero module, and that $\ell(V)=1$ if and only if $V$ is a simple $A$-module. In addition, we have seen there that for $A=M{n}(K)$, the natural module $V=K^{n}$ has $\ell(V)=1$, and that for the $A$-module $A$ we have $\ell(A)=n$. Roughly speaking, the length gives a measure of how far a module is away from being simple.

We now collect some fundamental properties of the length of modules. We first prove a result analogous to Proposition $3.10$, but now also including factor modules. It generalizes properties from linear algebra: Let $V$ be a finite-dimensional vector space over $K$ and $U$ a subspace, then $U$ and $V / U$ also are finite-dimensional and $\operatorname{dim}{K} V=\operatorname{dim}{K} U+\operatorname{dim}{K} V / U .$ Furthermore, $\operatorname{dim}{K} U<\operatorname{dim}_{K} V$ if $U \neq V$.

## 数学代写|表示论代写Representation theory代考|Composition Series

$$0=V_{0} \subset V_{1} \subset V_{2} \subset \ldots \subset V_{n}=V$$

(1) 零模块有组成系列 $0=V_{0}=0$ 长度为 0 。如果 $V$ 那么是一个简单的模块 $0=V_{0} \subset V_{1}=V$ 是一个组合序列，长度为 1 。
(2) 假设我们有一个定义 $3.6$ 中的组合序列。如果 $V_{k}$ 是其中一项，那么 $V_{k}^{\omega \omega}$ 继承”作文系列
$$0=V_{0} \subset V_{1} \subset \ldots \subset V_{k}$$
(3) 让 $K=\mathbb{R}$ 并采取 $A$ 成为二维代数 $\mathbb{R}$, 有基础\left 的分隔符缺失或无法识别 $\quad$ 这样 $\beta^{2}=0$ (见提案 $1.29$ )；一个明确的 实现将是 $A=\mathbb{R}[X] /\left(X^{2}\right)$. 采取 $A$-模块 $V=A$ ，然后让 $V_{1}$ 是跨越的空间 $\beta$ ，然后 $V_{1}$ 是一个子模块。自从 $V_{1}$ 和 $V / V_{1}$ 是一维的，它们很简 单 (参见示例 3.2) 。因此 $V$ 有一个作文系列
$$0=V_{0} \subset V_{1} \subset V_{2}=V$$
(4) 让 $A=M_{n}(K)$ 并采取 $A$-模块 $V=A$. 运动中 $2.5$ 我们考虑了 $A$-子模块 $C_{i}$ 由具有零项的矩阵组成 $i$-th 列，其中 $1 \leq i \leq n$. 运动中 $3.1$ 结 果表明，每 $A$-模块 $C_{i}$ 与自然同构 $A$-模块 $K^{n}$. 特别是，每个 $A$ 模块 $C_{i}$ 很简单（参见示例 3.2）。另一方面，我们有一个直接和分解 $A=C_{1} \oplus C_{2} \oplus \ldots \oplus C_{n}$ 因此我们有一个有限的子模块链
$$0 \subset C_{1} \subset C_{1} \oplus C_{2} \subset \ldots \subset C_{1} \oplus \ldots \oplus C_{n-1} \subset A$$

## 数学代写|表示论代写Representation theory代考|Modules of Finite Length

(1) 让 $A=K$ ，一维 $K$-代数。然后 $A$-模块只是 $K$-向量空间和简单 $A$-modules 正是一维的 $K$-向量空间。特别是，一个作文系列的长度只 是维度，也就是说，对于每个 $K$-向量空间 $V$ 我们有 $\ell(V)=\operatorname{dim} K V$. (2) 让 $A$ 做一个 $K$-代数和 $V$ 一个 $A$ 模块。举例 $3.7$ 我们有 $\ell(V)=0$ 当 且仅当 $V=0$ ，零模块，并且 $\ell(V)=1$ 当且仅当 $V$ 是一个简单的 $A$-模块。此外，我们在那里看到，对于 $A=M n(K)$, 自然模块 $V=K^{n}$ 有 $\ell(V)=1$ ，而对于 $A$-模块 $A$ 我们有 $\ell(A)=n$. 粗略地说，长度衡量了一个模块离简单的程度。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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