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随机过程 用于表示在时间上发展的统计现象以及在处理这些现象时出现的理论模型，由于这些现象在许多领域都会遇到，因此这篇文章具有广泛的实际意义。

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• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The Markov property

In fact, we know from Lemma $2.10$ that the paths up to time $s$ and thereafter are stochastically independent, i. e. $\mathcal{F}{s}^{B} \Perp \mathcal{F}{\infty}^{W}:=\sigma\left(B_{t+s}-B_{s}: t \geqslant 0\right)$. If we use any admissible filtration $\left(\mathcal{F}{t}\right){t \geqslant 0}$ instead of the natural filtration $\left(\mathcal{F}{t}^{B}\right){t \geqslant 0}$, the argument of Lemma $2.10$ remains valid, and we get
6.1 Theorem (Markov property of BM). Let $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$ be a $\mathrm{BM}^{d}$ and $\left(\mathcal{F}{t}\right){t \geqslant 0}$ some admissible filtration. For every $s>0$, the process $W{t}:=B_{t+s}-B_{s}, t \geqslant 0$, is also a $\mathrm{BM}^{d}$ and $\left(W_{t}\right){t \geqslant 0}$ is independent of $\mathcal{F}{s}$, i. e. $\mathcal{F}{\infty}^{W}=\sigma\left(W{t}, t \geqslant 0\right) \Perp \mathcal{F}_{s}$.

Theorem $6.1$ justifies our intuition that we can split a Brownian path into two independent pieces
$$
B(t+s)=B(t+s)-B(s)+B(s)=W(t)+\left.y\right|{y=B(s)^{\circ}} $$ Observe that $W(t)+y$ is a Brownian motion started at $y \in \mathbb{R}^{d}$. Let us introduce the following notation $$ \mathbb{P}^{x}\left(B{t_{1}} \in A_{1} \ldots . B_{t_{n}} \in A_{n}\right):=\mathbb{P}\left(B_{t_{1}}+x \in A_{1} \ldots \ldots B_{t_{n}}+x \in A_{n}\right)
$$
where $0 \leqslant t_{1}<\cdots<t_{n}$ and $A_{1}, \ldots, A_{n} \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$. We will write $\mathbb{E}^{x}$ for the corresponding mathematical expectation. Clearly, $\mathbb{P}^{0}=\mathbb{P}$ and $\mathbb{E}^{0}=\mathbb{E}$. This means that $\mathbb{P}^{x}\left(B_{s} \in A\right)$ denotes the probability that a Brownian particle starts at time $t=0$ at the point $x$ and travels in $s$ units of time into the set $A$.

Since the finite dimensional distributions (6.1) determine the measure $\mathbb{P}^{x}$ uniquely, $\mathbb{P}^{x}$ is a well-defined measure on $\left.\left(\Omega, \mathcal{F}_{\infty}\right)\right)^{1}$

Moreover, $x \mapsto \mathbb{E}^{x} u\left(B_{t}\right)=\mathbb{E}^{0} u\left(B_{t}+x\right)$ is for all $u \in \mathcal{B}_{b}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$ a measurable function.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The exponential Wald identity

Let $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$ be a BM ${ }^{1}$ and $\tau{b}=\tau_{{b}}^{\circ}$ the first passage time of the level $b$. Recall from Example $5.2 \mathrm{~d})$ that $M^{\xi}(t):=e^{\xi B(t)-\frac{1}{2} \xi^{2} t}, t \geqslant 0$ and $\xi>0$, is a martingale. Applying the optional stopping theorem (Theorem A.18) to the bounded stopping times $t \wedge \tau_{b}$ we see that
$$
1=\mathbb{E} M^{\xi}(0)=\mathbb{E} M^{\xi}\left(t \wedge \tau_{b}\right)=\mathbb{E}\left[e^{\xi B\left(t \wedge \tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)}\right]
$$
Since $B\left(t \wedge \tau_{b}\right) \leqslant b$ for $b>0$, we have $0 \leqslant e^{\xi B\left(t \wedge \tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)} \leqslant e^{\xi b}$. Using the fact that $e^{-\infty}=0$ we get
$$
\lim {t \rightarrow \infty} e^{\xi B\left(t \wedge \tau{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)}= \begin{cases}e^{\xi B\left(\tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2} \tau_{b}}, & \text { if } \quad \tau_{b}<\infty, \ 0, & \text { if } \quad \tau_{b}=\infty\end{cases}
$$
Thus,
$$
1=\mathbb{E}\left[e^{\xi B\left(t \wedge \tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)}\right] \stackrel{\text { dom. conv. }}{t \rightarrow \infty} e^{\xi b} \mathbb{E}\left[\mathbb{1}{\left{\tau{b}<\infty\right}} e^{-\frac{1}{2} \xi^{2} \tau_{b}}\right]
$$
which shows
$$
\mathbb{E}\left[\mathbb{1}{\left{\tau{b}<\infty\right}} e^{-\frac{1}{2} \xi^{2} \tau_{b}}\right]=e^{-\xi b} .
$$
By monotone convergence we get
$$
\mathbb{P}\left(\tau_{b}<\infty\right)=\lim {\xi \downarrow 0} \mathbb{E}\left[\mathbb{1}{\left{\tau_{b}<\infty\right}} e^{-\frac{1}{2} \xi^{2} \tau_{b}}\right]=1 .
$$
Inserting this into the previous equality is (almost) the proof of
5.13 Theorem. Let $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$ be a $\mathrm{BM}^{1}$. Then the first passage time $\tau{b}=\tau_{{b}}^{\circ}, b \in \mathbb{R}$, is a. s. finite and its Laplace transform is given by
$$
\mathbb{E} e^{-\zeta \tau_{b}}=e^{-\sqrt{2 \xi}|b|}, \quad \zeta \geqslant 0 .
$$

随机过程统计代考

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The Markov property

事实上，我们从引理中知道 $2.10$ 到时间的路径 $s$ 之后是随机独立的，即 $\mathcal{F} s^{B} \backslash \operatorname{Perp} \mathcal{F} \infty W:=\sigma\left(B_{t+s}-B_{s}: t \geqslant 0\right)$. 如果我们使用任何允许的过滤 $(\mathcal{F} t) t \geqslant 0$ 而 不是自然过滤 $\left(\mathcal{F} t^{B}\right) t \geqslant 0$ 引引理的论证 $2.10$ 仍然有效，我们得到
$6.1$ 定理 (BM 的马尔可夫性质) 。让 $\left(B_{t}\right) t \geqslant 0$ 做一个 $\mathrm{BM}^{d}$ 和 $(\mathcal{F} t) t \geqslant 0$ 一些允许的过滤。对于每一个 $s>0$, 过程 $W t:=B_{t+s}-B_{s}, t \geqslant 0$ ，也是一个 $\mathrm{BM}{ }^{d}$ 和 $\left(W_{t}\right) t \geqslant 0$ 独立于 $\mathcal{F}{s} ， \quad \mathrm{IEF} \mathcal{F}^{W}=\sigma(W t, t \geqslant 0) \backslash \operatorname{Perp} \mathcal{F}{s}$.
定理6.1证明了我们可以将布朗路径分成两个独立部分的直觉
$$
B(t+s)=B(t+s)-B(s)+B(s)=W(t)+y \mid y=B(s)^{\circ}
$$
请注意 $W(t)+y$ 是一个布朗运动开始于 $y \in \mathbb{R}^{d}$. 让我们引入以下符号
$$
\mathbb{P}^{x}\left(B t_{1} \in A_{1} \ldots B_{t_{n}} \in A_{n}\right):=\mathbb{P}\left(B_{t_{1}}+x \in A_{1} \ldots \ldots B_{t_{n}}+x \in A_{n}\right)
$$
在哪里 $0 \leqslant t_{1}<\cdots<t_{n}$ 和 $A_{1}, \ldots, A_{n} \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$. 我们会写 $\mathbb{E}^{x}$ 为相应的数学期望。清楚地， $\mathbb{P}^{0}=\mathbb{P}^{\text {和 }} \mathbb{E}^{0}=\mathbb{E}$. 这意味着 $\mathbb{P}^{x}\left(B_{s} \in A\right)$ 表示布朗粒子在时间开始 的概率 $t=0$ 在这一点上 $x$ 并在 $s$ 时间单位进入集合 $A$.
由于有限维分布 (6.1) 确定了度量 $\mathbb{P}^{x}$ 独一无二， $\mathbb{P}^{x}$ 是一个定义明确的度量 $\left.\left(\Omega, \mathcal{F}{\infty}\right)\right)^{1}$ 而且， $x \mapsto \mathbb{E}^{x} u\left(B{t}\right)=\mathbb{E}^{0} u\left(B_{t}+x\right)$ 适合所有人 $u \in \mathcal{B}_{b}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$ 一个可测量的函数。

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The exponential Wald identity

于有界停止时间 $t \wedge \tau_{b}$ 我们看到
$$
1=\mathbb{E} M^{\xi}(0)=\mathbb{E} M^{\xi}\left(t \wedge \tau_{b}\right)=\mathbb{E}\left[e^{\xi B\left(t \wedge \tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)}\right]
$$
自从 $B\left(t \wedge \tau_{b}\right) \leqslant b$ 为了 $b>0$ ，我们有 $0 \leqslant e^{\xi B(t \wedge \tau b)-\frac{1}{2} \xi^{2}(t \wedge \tau b)} \leqslant e^{\xi b}$. 利用这个事实 $e^{-\infty}=0$ 我们得到
$$
\lim t \rightarrow \infty e^{\xi B(t \wedge \tau b)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)}=\left{e^{\xi B\left(\tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2} \tau_{b}}, \quad \text { if } \quad \tau_{b}<\infty, 0, \quad \text { if } \quad \tau_{b}=\infty\right.
$$
因此，
\left 的分隔符缺失或无法识别
这表明
lleft 的分隔符缺失或无法识别
通过单调收敛我们得到
\eft 的分隔符缺失或无法识别
将其揷入前面的等式 (几乎) 是
$5.13$ 定理的证明。让 $\left(B_{t}\right) t \geqslant 0$ 做一个BM ${ }^{1}$. 然后第一次通过时间 $\tau b=\tau_{b}^{\circ}, b \in \mathbb{R}$, 是有限的，其拉普拉斯变换由下式给出
$$
\mathbb{E} e^{-\left\langle\tau_{b}\right.}=e^{-\sqrt{2 \xi}|b|}, \quad \zeta \geqslant 0 .
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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