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宇宙学是天文学的一个分支，涉及宇宙的起源和演变，从大爆炸到今天，再到未来。宇宙学的定义是 “对整个宇宙的大尺度特性进行科学研究”。
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物理代写|宇宙学代写cosmology代考|The collisionless Boltzmann equation for radiation
The Boltzmann equation for radiation, i.e. ultra-relativistic particles, in the perturbed universe is a straightforward generalization of the treatment in Sect. 3.2.2 which led us to Eq. (3.39). Moreover, we have done the hard part already by computing the expressions for $d x^{i} / d t$ [Eq. (3.62)] and $d p^{i} / d t$ [Eq. (3.69)]. We simply specialize them to the case $m=0$, i.e. $E=p$. We can then write Eq. (3.33) as
$$
\begin{aligned}
\frac{d f}{d t}=& \frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x^{i}} \frac{\hat{p}^{i}}{a}(1-\Phi+\Psi)-\frac{\partial f}{\partial p}\left{[H+\dot{\Phi}] p+\frac{1}{a} p^{i} \Psi_{, i}\right} \
&+\frac{\partial f}{\partial \hat{p}^{i}} \frac{1}{a}\left[(\Phi-\Psi){, i}-\hat{p}^{i} \hat{p}^{k}(\Phi-\Psi){, k}\right]
\end{aligned}
$$
This is the complete, linear-order left-hand side of the Boltzmann equation for radiation. However, we can simplify it further by making use of our knowledge of the zeroth-order distribution function $f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p}, t)$. In the homogeneous universe, this distribution is of the Bose-Einstein form Eq. (2.65). This equilibrium distribution obviously does not depend on position $\boldsymbol{x}$, but it also does not depend on the direction of the momentum vector $\hat{\boldsymbol{p}}$ since it is isotropic. We now make the ansatz that the deviations from the equilibrium distribution of radiation in the inhomogeneous universe are of the same order as the spacetime perturbations $\Phi, \Psi$. We will see in subsequent chapters that this ansatz not only makes our life much easier, but is indeed valid.
With this working assumption, we can immediately drop the last term, $\propto \partial f / \partial \hat{p}^{i}$, in Eq. (3.73). Recall that $\partial f / \partial \hat{p}^{i}$ is nonzero only if we consider a perturbation to the zeroth order $f$; i.e., it is a first-order term. But so is the term which multiplies it. So we can neglect it.
Further, it is easy to see that the potentials in the second term $\propto \partial f / \partial x^{i}$ in Eq. (3.73) are higher order as well, because they multiply $\partial f / \partial x^{i}$ which is a first-order term (again, the zeroth-order distribution function does not depend on position). We finally obtain the Boltzmann equation for radiation consistently expanded to linear order:
$$
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\hat{p}^{i}}{a} \frac{\partial f}{\partial x^{i}}-\left[H+\dot{\Phi}+\frac{1}{a} \hat{p}^{i} \frac{\partial \Psi}{\partial x^{i}}\right] p \frac{\partial f}{\partial p}
$$
Eq. (3.74) will lead us directly to the equations governing CMB anisotropies.
物理代写|宇宙学代写cosmology代考|The origin of species
The very early universe was hot and dense. As a result, interactions among particles occurred much more frequently than they do today. As an example, a photon in the visible band today can typically travel across much of the observable universe without deflection or capture, so it has a mean free path greater than $10^{28} \mathrm{~cm}$. When the age of the universe was equal to $1 \mathrm{sec}$, though, the mean free path of a photon was about the size of an atom. Thus, in the time it took the universe to expand by a factor of 2, a given photon interacted many, many times. These multiple interactions kept many of the constituents in the universe in equilibrium. Nonetheless, there were times when reactions could not proceed rapidly enough to maintain equilibrium conditions. Not coincidentally, these times are of the utmost interest to cosmologists.
Indeed, we will see in this chapter that out-of-equilibrium phenomena played a role in (i) the formation of the light elements during Big Bang Nucleosynthesis; (ii) recombination of electrons and protons into neutral hydrogen; and possibly in (iii) the production of dark matter in the early universe. It is important to understand that all three phenomena are the result of nonequilibrium physics and that all three can be studied with the same formalism: the Boltzmann equation in the homogeneous universe, as introduced in Sect. 3.2. Sects. $4.2-4.4$ of this chapter are simply applications of this general formula.
To summarize, in this chapter we will go beyond our treatment in Ch. 2 by considering out-of-equilibrium processes in the universe, but we still work within the framework of a homogeneous universe. In succeeding chapters, we will then move beyond uniformity and explore distribution functions for matter and radiation that depend on both position and direction of propagation.
物理代写|宇宙学代写cosmology代考|The homogeneous Boltzmann equation revisited
Suppose that we are interested in the number density $n_{1}$ of species 1 . For simplicity, we will assume that the only process affecting the abundance of this species is a reaction with species 2 producing two particles, imaginatively called 3 and 4 . Schematically, $1+2 \leftrightarrow$ $3+4$; i.e., particle 1 and particle 2 can annihilate producing particles 3 and 4 , or the inverse process can produce 1 and 2 . The Boltzmann equation for this system in an expanding universe was derived in Sect. 3.2.2, and the corresponding collision term in Sect. 3.2.3. Combining the general results Eq. (3.43) and Eq. (3.48), we obtain the following evolution equation for $n_{1}$ :$$
\begin{aligned}
a^{-3} \frac{d\left(n_{1} a^{3}\right)}{d t}=& \int \frac{d^{3} p_{1}}{(2 \pi)^{3} 2 E_{1}} \int \frac{d^{3} p_{2}}{(2 \pi)^{3} 2 E_{2}} \int \frac{d^{3} p_{3}}{(2 \pi)^{3} 2 E_{3}} \int \frac{d^{3} p_{4}}{(2 \pi)^{3} 2 E_{4}} \
& \times(2 \pi)^{4} \delta_{\mathrm{D}}^{(3)}\left(\boldsymbol{p}{1}+\boldsymbol{p}{2}-\boldsymbol{p}{3}-\boldsymbol{p}{4}\right) \delta_{\mathrm{D}}^{(1)}\left(E_{1}+E_{2}-E_{3}-E_{4}\right)|\mathcal{M}|^{2} \
& \times\left{f_{3} f_{4}\left[1 \pm f_{1}\right]\left[1 \pm f_{2}\right]-f_{1} f_{2}\left[1 \pm f_{3}\right]\left[1 \pm f_{4}\right]\right}
\end{aligned}
$$
Here, $E_{i}$ stands for $E_{i}\left(p_{i}\right)$ and $f_{i}$ for $f_{i}\left(p_{i}, t\right)$. We have thus obtained an integrodifferential equation for the phase-space distributions. Further, in principle at least, it must be supplemented with similar equations for the other species. In practice, these formidable obstacles can be overcome for many practical cosmological applications. The first, most important, realization is that scattering processes typically enforce kinetic equilibrium. That is, scattering takes place so rapidly that the distributions of the various species take on the generic Bose-Einstein/Fermi-Dirac forms (Eq. (2.65) and Eq. (2.66)) with equal temperature $T$ for each species. This form condenses all of the freedom in the distribution into the functions of time $T$ and $\mu$. If annihilations were also in equilibrium, the sum of the chemical potentials $\mu_{i}$ in any reaction would have to balance. For example, the reaction $e^{+}+e^{-} \leftrightarrow \gamma+\gamma$ would lead to $\mu_{e^{+}}+\mu_{e^{-}}=2 \mu_{\gamma}$. In the out-of-equilibrium cases we will study, the system will not be in chemical equilibrium and we will have to solve a differential equation for $\mu$. The great simplifying feature of kinetic equilibrium, though, is that this differential equation will be a single ordinary differential equation, as opposed to the very complicated form of Eq. (4.1).
宇宙学代考
物理代写|宇宙学代写cosmology代考|The collisionless Boltzmann equation for radiation
扰动宇宙中辐射的玻尔兹曼方程，即超相对论粒子，是 Sect 中处理的简单概括。3.2.2 这使我们得到方程式。(3.39)。此外，我们已经通 过计算表达式完成了困难的部分 $d x^{i} / d t$ [方程式。(3.62)] 和 $d p^{i} / d t[$ 方程式。(3.69)]。我们只是专门针对案例 $m=0$ ， $\mathrm{IE} E=p$. 然后我们可 以写Eq。(3.33) 为
$\backslash 1$ eft 的分隔符缺失或无法识别
这是辐射的玻尔兹䍒方程的完整的线性阶左侧。但是，我们可以利用我们对零阶分布函数的知识来进一步简化它 $f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p}, t)$. 在同质宇宙 中，这种分布是 Bose-Einstein 形式的方程。(2.65)。这种平衡分布显然不依赖于位置 $\boldsymbol{x}$, 但它也不依赖于动量向量的方向 $\hat{\boldsymbol{p}}$ 因为它是各向同 性的。我们现在证明非均匀宇宙中辐射平衡分布的偏差与时空扰动具有相同的量级 $\Phi, \Psi$. 我们将在随后的章节中看到，这个 ansatz 不仅 使我们的生活更轻松，而且确实有效。
有了这个工作假设，我们可以立即删除最后一项， $\propto \partial f / \partial \hat{p}^{i}$ ，在等式。(3.73)。回顾 $\partial f / \partial \hat{p}^{i}$ 只有当我们考虑到零阶的扰动时才非零 $f$; 即，它是一阶项。但是乘以它的术语也是如此。所以我们可以忽略它。
此外，很容易看出第二项的潜力 $\propto \partial f / \partial x^{i}$ 在等式。(3.73) 也是高阶的，因为它们相乘 $\partial f / \partial x^{i}$ 这是一阶项（同样，零阶分布函数不依赖于 位置）。我们最终得到了辐射的玻尔兹曼方程，它始终扩展到线性阶：
$$
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\hat{p}^{i}}{a} \frac{\partial f}{\partial x^{i}}-\left[H+\dot{\Phi}+\frac{1}{a} \hat{p}^{i} \frac{\partial \Psi}{\partial x^{i}}\right] p \frac{\partial f}{\partial p}
$$
方程。(3.74) 将直接引导我们到控制 CMB 各向异性的方程。
物理代写|宇宙学代写cosmology代考|The origin of species
非常早期的宇宙又热又密。结果，粒子之间的相互作用发生的频率比现在要高得多。例如，今天可见波段中的光子通常可以在没有偏转或 捕获的情况下穿越大部分可观测宇宙，因此它的平均自由程大于 $10^{28} \mathrm{~cm}$. 当宇宙的年齡等于 $1 \mathrm{sec}$ 但是，光子的平均自由程大约是原子的 大小。因此，在宇宙膨胀 2 倍的时间里，一个给定的光子相互作用了很多很多次。这些多重相互作用使宇宙中的许多成分保持平衡。尽 管如此，有时反应不能足够快地进行以维持平衡条件。并非巧合的是，这些时间对宇宙学家来说是最感兴趣的。
事实上，我们将在本章中看到，失衡现象在 (i) 大爆炸核合成过程中轻元素的形成中发挥了作用；(ii) 电子和质子复合成中性氢；并且可 能在 (iii) 早期宇宙中产生暗物质。重要的是要理解所有这三种现象都是非平衡物理学的结果，并且所有这三种现象都可以用相同的形式来 研究：均匀宇宙中的玻尔兹曼方程，如 Sect. 3.2. 教派。 $4.2-4.4$ 本章的内容只是这个通用公式的简单应用。
总而言之，在本章中，我们将超越我们在 $C h$ 中的处理。 2 通过考虑宇宙中的非平衡过程，但我们仍然在同质宇宙的框架内工作。在接下 来的章节中，我们将超越均匀性，探索物质和辐射的分布函数，它取决于传播的位置和方向。
物理代写|宇宙学代写cosmology代考|The homogeneous Boltzmann equation revisited
假设我们对数密度感兴趣 $n_{1}$ 物种 1 。为简单起见，我们假设影响该物种丰度的唯一过程是与物种 2 的反应，产生两个粒子，想象中称为 3 和 4 。示意性地， $1+2 \leftrightarrow 3+4$; 即，粒子1和粒子2可以湮灭产生粒子3和 4 ，或者逆过程可以产生1和 2 。这个系统在膨胀宇宙中的玻 尔兹曼方程是在 Sect 中推导出来的。3.2.2，以及相应的碰撞项。3.2.3。结合一般结果方程。（3.43) 和等式。（3.48），我们得到以下 进化方程 $n_{1}$ :
\eft 的分隔符缺失或无法识别
这里， $E_{i}$ 代表 $E_{i}\left(p_{i}\right)$ 和 $f_{i}$ 为了 $f_{i}\left(p_{i}, t\right)$. 因此，我们得到了相空间分布的积分微分方程。此外，至少在原则上，它必须补充其他物种的类 似方程。在实践中，对于许多实际的宇宙学应用来说，这些巨大的障碍是可以克服的。首先，最重要的是，散射过程通常会强制实现动力 学平衡。也就是说，散射发生得如此之快，以至于各种物种的分布呈现出具有相同温度的通用 Bose-Einstein/Fermi-Dirac 形式 (Eq. (2.65) 和 Eq. (2.66)) $T$ 对于每个物种。这种形式将分布中的所有自由浓缩为时间的函数 $T$ 和 $\mu$. 如果湮大也处于平衡状态，化学势的总和 $\mu_{i}$ 在任 何反应中都必须平衡。例如，反应 $e^{+}+e^{-} \leftrightarrow \gamma+\gamma$ 会导致 $\mu_{e}+\mu_{e}=2 \mu_{\gamma}$. 在我们将研究的非平衡情况下，系统将不会处于化学平衡 状态，我们将不得不求解一个微分方程 $\mu$. 然而，动力学平衡的最大简化特征是这个微分方程将是一个单一的常微分方程，而不是方程的 非常复杂的形式。(4.1)。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
