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数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Brownian motion as a martingale

Let $I$ be some subset of $[0, \infty]$ and $\left(\mathcal{F}{t}\right){t \in I}$ a filtration, i. e. an increasing family of sub$\sigma$-algebras of $\mathcal{A}$. Recall that a martingale $\left(X_{t}, \mathcal{F}{t}\right){t \in I}$ is a real or complex stochastic process $X_{t}: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{d}$ or $X_{t}: \Omega \rightarrow \mathbb{C}$ satisfying
a) $\mathbb{E}\left|X_{t}\right|<\infty$ for all $t \in I$;
b) $X_{t}$ is $\mathcal{F}{t}$ measurable for every $t \in I$; c) $\mathbb{E}\left(X{t} \mid \mathcal{F}{s}\right)=X{s}$ for all $s, t \in I, s \leqslant t$.
If $X_{t}$ is real-valued and if we have in c) ‘ $\geqslant$ ‘ or ‘ $\leqslant$ ‘ instead of ‘ $=$ ‘, we call $\left(X_{t}, \mathcal{F}{t}\right){t \in I}$ a sub- or supermartingale, respectively.

We call a stochastic process $\left(X_{t}\right){t \in I}$ adapted to the filtration $\left(\mathcal{F}{t}\right){t \in I}$ if $X{t}$ is for each $t \in I$ an $\mathcal{F}{t}$ measurable random variable. We write briefly $\left(X{t}, \mathcal{F}{t}\right){t \geqslant 0}$ for an adapted process. Clearly, $X$ is $\mathcal{F}{t}$ adapted if, and only if, $\mathcal{F}{t}^{X} \subset \mathcal{F}{t}$ for all $t \in I$ where $\mathcal{F}{t}^{X}=\sigma\left(X_{s}: s \in I, s \leqslant t\right)$ is the natural filtration of $X$.

数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Some ‘Brownian’ martingales

Brownian motion is a martingale with respect to its natural filtration, i. e. the family of $\sigma$-algebras $\mathcal{F}{t}^{B}:=\sigma\left(B{s}: s \leqslant t\right)$. Recall that, by Lemma $2.10$,
$$B_{t}-B_{s} \Perp \mathcal{F}{s}^{B} \text { for all } 0 \leqslant s \leqslant t .$$ It is often necessary to enlarge the canonical filtration $\left(\mathcal{F}{t}^{B}\right){t \geqslant 0}$ of a Brownian motion $\left(B{t}\right){t \geqslant 0}$. The property (5.1) is equivalent to the independent increments property (B 1$)$ of $\left(B{t}\right){t \geqslant 0}$, see Lemma $2.10$ and Problem 2.9, and it is this property which preserves the Brownian character of a filtration. 5.1 Definition. Let $\left(B{t}\right){t \geqslant 0}$ be a $d$-dimensional Brownian motion. A filtration $\left(\mathcal{F}{t}\right){t \geqslant 0}$ is called admissible, if a) $\mathcal{F}{t}^{B} \subset \mathcal{F}{t}$ for all $t \geqslant 0$; b) $B{t}-B_{s} \Perp \mathcal{F}{s}$ for all $0 \leqslant s \leqslant t$ If $\mathcal{F}{0}$ contains all subsets of $\mathbb{P}$ null sets, $\left(\mathcal{F}{t}\right){t \geqslant 0}$ is an admissible complete filtration.

The natural filtration $\left(\mathcal{F}{t}^{B}\right){t \geqslant 0}$ is always admissible. We will discuss further examples of admissible filtrations in Lemma $6.20 .$
5.2 Example. Let $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}, B{t}=\left(B_{t}^{1}, \ldots, B_{t}^{d}\right)$, be a $d$-dimensional Brownian motion and $\left(\mathcal{F}{t}\right){t \geqslant 0}$ an admissible filtration.
a) $\left(B_{t}\right){t} \geqslant 0$ is a martingale with respect to $\mathcal{F}{t}$.
Indeed: Let $0 \leqslant s \leqslant t$. Using the conditions (5.1) a) and b) we get
$$\mathbb{E}\left(B_{t} \mid \mathcal{F}{s}\right)=\mathbb{E}\left(B{t}-B_{s} \mid \mathcal{F}{s}\right)+\mathbb{E}\left(B{s} \mid \mathcal{F}{s}\right)=\mathbb{E}\left(B{t}-B_{s}\right)+B_{s}=B_{s}$$

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MATLAB代写

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