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黎曼几何是研究黎曼流形的微分几何学分支,黎曼流形是具有黎曼公制的光滑流形,即在每一点的切线空间上有一个内积,从一点到另一点平滑变化。

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数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MAST90143

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Hyperbolicity of Spacelike Hypersurfaces

In this section we shall study the hyperbolicity of spacelike hypersurfaces with controlled mean curvatures in spacetimes with timelike sectional curvatures bounded from below. For that purpose, and motivated by the Riemannian results above, we naturally apply the analysis of the Lorentzian distance function, which was already presented in Section 4 .

First of all, we recall (see Theorem 15.1), that a Riemannian manifold $M$ is hyperbolic (non-parabolic) if and only if there exists a non-constant subharmonic function which is bounded from above and globally defined on $M$.
Remark 20.1.
i) This definition is equivalent to the fact that there exists a non-constant positive superharmonic function globally defined on $M$. To see the equivalence, observe that if $f$ is a non-constant subharmonic function bounded from above on $M$, then choosing $C>\max _{M} f$ we obtain $C-f$ a non-constant positive superharmonic function. Conversely, if $f$ is a non-constant positive superharmonic function on $M$, then $-f$ is a non-constant subharmonic function bounded from above on $M$.
ii) On the other hand, the existence of a non-constant positive superharmonic function $f$ globally defined on $M$ is equivalent to the existence of a nonconstant bounded (from above and from below) subharmonic function globally defined on $M$.

To see the equivalence observe that if $f$ is a non-constant bounded (from above and from below) subharmonic function on $M$, then choosing $C>\max _{M} f$ we obtain $C-f$ a non-constant positive superharmonic function. Conversely, if $f$ is a non-constant positive superharmonic function on $M$, then $0<\frac{f}{\sqrt{1+f^{2}}} \leq 1$ determines a non-constant bounded (from above and from below) subharmonic function.

As a consequence of our previous results, (see Section 4), we have the following
Theorem 20.2 ([AHP]). Let $N^{n+1}$ be an $(n+1)$-dimensional spacetime, $n \geq 2$, such that $K_{N}(\Pi) \geq b$ for all timelike planes in $N$. Assume that there exists a point $p \in N^{n+1}$ such that $\mathcal{I}^{+}(p) \neq \emptyset$, and let $\psi: \Sigma \rightarrow N^{n+1}$ be a spacelike hypersurface with $\psi(\Sigma) \subset \mathcal{I}^{+}(p)$. Let us denote by u the function $d_{p}$ along the hypersurface, and assume that $u \leq \pi /(2 \sqrt{-b})$ if $b<0$. Then (i) If the future mean curvature of $\Sigma$ satisfies
$H \leq \frac{2 \sqrt{n-1}}{n} f_{b}(u) \quad\left(\right.$ with $H0$ and $H \leq \frac{2 \sqrt{n-1}}{n} \sqrt{b}$, then $\Sigma$ is hyperbolic.
In particular, every maximal hypersurface contained in $\mathcal{I}^{+}(p)$ (and satisfying $u<$ $(\pi / 2 \sqrt{-b})$ if $b<0)$ is hyperbolic.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Weighted Riemannian Manifolds

The notion of weighted manifolds generalizes the notion of Riemannian manifolds, so we will use this section for two purposes: Firstly to describe the natural questions that arise from considering the type problem, i.e., parabolicity versus hyperbolicity, in this new and wider context; secondly to give an account of some of the new results, (which includes the Riemannian cases) in this field from the last 20 years.
We shall present some of the main results obtained in the preprints [HPR1] and [HPR2] by C. Rosales and the first and third named authors, with due reference to the previous works and results concerning the weighted setting of several authors, [Ba, Mo, Gri2, Gri3, GriMa, W, Q, WW, PRRS], as well as to the work of the second and the third named authors in the last years, [MaP4, MaP5, MaP7, $\mathrm{EP}$, which are concerned with the Riemannian case and also continues the results presented in the preceding sections.

Let $(N, g)$ be a complete Riemannian manifold. A density $e^{h}$, where $h: N \rightarrow$ $\mathbb{R}$ a smooth function on $N$, is used to put a controlled weight on the Hausdorff measures associated to the Riemannian metric. In particular, for any Borel set $E \subseteq N$, and any $C^{1}$ hypersurface $P \subseteq N$, the weighted volume of $E$ and the weighted area of $P$ are given by
$$
\operatorname{Vol}{h}(E):=\int{E} d V_{h}=\int_{E} e^{h} d V, \quad \operatorname{Vol}{h}(P):=\int{P} d A_{h}=\int_{P} e^{h} d A,
$$
where $d V$ and $d A$ denote the Riemannian elements of volume and area, respectively, (see [Mo, Ch. 18] for an introduction to this generalization of Riemannian geometry).

The density function determines not only generalizations of volume and area, but also generalizations of some key differential operators on Riemannian manifolds. We will denote the background metric of the Riemannian manifold by $g=\langle., .\rangle$. We define the weighted Laplacian or $h$-Laplacian of a function $u \in C^{2}(N)$ as in [Gri2, Sect. 2.1],
$$
\Delta_{h} u:=\Delta u+<\nabla h, \nabla u>,
$$
where $\Delta$ and $\nabla$ stand for the Laplace-Beltrami operator and the gradient of a function, respectively.

Given a domain (connected open set) $\Omega$ in $N$, a function $u \in C^{2}(\Omega)$ is $h$ harmonic (resp. h-subharmonic) if $\Delta_{h} u=0$ (resp. $\Delta_{h} u \geq 0$ ) on $\Omega$. As in the unweighted setting there is a strong maximum principle and a Hopf boundary point lemma for $h$-subharmonic functions, that reads exactly as Theorem 12.4, but replacing subharmonic functions by $h$-subharmonic functions.

Also, as in the unweighted context, from this weighted maximum principle it is clear that any $h$-subharmonic function on a compact manifold $N$ must be constant, and it is natural to wonder what happens in the non-compact case. This question leads to the notion of weighted parabolicity, (see Theorem $15.1$ for the Riemannian approach).

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Weighted Capacities

The notion of weighted capacity $\operatorname{Cap}{h}(K)$ of a precompact set $K$ plays a key role in the study of the type problem concerning the parabolicity-versus-hyperbolicity question. In particular, the $h$-parabolicity of $N$ is again characterized by the fact that $\operatorname{Cap}{h}(K)=0$ for any/some compact set $K \subseteq M$ with non-empty interior (see [GriSa]). In this section we present the notion of weighted capacity, thereby revising and extending to the weighted context the notions presented in Section $14 .$
Next, we will recall how the $h$-parabolicity of manifolds can be characterized by means of weighted capacities. Let $\Omega \subseteq N$ be an open set and $K \subseteq \Omega$ a compact set. The weighted Newtonian capacity of the capacitor $(K, \Omega)$ is defined by
$$
\operatorname{Cap}{h}(K, \Omega)=\inf {\phi \in \mathbb{L}(K, \Omega)} \int_{\Omega}|\nabla \phi|^{2} d V_{h},
$$
where $\mathbb{L}(K, \Omega)$ denotes the set of locally Lipschitz functions on $M$ with compact support in $\Omega-\bar{K}$ which satisfy $0 \leq \phi \leq 1$ and $\phi_{\text {loк }}=0, \phi_{\text {|on }}=1$. Note that the extrinsic annulus $A_{\rho, R} \subseteq P \subseteq N$ in Section 9 corresponds to the capacitor $\left(D_{\rho}, D_{R}\right)$, while the capacitor $\left(B_{\rho}^{N}, B_{R}^{N}\right)$ is an intrinsic annulus. When $\Omega=N$, $\operatorname{Cap}{h}(K, N)=\operatorname{Cap}{h}(K)$ is the $h$-capacity of $K$ at infinity.

Moreover, if $\Omega \subseteq N$ is precompact, it can be proved, that the $h$-capacity of the compact set $K$ in $\Omega$ is given as the following integral, see [Gri1], [Gri2], and equation (14.5) in Section 14:
$$
\operatorname{Cap}{h}(K, \Omega)=\int{\Omega}|\nabla \phi|^{2} e^{h} d V=\int_{\partial K}|\nabla \phi| e^{h} d A=\int_{\partial K} \frac{\partial u}{\partial \nu} d A_{h}
$$
where the vector field $\nu$ is the outer unit normal along $\partial(\Omega \backslash K)$, i.e., the unit normal along $\partial K$ pointing into $K$, and $\phi$ is the solution of the Laplace equation on $\Omega-K$ with Dirichlet boundary values:
$$
\left{\begin{array}{c}
\Delta_{h} u=0, \
\left.u\right|{\partial K^{*}}=0, \ \left.u\right|{\partial \Omega}=1 .
\end{array}\right.
$$
In other words, the infimum in (22.1) is attained by the solution to the $h$-Laplace equation with Dirichlet condition on the boundary (22.3). The function $\phi$ is called the $h$-capacity potential of the capacitor $(K, \Omega)$.

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|MAST90143

黎曼几何代考

数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Hyperbolicity

在 本 节 中 , 我 们 将 㓈 究 时 空 中 具 有 受 控 平 均 曲 率 的 类 空 间 超 曲 面 的 双 曲 性 , 时 空 截 面 曲 率 从 下 方 限 定 。 为 此 , 在 上 述 豩 曽}$ 我们自然地应用了洛伦兹距离函数的分析,这已经在第 4 节中介绍过。
首先,我们记得(见定理 15.1),黎鄤流形 $M$ 是双曲线的(非抛物线的)当且仅当存在一个非常量的次谐波函数,该函数从上面有界并
i) 这个定义等价于存在一个全局定义的非常量正超谐波函数的事实 $M$. 要查看等价性, 请观察如果 $f$ 是一个从上面有界的非常量次谐波函
数 $M$ ,然后选择 $C>\max {M} f$ 我们获得 $C-f-$ 个非常量的正超谐波函数。 相反,如果 $f$ 是一个非常量的正超谐波函数 $M$ ,然后 $-f$ 是 ii) 另一方面,非恒定正超诣波函数的存在 $f$ 全局定义在 $M$ 等价于存在一个全局定义在 $M$. 要查看等价性,请注意如果 $f$ 是一个非常量有界 (从上到下) 次谐波函数 $M$ ,然后选择 $C>\max {M}$ f我们获得 $C-f$-个非常量的正超谐 波函数。相反,如果 $f$ 是一个非常量的正超湝波函数 $M$ ,然后 $0<\frac{f}{\sqrt{1+f}} \leq 1$ 确定非常量有界 (从上方和下方) 次谐波函数。
作为我们先前结果的结果,(见第 4 节),我们有以下
定理 $20.2$ ([AHP])。让 $N^{n+1}$ 豆 $(n+1)$ 维时空, $n \geq 2$, 这样 $K_{N}(\Pi) \geq b$ 对于所有的类时平面 $N$. 假设存在一个点 $p \in N^{n+1}$ 这样
$\mathcal{I}^{+}(p) \neq \emptyset$ ,然后让 $\psi: \Sigma \rightarrow N^{n+1}$ 是一个类空间超曲面 $\psi(\Sigma) \subset \mathcal{I}^{+}(p)$. 让我们用 $u$ 表示函数 $d_{p}$ 沿羊超曲面,并假设 $u \leq \pi /(2 \sqrt{-b})$ 如
果 $b<0$. 那么 (i) 如果末来平均曲率 $\Sigma$ 满足
特别是,包含在 $\mathcal{I}^{+}(p)$ (并且令人满意 $u<(\pi / 2 \sqrt{-b})$ 如果 $\left.b<0\right)$ 是双曲线的。


数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Weighted Riemannian Manifolds


加权流形的概念概括了黎䍒流形的概念,因此我们将使用本节用于两个目的:首先,在这个新的和更广泛的背景下描述考虑类型问题所产 生的自然问题,即抛物线与双曲线;其次,介绍过去 $20 \mathrm{~ 年 来 该 领 域 的 一 些 新 结 果 ~ ( 包 括 㰀 壊 䅁 例 )}$
我们将介绍 C. Rosales 和第一名和第三名作者在预印本 [HPR1] 和 [HPR2] 中获得的一些主要结果,并适当参考之前的工作和有关几位作 $\mathrm{~ 者 的 加 权 设 睪 的 结 果 , [ B a , M o , G r i 2 , G r i 3 , G r i M a , W , Q , W W , P R R S ] , 以 及 最 的 萟}$
让 $(N, g)$ 是一个完整的黎䍒流形。一个密度 $e^{h}$ ,在哪里 $h: N \rightarrow \mathbb{R}$ 上的平滑函数 $N \mathrm{~ , ~ 用 于 对 与 黎 晛}$ 重。特别是对于任何 Borel 集 $E \subseteq N$, 和任何 $C^{1}$ 超曲面 $P \subseteq N$, 的加权体积 $E$ 和加权面积 $P$ 由
$$
\operatorname{Vol} h(E):=\int E d V_{h}=\int_{E} e^{h} d V, \quad \operatorname{Vol} h(P):=\int P d A_{h}=\int_{P} e^{h} d A,
$$
在哪里 $d V$ 和 $d A$ 分别表示体积和面积的黎㼟元素(参见 [Mo,Ch. 18],了解黎䡒几何的这种推广)。
$\mathrm{~ 密 度 函 数 不 仅 确 定 了 体 积 和 面 积 的 推 广 , 还 确 定 了 黎 晏 流 形 上 一 些 关 键 微 分 算 子 的 推 广 。 我 们 将 把 锪}$
我们定义加权拉普拉斯算子或 $h$ – 函数的拉普拉斯算子 $u \in C^{2}(N)$ 如 [Gri2, Sect. 2.1],
给定一个域 (连通开集) $\Omega$ 在 $N$,一个函数 $u \in C^{2}(\Omega)$ 是 $h$ 谐波 (resp. h-subharmonic) 如果 $\Delta_{h} u=0$ (分别。 $\Delta_{h} u \geq 0$ ) 上 $\Omega$. 与末加 权设置一样,有一个强大的最大值原理和一个 Hopf 边界点引理 $h$ – 次谐波函数,与定理 $12.4$ 完全相同,但将次谐波函数埶换为 $h-$ 次谐波
此外,正如在末加权的情况下,从这个加权最大值原则很明显,任何 $h$ – 赤流形上的次谐波函数 $N$ 必须是常数,很自然地想知道在非紧凌 情况下会发生什么。这个问题导致了加权抛物线的概念,(见定理15.1对于黎曼方法)。


数学代写|黎蔓几何代写Riemannian geometry代考|Weighted Capacities


加权容量的概念 $\operatorname{Cap} h(K)$ 预紧集 $K$ 在关于抛物线与双曲线问题的釱型问题的研究中起着关键作用。特别是, $h$ – 抛物线 $N$ 再次以以下事 实为特征Cap $h(K)=0$ 适用于任何/一些䋈㿤型套装 $K \subseteq M$ 内部非空(参见 [GriSa])。在本节中,我们将介绍加权容量的概念,从而 将本节中提出的概念修改并扩展到加权上下文 $14 .$
接下来,我们将回顾如何 $h$-流形的抛物线可以通过加权容量来表征。让 $\Omega \subseteq N$ 是一个开集并且 $K \subseteq \Omega 一 个 \mathrm{~ 个 䋈 瑃}$ $A_{\rho, R} \subseteq P \subseteq N$ 在第 9 节对应的电容䎐 $\left(D_{\rho}, D_{R}\right)$, 而电容器 $\left(B_{\rho}^{N}, B_{R}^{N}\right)$ 是一个内在的环。什么时候 $\Omega=N, \operatorname{Cap} h(K, N)=\operatorname{Cap} h(K)$
此外,如果 $\Omega \subseteq N$ 是预䋈的,可以证明, $h$-䋈凌集的容量 $K$ 在 $\Omega$ 被给出为以下积分,参见第 14 节中的 [Gri1]、 [Gri2] 和方程 (14.5):
其中向量场 $\nu$ 是外部单位法线沿 $\partial(\Omega \backslash K)$ ,即单位法线沿 $\partial K$ 指向 $K$ ,和 $\phi$ 是拉普拉斯方程的解 $\Omega-K$ 具有狄利克雷边界值:
换句话说,(22.1) 中的下确界是通过解 $h$-Laplace 方程,边界上有 Dirichlet 条件 (22.3)。功能 $\phi$ 被称为 $h$-电容器的容量电位 $(K, \Omega)$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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