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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域，它基于一个假设，即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点，深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上，这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|LEM Results

Figures 2.5-2.7 show the results after using LEM for different values of $k$. As the value of $k$ increases from 1 to higher values we notice the spreading of the embedded data. The bottom subplot shows the nearest neighbor graph with $k=1$ as shown in Figure 2.7. The right plot shows the embedding of the graph. It is interesting to observe how the embedded data loses its local neighborhood information. The embedding practically happens along the second principal eigenvector (the first being Zero Vector). As the value of $k$ is increased to 2 , we observe that embedding happens along the second and third principal axes. See Figure 2.7. For $k=1$ the graph is highly disconnected and for $k=2$ the graphs has much less isolated pieces of graphs. One interesting thing to observe is that as the connectivity of the graph increases the low-dimensional representation begins to preserve the local information.

The graph with $k=2$ and its embedding is shown in Figure $2.8$. Increasing the neighborhood information to 2 neighbors is still not able to represent the continuity of the original manifold. Figure $2.7$ shows the graph with $k=3$ and its embedding. Increasing the neighborhood information to 3 neighbors better represents the continuity of the original manifold. Figure $2.5$ shows the graph with $k=5$ and its embedding. Increasing the neighborhood information to 5 neighbors better represents the continuity of the original manifold. Similar results are obtained by increasing the the number of neighbors, however, it should be noted that when the number of neighbors is very high then the graph starts to get influenced by ambient neigbhors.

We see similar results for the face images. The three plots in Figure $2.6$ show the embedding results obtained using LEM when the neighborhood graphs are created using $k=1, k=2$, and $k=5$. The top and the middle plot validate the limitation of LEM for $k=1$ and $k=2$. As expected, for $k=5$ there is continuity of facial images in the embedded space.

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Bibliographical and Historical Remarks

Dimensionality reduction is an important research area in data analysis with an extensive research literature. Both linear and non-linear methods exist, and each category has both supervised and unsupervised versions. In this section we will briefly mention some of the salient works that have been proposed in the area of locally preserving manifold learning: see $[8]$ for a broader survey.

Lee and Seung [12] showed that many high dimensional data such as a series of related images, video frames, etc. lie on a much lower-dimensional manifold instead of being scattered throughout the feature space. This particular observation has motivated researchers to develop dimension reduction algorithms that try to learn an embedded manifold in a high-dimensional space.

ISOMAP [14] learns the manifold by exploring geodesic distances. In fact the algorithm tries to preserve the geometry of the data on the manifold by noting the points in the neighborhood of each point. The algorithm is defined as such:

1. Form a neighborhood graph $\mathrm{G}$ for the dataset, based, for instance, on the $K$ nearest neighbors of each point $x_{i}$.
2. For every pair of nodes in the graph, compute the shortest path, using Dijkstras algorithm, as an estimate of intrinsic distance on the data manifold. The weights of edges of the graphs are computed based on the Euclidean distance measure.
3. Classical Multi-Dimensional Scaling algorithm is computed using these pairwise distances to find a lower dimensional embedding $y_{i}$.

Bernstein et al. [22] have described the convergence properties of the estimation procedure for the intrinsic distances. For large and dense data sets, computation of pairwise distances is time consuming, and moreover the calculation of eigenvalues can be computationally intensive for large data sets. Such constraints have motivated researchers to find simpler variations of the Isomap algorithm. One such algorithm uses subsampled data called landmarks. Firstly, it calculates Isomap for random points called landmarks and between those landmarks a simple triangulation algorithm is applied.

Locally Linear Embedding (LLE) is an unsupervised learning method based on global and local optimization [11]. It is is similar to Isomap in the sense that it generates a graphical representation of the data set. However, it is different from Isomap as it only attempts to preserve local structures of the data. Because of the locality property used in LLE, the algorithm allows for successful embedding of nonconvex manifolds. An important point to be noted is that LLE creates the local properties of a manifold using the linear combinations of $k$ nearest neighbors of the data $x_{i}$. LLE attempts to create a local regression like model and thereby tries to fit a hyperplane through the data point $x_{i}$. This appears to be reasonable for smooth manifolds where the nearest neighbors align themselves well in a linear space. For very non-smooth or noisy data sets, LLE does not perform well. It has been noted that LLE preserves the reconstruction weights in the space of lower dimensionality, as the reconstruction weights of a data point are invariant to linear transformational operations like translation, rotation, etc.

流形学习代写

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|LEM Results

图 2.5-2.7 显示了使用 LEM 对不同值的结果ķ. 作为价值ķ从 1 增加到更高的值，我们注意到嵌入数据的传播。底部子图显示最近邻图ķ=1如图 2.7 所示。右图显示了图形的嵌入。观察嵌入数据如何丢失其本地邻域信息是很有趣的。嵌入实际上沿着第二个主特征向量（第一个是零向量）发生。作为价值ķ增加到 2 ，我们观察到嵌入发生在第二和第三主轴上。请参见图 2.7。为了ķ=1该图高度不连贯，并且对于ķ=2这些图的孤立图块要少得多。要观察的一件有趣的事情是，随着图的连通性增加，低维表示开始保留局部信息。

该图与ķ=2其嵌入如图2.8. 将邻域信息增加到 2 个邻居仍然无法表示原始流形的连续性。数字2.7显示图表ķ=3及其嵌入。将邻域信息增加到 3 个邻居更好地代表了原始流形的连续性。数字2.5显示图表ķ=5及其嵌入。将邻域信息增加到 5 个邻居更好地代表了原始流形的连续性。通过增加邻居的数量可以获得类似的结果，但是应该注意，当邻居的数量非常高时，图开始受到环境邻居的影响。

我们看到面部图像的类似结果。图中的三个地块2.6显示当使用 LEM 创建邻域图时使用 LEM 获得的嵌入结果ķ=1,ķ=2， 和ķ=5. 顶部和中间的图验证了 LEM 的局限性ķ=1和ķ=2. 正如所料，对于ķ=5嵌入空间中的面部图像具有连续性。

机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Bibliographical and Historical Remarks

降维是数据分析中的一个重要研究领域，具有广泛的研究文献。线性和非线性方法都存在，每个类别都有监督和无监督版本。在本节中，我们将简要提及在局部保留流形学习领域提出的一些突出工作：参见[8]进行更广泛的调查。

Lee 和 Seung [12] 表明，许多高维数据（例如一系列相关图像、视频帧等）位于低得多的流形上，而不是分散在整个特征空间中。这一特殊观察促使研究人员开发降维算法，试图在高维空间中学习嵌入式流形。

ISOMAP [14] 通过探索测地距离来学习流形。事实上，该算法试图通过注意每个点附近的点来保留流形上数据的几何形状。算法定义如下：

1. 形成邻域图G对于数据集，例如，基于ķ每个点的最近邻X一世.
2. 对于图中的每一对节点，使用 Dijkstras 算法计算最短路径，作为数据流形上内在距离的估计。图的边权重是根据欧几里得距离度量计算的。
3. 使用这些成对距离计算经典的多维缩放算法以找到较低维的嵌入是一世.

伯恩斯坦等人。[22]已经描述了内在距离估计过程的收敛特性。对于大而密集的数据集，成对距离的计算非常耗时，而且对于大数据集，特征值的计算可能是计算密集型的。这种约束促使研究人员寻找更简单的 Isomap 算法变体。一种这样的算法使用称为地标的二次采样数据。首先，它为称为界标的随机点计算 Isomap，并在这些界标之间应用简单的三角测量算法。

局部线性嵌入 (LLE) 是一种基于全局和局部优化的无监督学习方法 [11]。在生成数据集的图形表示方面，它类似于 Isomap。但是，它与 Isomap 不同，因为它仅尝试保留数据的局部结构。由于 LLE 中使用的局部性属性，该算法允许成功嵌入非凸流形。需要注意的重要一点是，LLE 使用以下的线性组合创建流形的局部属性ķ数据的最近邻X一世. LLE 尝试创建类似于模型的局部回归，从而尝试通过数据点拟合超平面X一世. 这对于最近的邻居在线性空间中很好地对齐的平滑流形来说似乎是合理的。对于非常不平滑或嘈杂的数据集，LLE 表现不佳。已经注意到，LLE 保留了低维空间中的重建权重，因为数据点的重建权重对于平移、旋转等线性变换操作是不变的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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