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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。
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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Composition Series
Roughly speaking, a composition series of a module breaks the module up into ‘simple pieces’. This will make precise in what sense the simple modules are the building blocks for arbitrary modules.
Definition 3.6. Let $A$ be a $K$-algebra and $V$ an $A$-module. A composition series of $V$ is a finite chain of $A$-submodules
$$
0=V_{0} \subset V_{1} \subset V_{2} \subset \ldots \subset V_{n}=V
$$
such that the factor modules $V_{i} / V_{i-1}$ are simple, for all $1 \leq i \leq n$. The length of the composition series is $n$, the number of factor modules appearing. We refer to the $V_{i}$ as the terms of the composition series.
Example 3.7.
(1) The zero module has a composition series $0=V_{0}=0$ of length 0 . If $V$ is a simple module then $0=V_{0} \subset V_{1}=V$ is a composition series, of length 1 .
(2) Assume we have a composition series as in Definition 3.6. If $V_{k}$ is one of the terms, then $V_{k}$ ‘inherits’ the composition series
$$
0=V_{0} \subset V_{1} \subset \ldots \subset V_{k}
$$
(3) Let $K=\mathbb{R}$ and take $A$ to be the 2-dimensional algebra over $\mathbb{R}$, with basis $\left{1_{A}, \beta\right}$ such that $\beta^{2}=0$ (see Proposition 1.29); an explicit realisation would be $A=\mathbb{R}[X] /\left(X^{2}\right)$. Take the $A$-module $V=A$, and let $V_{1}$ be the space spanned by $\beta$, then $V_{1}$ is a submodule. Since $V_{1}$ and $V / V_{1}$ are 1-dimensional, they are simple (see Example 3.2). Hence $V$ has a composition series
$$
0=V_{0} \subset V_{1} \subset V_{2}=V
$$
(4) Let $A=M_{n}(K)$ and take the $A$-module $V=A$. In Exercise $2.5$ we have considered the $A$-submodules $C_{i}$ consisting of the matrices with zero entries outside the $i$-th column, where $1 \leq i \leq n$. In Exercise $3.1$ it is shown that every $A$-module $C_{i}$ is isomorphic to the natural $A$-module $K^{n}$. In particular, each $A$ module $C_{i}$ is simple (see Example 3.2). On the other hand we have a direct sum decomposition $A=C_{1} \oplus C_{2} \oplus \ldots \oplus C_{n}$ and therefore we have a finite chain of submodules
$$
0 \subset C_{1} \subset C_{1} \oplus C_{2} \subset \ldots \subset C_{1} \oplus \ldots \oplus C_{n-1} \subset A
$$
Each factor module is simple: By the isomorphism theorem (see Theorem 2.24) $C_{1} \oplus \ldots \oplus C_{k} / C_{1} \oplus \ldots \oplus C_{k-1} \cong C_{k} / C_{k} \cap\left(C_{1} \oplus \ldots \oplus C_{k-1}\right)=C_{k} /{0} \cong C_{k}$
This shows that the above chain is a composition series.
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Modules of Finite Length
Because of the Jordan-Hölder theorem we can define the length of a module. This is a very useful natural generalization of the dimension of a vector space.
Definition 3.15. Let $A$ be a $K$-algebra. For every $A$-module $V$ the length $\ell(V)$ is defined as the length of a composition series of $V$ (see Definition 3.6), if it exists; otherwise we set $\ell(V)=\infty$. An $A$-module $V$ is said to be of finite length if $\ell(V)$ is finite, that is, when $V$ has a composition series.
Note that the length of a module is well-defined because of the Jordan-Hölder theorem which in particular says that all composition series of a module have the same length.
(1) Let $A=K$, the 1 -dimensional $K$-algebra. Then $A$-modules are just $K$-vector spaces and simple $A$-modules are precisely the 1 -dimensional $K$-vector spaces. In particular, the length of a composition series is just the dimension, that is, for every $K$-vector space $V$ we have $\ell(V)=\operatorname{dim}{K} V$. (2) Let $A$ be a $K$-algebra and $V$ an $A$ module. By Example $3.7$ we have that $\ell(V)=0$ if and only if $V=0$, the zero module, and that $\ell(V)=1$ if and only if $V$ is a simple $A$-module. In addition, we have seen there that for $A=M{n}(K)$, the natural module $V=K^{n}$ has $\ell(V)=1$, and that for the $A$-module $A$ we have $\ell(A)=n$. Roughly speaking, the length gives a measure of how far a module is away from being simple.
We now collect some fundamental properties of the length of modules. We first prove a result analogous to Proposition $3.10$, but now also including factor modules. It generalizes properties from linear algebra: Let $V$ be a finite-dimensional vector space over $K$ and $U$ a subspace, then $U$ and $V / U$ also are finite-dimensional and $\operatorname{dim}{K} V=\operatorname{dim}{K} U+\operatorname{dim}{K} V / U .$ Furthermore, $\operatorname{dim}{K} U<\operatorname{dim}_{K} V$ if $U \neq V$.
表示论代考
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Composition Series
粗略地说，一个模块的组合系列将模块分解为”简单的部分”。这将准确说明简单模块是任意模块的构建块。
定义 3.6。让 $A$ 做一个 $K$-代数和 $V$ 一个 $A$-模块。组成系列 $V$ 是一个有限链 $A$-子模块
$$
0=V_{0} \subset V_{1} \subset V_{2} \subset \ldots \subset V_{n}=V
$$
使得因子模块 $V_{i} / V_{i-1}$ 很简单，适合所有人 $1 \leq i \leq n$. 作文系列的长度是 $n$ ，出现的因子模块的数量。我们指的是 $V_{i}$ 作为组合系列的术 语。
例 3.7。
(1) 零模块有组成系列 $0=V_{0}=0$ 长度为 0 。如果 $V$ 那么是一个简单的模块 $0=V_{0} \subset V_{1}=V$ 是一个组合序列，长度为 1 。
(2) 假设我们有一个定义 $3.6$ 中的组合序列。如果 $V_{k}$ 是其中一项，那么 $V_{k}^{\omega \omega}$ 继承”作文系列
$$
0=V_{0} \subset V_{1} \subset \ldots \subset V_{k}
$$
(3) 让 $K=\mathbb{R}$ 并采取 $A$ 成为二维代数 $\mathbb{R}$, 有基础\left 的分隔符缺失或无法识别 $\quad$ 这样 $\beta^{2}=0$ (见提案 $1.29$ )；一个明确的 实现将是 $A=\mathbb{R}[X] /\left(X^{2}\right)$. 采取 $A$-模块 $V=A$ ，然后让 $V_{1}$ 是跨越的空间 $\beta$ ，然后 $V_{1}$ 是一个子模块。自从 $V_{1}$ 和 $V / V_{1}$ 是一维的，它们很简 单 (参见示例 3.2) 。因此 $V$ 有一个作文系列
$$
0=V_{0} \subset V_{1} \subset V_{2}=V
$$
(4) 让 $A=M_{n}(K)$ 并采取 $A$-模块 $V=A$. 运动中 $2.5$ 我们考虑了 $A$-子模块 $C_{i}$ 由具有零项的矩阵组成 $i$-th 列，其中 $1 \leq i \leq n$. 运动中 $3.1$ 结 果表明，每 $A$-模块 $C_{i}$ 与自然同构 $A$-模块 $K^{n}$. 特别是，每个 $A$ 模块 $C_{i}$ 很简单（参见示例 3.2）。另一方面，我们有一个直接和分解 $A=C_{1} \oplus C_{2} \oplus \ldots \oplus C_{n}$ 因此我们有一个有限的子模块链
$$
0 \subset C_{1} \subset C_{1} \oplus C_{2} \subset \ldots \subset C_{1} \oplus \ldots \oplus C_{n-1} \subset A
$$
每个因子模块都很简单: 由同构定理 (见定理 2.24) $C_{1} \oplus \ldots \oplus C_{k} / C_{1} \oplus \ldots \oplus C_{k-1} \cong C_{k} / C_{k} \cap\left(C_{1} \oplus \ldots \oplus C_{k-1}\right)=C_{k} / 0 \cong C_{k}$ 这表明上述链是一个组合系列。
数学代写|表示论代写Representation theory代考|Modules of Finite Length
由于 Jordan-Hölder 定理，我们可以定义模块的长度。这是向量空间维度的一种非常有用的自然概括。
定义 3.15。让 $A$ 做一个 $K$-代数。对于每一个 $A$-模块 $V$ 长度 $\ell(V)$ 被定义为一个组合系列的长度 $V$ (见定义 3.6)，如果存在的话；否则我 们设置 $\ell(V)=\infty$. 一个 $A$-模块 $V$ 被称为是有限长度的，如果 $\ell(V)$ 是有限的，也就是说，当 $V$ 有一个作文系列。
请注意，模块的长度是明确定义的，因为 Jordan-Hölder 定理特别指出模块的所有组合序列具有相同的长度。
(1) 让 $A=K$ ，一维 $K$-代数。然后 $A$-模块只是 $K$-向量空间和简单 $A$-modules 正是一维的 $K$-向量空间。特别是，一个作文系列的长度只 是维度，也就是说，对于每个 $K$-向量空间 $V$ 我们有 $\ell(V)=\operatorname{dim} K V$. (2) 让 $A$ 做一个 $K$-代数和 $V$ 一个 $A$ 模块。举例 $3.7$ 我们有 $\ell(V)=0$ 当 且仅当 $V=0$ ，零模块，并且 $\ell(V)=1$ 当且仅当 $V$ 是一个简单的 $A$-模块。此外，我们在那里看到，对于 $A=M n(K)$, 自然模块 $V=K^{n}$ 有 $\ell(V)=1$ ，而对于 $A$-模块 $A$ 我们有 $\ell(A)=n$. 粗略地说，长度衡量了一个模块离简单的程度。
我们现在收集模块长度的一些基本属性。我们首先证明一个类似于命题的结果 $3.10$ ，但现在还包括因子模块。它概括了线性代数的性 质：让 $V$ 是一个有限维向量空间 $K$ 和 $U$ 一个子空间，那么 $U$ 和 $V / U$ 也是有限维的并且 $\operatorname{dim} K V=\operatorname{dim} K U+\operatorname{dim} K V / U$. 此外， $\operatorname{dim} K U<\operatorname{dim}_{K} V$ 如果 $U \neq V$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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