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黎曼几何是研究黎曼流形的微分几何学分支，黎曼流形是具有黎曼公制的光滑流形，即在每一点的切线空间上有一个内积，从一点到另一点平滑变化。
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数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Extrinsic Criteria for Weighted Parabolicity
In this section we analyze the weighted parabolicity of a submanifold $P$ immersed in a weighted manifold $M$ as it was done, (in the Riemannian case), in Sections 14 , 18 and 19 . In this case we consider the restriction to $P$ of the distance function to the pole, (the extrinsic distance), and the family of capacitors in the submanifolds, constituted by the extrinsic balls.
Our first result is an extension to the weighted setting of previous theorems for Riemannian manifolds in [EP] by Esteve and the third author, and in [MaP4, MaP7]. We note that the particular situations of weighted $(w, f)$-model spaces were established in Theorems $3.2$ and $3.3$ of [HPR1].
In [HPR2] a parabolicity criterion is established assuming lower bounds on the $q$-weighted sectional curvatures of the ambient manifold and upper bounds on the derivatives of the weight and the radial weighted mean curvatures of the submanifold.
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|The Grigor’yan–Fernandez Criterion
Our aim in this subsection is to give a weighted version of the hyperbolicity criterion studied in Section 19 (see also [CHS] for a weighted version with a modified isoperimetric profile).
Let $M$ be a Riemannian manifold with a continuous density $f=e^{h}$. For any open set $\Omega \subseteq M$, the weighted isoperimetric profile of $\Omega$ is the function $I_{\Omega, h}$ : $\left[0, V_{h}(\Omega)\right] \rightarrow \mathbb{R}$ defined by $I_{\Omega, h}(0)=0$, and
$I_{\Omega, h}(v)=\inf \left{A_{h}(\Sigma) ; \Sigma \subseteq \bar{\Omega}\right.$ is a compact hypersurface enclosing weighted volume $v}$,
for any $\left.v \in\left(0, V_{h} \Omega\right)\right]$
Remark 27.1. Obviously we get the weighted isoperimetric inequality
$$
A_{h}(\Sigma) \geq I_{\Omega, h}\left(V_{h}(E)\right) \geq I_{M, h}\left(V_{h}(E)\right)
$$
for any open set $E \subseteq \Omega$ with smooth boundary $\Sigma$.
Remark 27.2. On the other hand, if we consider the function $h=0$, and the sets $\Omega_{0}={p}$ and $\Omega=M$ in Definition $19.1$, then, given $t \geq 0$, the weighted isoperimetric profile of $\Omega$ is the $\Omega_{0}={p}$-rooted isoperimetric profile of $M$, namely, $I_{\Omega, h}(t)=\phi_{M,{p}}(t) .$
We consider $\Omega$ a precompact domain in $M$ and $\psi: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ a smooth function such that $\psi(\Omega)=[a, b]$ with $a<b$. Following the notation of Section 6 , applying formula (6.2) with $u=g f=g e^{h}$, and assuming that the set of critical points of $\psi$, denoted as $\Omega_{0}$, has measure zero we deduce,
$$
\begin{aligned}
\int_{\Omega} g|\nabla \psi| d V_{h} &=\int_{a}^{b}\left(\int_{\Sigma_{t}} g d A_{h, t}\right) d t \
\frac{d}{d t} V_{h}(t) &=\int_{\Gamma(t)}|\psi(x)|^{-1} d A_{h, t}
\end{aligned}
$$
where $V_{h}(t)=\operatorname{Vol}{h}(\Omega(t))$. So we can state the following weighted version of the co-area formula: Theorem 27.3. i) For every integrable function $u$ on $\bar{\Omega}$ : $$ \int{\Omega} u \cdot|\nabla \psi| d V_{h}=\int_{a}^{b}\left(\int_{\Gamma(t)} u d A_{h, t}\right) d t
$$
where $d A_{h, t}$ is the weighted volume element of $\Gamma(t)$.
ii) The function $V_{h}(t):=\operatorname{Vol}{\mathrm{h}}(\Omega(t))$ is a smooth function on the regular values of $\psi$, where its derivative is given by (assuming that the set of critical points of $\psi$ has measure zero): $$ \frac{d}{d t} V{h}(t)=\int_{\Gamma(t)}|\nabla \psi|^{-1} d A_{h, t}
$$
Remark 27.4. If $g \geq 0$ on $\Omega$ and assuming that the set of critical points of $\psi, \Omega_{0}$, has null measure, we have, using the first equation in (27.2), that
$$
\begin{aligned}
\int_{\Omega} g d V_{h} &=\int_{\Omega_{0}} g d V_{h}+\int_{\Omega-\Omega_{0}}\left(g|\nabla \psi|^{-1}\right)|\nabla \psi| d V_{h} \
&=\int_{a}^{b}\left(\int_{\Sigma_{t}} g|\nabla \psi|^{-1} d A_{h, t}\right) d t
\end{aligned}
$$
We are now ready to prove a lower bound for the capacity via the isoperimetric profile function.
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Graphs and Flows
In the two final sections of these notes we now briefly indicate how many of the concepts from the previous sections can be carried over almost verbatim to locally finite graphs and thus give a fruitful alternative understanding of what is going on. We first recall that the dimension of $P^{m}$ has so far been assumed to be $m>1$, partly because the intrinsic geometry of geodesic segments is completely trivial. This viewpoint is, of course, altered considerably if we allow geodesic segments to be joined in such a way as to form a metric geodesic graph in the ambient space. The analysis of restricted distance functions on minimal geodesic graphs in Riemannian manifolds has been studied in [Ma7] following essentially the same lines of reasoning – and the same set of goals – as in the first edition of the present notes.
In view of the new results for (sub-)manifolds that we have reported above, there are then several interesting and pertinent challenges and questions that are calling for similar results to hold true on (minimal) metric graphs in (weighted) manifolds with suitable bounds on their curvatures. Indeed, the notions of Dirichlet spectrum, mean exit time moment spectrum, the weighted capacities, the type problem, etc. are all well defined on such graph-structures. Therefore the quest for finding “good” relations between the Dirichlet spectrum and the moment spectrum in that setting is quite natural. This also holds for the quest of answering the Kac question for either one of the two spectra. These questions can thus be studied following the same lines – or other refined lines with graph theoretic and other discrete tools at our disposal – as in the previous smooth geometric settings. We refer to the papers [McT)Ma, McПMMh, CKT], which contain interesting results in this direction.
Here, however, we will only consider the purely combinatorial structure of graphs, which already by itself can be considered as carrier of such fundamental notions as potential functions, capacity, isoperimetric inequalities, etc., and for which we may also state the type problem, i.e., whether random walk on the graph is transient or recurrent. This latter question will be addressed and discussed in detail via a concrete example in the next section.
We let $G=(V, E)$ denote a finite graph with edge set $E$ and vertex set $V$. If we associate the resistance value of $1(\mathrm{Ohm})$ to every edge and consider the current from one vertex $a$ to another vertex $b$ in $G$, then we are studying potential theory on finite networks. We refer to [DoyS], [So], and [Wo]. Following [DoyS] we show explicitly the relation between the capacity energy and the harmonic potential in the case of a finite graph.
黎曼几何代考
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Extrinsic Criteria for Weighted Parabolicity
在本节中，我们分析子流形的加权抛物线 $P$ 沉浸在加权流形中 $M$ 正如在第 $14 、 18$ 和 19 节中所做的那样（在黎曼的情况下）。在这种情 况下，我们考虑限制 $P$ 到极点的距离函数（外部距离）以及由外部球构成的子歧管中的电容器系列。
我们的第一个结果是 Esteve 和第三作者在 [EP] 和 [MaP4, MaP7] 中对黎曼流形先前定理的加权设置的扩展。我们注意到加权的特殊情况 $(w, f)$ – 在定理中建立模型空间 $3.2$ 和 $3.3[\mathrm{HPR} 1]$ 。
在 [HPR2] 中建立了一个抛物线标准，假设下界 $q$-周围流形的加权截面曲率和权重导数的上限和子流形的径向加权平均曲率。
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|The Grigor’yanFernandez Criterion
我们在本小节中的目标是给出第 19 节中研究的双曲线标准的加权版本 (另见 [CHS] 以获取具有修改的等周剖面的加权版本)。
让 $M$ 是具有连续密度的黎曼流形 $f=e^{h}$. 对于任何开集 $\Omega \subseteq M$ ，的加权等周剖面 $\Omega$ 是函数 $I_{\Omega, h}:\left[0, V_{h}(\Omega)\right] \rightarrow \mathbb{R}$ 被定义为 $I_{\Omega, h}(0)=0$ ，
和
\eft 的分隔符缺失或无法识别
对于任何 $\left.v \in\left(0, V_{h} \Omega\right)\right]$
备注 27.1。显然我们得到了加权等周不等式
$$
A_{h}(\Sigma) \geq I_{\Omega, h}\left(V_{h}(E)\right) \geq I_{M, h}\left(V_{h}(E)\right)
$$
对于任何开集 $E \subseteq \Omega$ 边界平滑 $\Sigma$.
备注 27.2。另一方面，如果我们考虑函数 $h=0$, 和集合 $\Omega_{0}=p$ 和 $\Omega=M$ 在定义 $19.1$ ，那么，给定 $t \geq 0$, 的加权等周剖面 $\Omega$ 是个 $\Omega_{0}=p$ 根等周剖面 $M$ ，即， $I_{\Omega, h}(t)=\phi_{M, p}(t)$.
我们认为 $\Omega$ 预压缩域 $M$ 和 $\psi: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 一个光滑的函数，使得 $\psi(\Omega)=[a, b]$ 和 $a<b$. 按照第 6 节的符号，应用公式 $(6.2)$ 与 $u=g f=g e^{h}$ ， 并假设临界点的集合 $\psi$ ，记为 $\Omega_{0}$ ，我们推断出测度为零，
$$
\int_{\Omega} g|\nabla \psi| d V_{h}=\int_{a}^{b}\left(\int_{\Sigma_{t}} g d A_{h, t}\right) d t \frac{d}{d t} V_{h}(t) \quad=\int_{\Gamma(t)}|\psi(x)|^{-1} d A_{h, t}
$$
在哪里 $V_{h}(t)=\operatorname{Vol} h(\Omega(t))$. 所以我们可以陈述以下加权版本的共面积公式：定理 27.3。i) 对于每个可积函数 $u$ 上 $\bar{\Omega}:$
$$
\int \Omega u \cdot|\nabla \psi| d V_{h}=\int_{a}^{b}\left(\int_{\Gamma(t)} u d A_{h, t}\right) d t
$$
在哪里 $d A_{h, t}$ 是加权体积元素 $\Gamma(t)$.
ii) 功能 $V_{h}(t):=\operatorname{Vol} \mathrm{h}(\Omega(t))$ 是一个关于正则值的平滑函数 $\psi$ ，其中它的导数由下式给出（假设临界点的集合 测量为零) :
$$
\frac{d}{d t} V h(t)=\int_{\Gamma(t)}|\nabla \psi|^{-1} d A_{h, t}
$$
备注 27.4。如果 $g \geq 0$ 上 $\Omega$ 并假设临界点的集合 $\psi, \Omega_{0}$, 有零测度，我们有，使用 (27.2) 中的第一个方程，
$$
\int_{\Omega} g d V_{h}=\int_{\Omega_{0}} g d V_{h}+\int_{\Omega-\Omega_{0}}\left(g|\nabla \psi|^{-1}\right)|\nabla \psi| d V_{h} \quad=\int_{a}^{b}\left(\int_{\Sigma_{t}} g|\nabla \psi|^{-1} d A_{h, t}\right) d t
$$
我们现在准备通过等周剖面函数证明容量的下限。
数学代写|黎曼几何代写Riemannian geometry代考|Graphs and Flows
在这些笔记的最后两个部分中，我们现在简要说明前面部分中的概念有多少可以几乎逐字地转移到局部有限图上，从而对正在发生的事情 提供富有成效的替代理解。我们首先回忆一下维度 $P^{m}$ 迄今为止被认为是 $m>1$ ，部分原因是测地线段的内在几何是完全微不足道的。当 然，如果我们允许测地线段以在环境空间中形成度量测地线图的方式连接，则该观点会发生很大变化。在 [Ma7] 中研究了黎曼流形中最 小测地线图上的限制距离函数的分析，其推理思路与本说明第一版中的基本相同—以及相同的目标集。
鉴于我们上面报告的 (子) 流形的新结果，然后有几个有趣且相关的挑战和问题要求类似的结果在 (加权) 流形中的（最小) 度量图上保 持正确，并具有合适的限制在它们的曲率上。事实上，狄利克雷谱、平均退出时间矩谱、加权容量、类型问题等的概念都在这种图结构上 得到了很好的定义。因此，在该设置中寻找狄利克雷谱和矩谱之间的“良好”关系是很自然的。这也适用于回答两个光谱之一的 Kac 问题。 因此，这些问题可以按照与之前的平滑几何设置相同的方法进行研究一或者使用图论和其他离散工具的其他细化线进行研究。我们参考 了论文 [McT)Ma, McПMMh, CKT]，其中包含在这个方向上的有趣结果。
然而，在这里，我们将只考虑图的纯组合结构，它本身已经可以被认为是势函数＼cjkstart容量、等周不等式等基本概念的载体，我们也可以为此 提出类型问题，即图上的随机游走是瞬态的还是经常性的。后一个问题将在下一节中通过一个具体的例子来解快和详细讨论。
我们让 $G=(V, E)$ 表示具有边集的有限图 $E$ 和顶点集 $V$. 如果我们将电阻值联系起来 $1(\mathrm{Ohm})$ 到每条边并考虑来自一个顶点的电流 $a$ 到另 一个顶点 $b$ 在 $G$ ，那么我们正在研究有限网络的势理论。我们指的是[DoyS]、[So]和[Wo]。在 [DoyS] 之后，我们明确地展示了在有限图的 情况下容量能量和诣波势之间的关系。
位 (K,Ω).
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
