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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The Markov property

In fact, we know from Lemma $2.10$ that the paths up to time $s$ and thereafter are stochastically independent, i. e. $\mathcal{F}{s}^{B} \Perp \mathcal{F}{\infty}^{W}:=\sigma\left(B_{t+s}-B_{s}: t \geqslant 0\right)$. If we use any admissible filtration $\left(\mathcal{F}{t}\right){t \geqslant 0}$ instead of the natural filtration $\left(\mathcal{F}{t}^{B}\right){t \geqslant 0}$, the argument of Lemma $2.10$ remains valid, and we get
6.1 Theorem (Markov property of BM). Let $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$ be a $\mathrm{BM}^{d}$ and $\left(\mathcal{F}{t}\right){t \geqslant 0}$ some admissible filtration. For every $s>0$, the process $W{t}:=B_{t+s}-B_{s}, t \geqslant 0$, is also a $\mathrm{BM}^{d}$ and $\left(W_{t}\right){t \geqslant 0}$ is independent of $\mathcal{F}{s}$, i. e. $\mathcal{F}{\infty}^{W}=\sigma\left(W{t}, t \geqslant 0\right) \Perp \mathcal{F}_{s}$.

Theorem $6.1$ justifies our intuition that we can split a Brownian path into two independent pieces
$$B(t+s)=B(t+s)-B(s)+B(s)=W(t)+\left.y\right|{y=B(s)^{\circ}}$$ Observe that $W(t)+y$ is a Brownian motion started at $y \in \mathbb{R}^{d}$. Let us introduce the following notation $$\mathbb{P}^{x}\left(B{t_{1}} \in A_{1} \ldots . B_{t_{n}} \in A_{n}\right):=\mathbb{P}\left(B_{t_{1}}+x \in A_{1} \ldots \ldots B_{t_{n}}+x \in A_{n}\right)$$
where $0 \leqslant t_{1}<\cdots<t_{n}$ and $A_{1}, \ldots, A_{n} \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$. We will write $\mathbb{E}^{x}$ for the corresponding mathematical expectation. Clearly, $\mathbb{P}^{0}=\mathbb{P}$ and $\mathbb{E}^{0}=\mathbb{E}$. This means that $\mathbb{P}^{x}\left(B_{s} \in A\right)$ denotes the probability that a Brownian particle starts at time $t=0$ at the point $x$ and travels in $s$ units of time into the set $A$.

Since the finite dimensional distributions (6.1) determine the measure $\mathbb{P}^{x}$ uniquely, $\mathbb{P}^{x}$ is a well-defined measure on $\left.\left(\Omega, \mathcal{F}_{\infty}\right)\right)^{1}$

Moreover, $x \mapsto \mathbb{E}^{x} u\left(B_{t}\right)=\mathbb{E}^{0} u\left(B_{t}+x\right)$ is for all $u \in \mathcal{B}_{b}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$ a measurable function.

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The exponential Wald identity

Let $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$ be a BM ${ }^{1}$ and $\tau{b}=\tau_{{b}}^{\circ}$ the first passage time of the level $b$. Recall from Example $5.2 \mathrm{~d})$ that $M^{\xi}(t):=e^{\xi B(t)-\frac{1}{2} \xi^{2} t}, t \geqslant 0$ and $\xi>0$, is a martingale. Applying the optional stopping theorem (Theorem A.18) to the bounded stopping times $t \wedge \tau_{b}$ we see that
$$1=\mathbb{E} M^{\xi}(0)=\mathbb{E} M^{\xi}\left(t \wedge \tau_{b}\right)=\mathbb{E}\left[e^{\xi B\left(t \wedge \tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)}\right]$$
Since $B\left(t \wedge \tau_{b}\right) \leqslant b$ for $b>0$, we have $0 \leqslant e^{\xi B\left(t \wedge \tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)} \leqslant e^{\xi b}$. Using the fact that $e^{-\infty}=0$ we get
$$\lim {t \rightarrow \infty} e^{\xi B\left(t \wedge \tau{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)}= \begin{cases}e^{\xi B\left(\tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2} \tau_{b}}, & \text { if } \quad \tau_{b}<\infty, \ 0, & \text { if } \quad \tau_{b}=\infty\end{cases}$$
Thus,
$$1=\mathbb{E}\left[e^{\xi B\left(t \wedge \tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)}\right] \stackrel{\text { dom. conv. }}{t \rightarrow \infty} e^{\xi b} \mathbb{E}\left[\mathbb{1}{\left{\tau{b}<\infty\right}} e^{-\frac{1}{2} \xi^{2} \tau_{b}}\right]$$
which shows
$$\mathbb{E}\left[\mathbb{1}{\left{\tau{b}<\infty\right}} e^{-\frac{1}{2} \xi^{2} \tau_{b}}\right]=e^{-\xi b} .$$
By monotone convergence we get
$$\mathbb{P}\left(\tau_{b}<\infty\right)=\lim {\xi \downarrow 0} \mathbb{E}\left[\mathbb{1}{\left{\tau_{b}<\infty\right}} e^{-\frac{1}{2} \xi^{2} \tau_{b}}\right]=1 .$$
Inserting this into the previous equality is (almost) the proof of
5.13 Theorem. Let $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$ be a $\mathrm{BM}^{1}$. Then the first passage time $\tau{b}=\tau_{{b}}^{\circ}, b \in \mathbb{R}$, is a. s. finite and its Laplace transform is given by
$$\mathbb{E} e^{-\zeta \tau_{b}}=e^{-\sqrt{2 \xi}|b|}, \quad \zeta \geqslant 0 .$$

# 随机过程统计代考

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The Markov property

$6.1$ 定理 (BM 的马尔可夫性质) 。让 $\left(B_{t}\right) t \geqslant 0$ 做一个 $\mathrm{BM}^{d}$ 和 $(\mathcal{F} t) t \geqslant 0$ 一些允许的过滤。对于每一个 $s>0$, 过程 $W t:=B_{t+s}-B_{s}, t \geqslant 0$ ，也是一个 $\mathrm{BM}{ }^{d}$ 和 $\left(W_{t}\right) t \geqslant 0$ 独立于 $\mathcal{F}{s} ， \quad \mathrm{IEF} \mathcal{F}^{W}=\sigma(W t, t \geqslant 0) \backslash \operatorname{Perp} \mathcal{F}{s}$.

$$B(t+s)=B(t+s)-B(s)+B(s)=W(t)+y \mid y=B(s)^{\circ}$$

$$\mathbb{P}^{x}\left(B t_{1} \in A_{1} \ldots B_{t_{n}} \in A_{n}\right):=\mathbb{P}\left(B_{t_{1}}+x \in A_{1} \ldots \ldots B_{t_{n}}+x \in A_{n}\right)$$

## 数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The exponential Wald identity

$$1=\mathbb{E} M^{\xi}(0)=\mathbb{E} M^{\xi}\left(t \wedge \tau_{b}\right)=\mathbb{E}\left[e^{\xi B\left(t \wedge \tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)}\right]$$

$$\lim t \rightarrow \infty e^{\xi B(t \wedge \tau b)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)}=\left{e^{\xi B\left(\tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2} \tau_{b}}, \quad \text { if } \quad \tau_{b}<\infty, 0, \quad \text { if } \quad \tau_{b}=\infty\right.$$

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$5.13$ 定理的证明。让 $\left(B_{t}\right) t \geqslant 0$ 做一个BM ${ }^{1}$. 然后第一次通过时间 $\tau b=\tau_{b}^{\circ}, b \in \mathbb{R}$, 是有限的，其拉普拉斯变换由下式给出
$$\mathbb{E} e^{-\left\langle\tau_{b}\right.}=e^{-\sqrt{2 \xi}|b|}, \quad \zeta \geqslant 0 .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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