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热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化，以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Additivity of Entropy

Here, we revisit the entropy [cf. (1.6)] and temperature [cf. (1.9)] defined in Section $1.1$ for the case of Hamiltonian (2.3). For $\epsilon=0$, the difference with the definitions in Section $1.1$ is that the single index $n$ is now replaced by the double indices $\mathrm{nm}$ [see (2.14) and (2.15)].

For $\epsilon=0$ in (2.3), the indices ‘ $S$ ‘ and ‘ $B$ ‘ label the separate, isolated system and bath. The following relations hold between the quantities pertaining to the separate system and bath and those of the system-plus-bath compound (2.3) for $\epsilon=0$ :
$$
\begin{gathered}
E_{\mathrm{S}}(E):=E-E_{\mathrm{B}}(E) \
\mathcal{S}(E)=\mathcal{S}{\mathrm{B}}\left(E{\mathrm{B}}(E)\right)+\mathcal{S}{\mathrm{S}}\left(E{\mathrm{S}}(E)\right) \
T(E)=T_{\mathrm{B}}\left(E_{\mathrm{B}}(E)\right)=T_{\mathrm{S}}\left(E_{\mathrm{S}}(E)\right)
\end{gathered}
$$
These relations are asymptotically exact in the thermodynamic limit $f_{\mathrm{B}} \rightarrow \infty$.
In other words, in the limit of zero coupling the entropies of the system-plusbath complex are additive, provided the sum $\mathcal{S}{\mathrm{B}}\left(E^{\prime}\right)+\mathcal{S}{\mathrm{S}}\left(E-E^{\prime}\right)$ is maximized. The consequence is that all three temperatures in Eq. (2.23) are identical, that is, the equilibrium condition (or zeroth law of thermodynamics).

For low-dimensional systems it is appropriate to resort to the von Neumann (VN) entropy
$$
\mathcal{S}{\mathrm{VN}}=-k{\mathrm{B}} \operatorname{Tr}(\rho \ln \rho),
$$
which is an invariant of the density operator $\rho$. The $\mathrm{VN}$ entropy is nonnegative and bounded from below by the Shannon entropy
$$
\mathcal{S}{\mathrm{SH}}=-k{\mathrm{B}} \sum_{n} p_{n} \ln p_{n} .
$$
The VN entropy is maximized for a fixed mean energy $E=\operatorname{Tr}(\rho H)$ in the Gibbs state.

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Thermal Equilibrium and Correlation Functions

The description of quantum baths and their interactions with smaller quantum systems cannot be accomplished by detailed solutions of their Schrödinger or Liouville equations on account of their huge dimensionalities, up to infinity in the thermodynamic limit. The alternative in this limit is to resort to Kubo’s multi-time correlation (or Green) functions of the pertinent observables in the equilibrium state. In this book we shall only consider two-time correlations (autocorrelation functions) of the same observable, $\epsilon \tilde{H}{\mathrm{SB}} \sim \hat{S} \cdot \hat{B}$, where $\hat{S}$ and $\hat{B}$ are operators pertaining to the system and the bath, respectively. These functions are $$ \Phi(t, 0)=\epsilon^{2} \operatorname{Tr}\left[\rho \tilde{H}{\mathrm{SB}}(t) \tilde{H}{\mathrm{SB}}(0)\right], $$ where $\tilde{H}{\mathrm{SB}}(t)$ is the interaction-picture form of $\tilde{H}_{\mathrm{SB}}$ and $\rho$ is the density matrix of the equilibrium state of system $\mathrm{S}$.

Hereafter, we shall simplify the notation to $\Phi(t)$. Assuming that the Hamiltonian spectrum is discrete, $\Phi(t)$ is a quasi-periodic function that after sufficient time returns arbitrarily close to its initial value, thus satisfying the quantum analog of classical Poincaré recurrences.

However, if the description of $\rho$ as a Gibbs state at temperature $T$ is valid, the functions $\Phi(t)$ can be extended by analytic continuation to the complex domain $(t \rightarrow z)$, where they satisfy the following Kubo-Martin-Schwinger (KMS) condition at any time,
$$
\Phi(-t)=\Phi(t-i \hbar \beta),
$$
with $\beta=1 /\left(k_{\mathrm{B}} T\right)$ being the inverse temperature. As shown in Chapter 4 , for typical bosonic or fermionic quantum baths, the KMS condition implies the decay of $\Phi(t)$ to zero as $t \rightarrow \infty$ (i.e., to the loss of recurrences and irreversibility). Explicitly, for a bosonic or fermionic bath,
$$
\Phi(t) \propto \int_{-\infty}^{+\infty} d \omega e^{-i \omega t}{[1-(\mp) n(\omega)] \theta(\omega)+n(|\omega|) \theta(-\omega)}
$$

热力学代写

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Additivity of Entropy

在这里，我们重新审视熵 [cf. (1.6)] 和温度 [cf. (1.9)] 定义在第 $1.1$ 对于哈密顿量（2.3) 的情况。为了 $\epsilon=0$, 与节中定义的区别 $1.1$ 是那个单一的索引 $n$ 现在被双索引 取代nm[见 (2.14) 和 (2.15)]。
为了 $\epsilon=0$ 在 (2.3) 中，索引 ‘ $S$ ‘ 和 ‘ $B^{\prime}$ 标记单独的、隔离的系统和浴缸。以下关系适用于单独系统和浴的量与系统加浴复合 (2.3) 的量之间 $\epsilon=0$ :
$$
E_{\mathrm{S}}(E):=E-E_{\mathrm{B}}(E) \mathcal{S}(E)=\mathcal{S B}(E \mathrm{~B}(E))+\mathcal{S S}(E \mathrm{~S}(E)) T(E)=T_{\mathrm{B}}\left(E_{\mathrm{B}}(E)\right)=T_{\mathrm{S}}\left(E_{\mathrm{S}}(E)\right)
$$
这些关系在热力学极限中是渐近精确的 $f_{\mathrm{B}} \rightarrow \infty$.
换句话说，在零耦合的极限中，系统-plusbath 复合体的熵是相加的，前提是总和 $\mathcal{S B}\left(E^{\prime}\right)+\mathcal{S} \mathrm{S}\left(E-E^{\prime}\right)$ 被最大化。结果是方程式中的所有三个温度。(2.23) 是 相同的，即平衡条件 (或热力学第零定律)。
对于低维系统，使用冯诺依曼 $(\mathrm{VN})$ 樀是合适的
$$
\mathcal{S V N}=-k \mathrm{~B} \operatorname{Tr}(\rho \ln \rho),
$$
这是密度算子的不变量 $\rho$. 这 $\mathrm{VN}$ 熵是非负的，并且从下方以香农熵为界
$$
\mathcal{S S H}=-k \mathrm{~B} \sum_{n} p_{n} \ln p_{n} .
$$
对于固定的平均能量， $\mathrm{VN}$ 熵最大化 $E=\operatorname{Tr}(\rho H)$ 在吉布斯州。

物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Thermal Equilibrium and Correlation Functions

量子浴及其与较小量子系统的相互作用的描述无法通过薛定谔或刘维尔方程的详细解来完成，因为它们的维数很大，在热力学极限中可达无穷大。此限制中的替 代方法是诉诸 Kubo 的平衡状态下相关可观测量的多时间相关 (或格林) 函数。在本书中，我们将只考虑同一可观䕓量的两次相关（自相关函数)， $\epsilon \tilde{H} \mathrm{SB} \sim \hat{S} \cdot \hat{B}$ ，在哪里 $\hat{S}$ 和 $\hat{B}$ 分别是与系统和浴有关的操作员。这些功能是
$$
\Phi(t, 0)=\epsilon^{2} \operatorname{Tr}[\rho \tilde{H} \operatorname{SB}(t) \tilde{H} \operatorname{SB}(0)],
$$
在哪里 $\tilde{H} \mathrm{SB}(t)$ 是交互图片的形式 $\tilde{H}{\mathrm{SB}}$ 和 $\rho$ 是系统平衡态的密度矩阵 $\mathrm{S}$. 下面，我们将符号简化为 $\Phi(t)$. 假设哈密顿谱是离散的， $\Phi(t)$ 是一个准周期函数，在足够长的时间后任意返回接近其初始值，从而满足经典庞加莱递归的量子模 拟。 但是，如果描述 $\rho$ 作为温度下的吉布斯状态 $T$ 有效，函数 $\Phi(t)$ 可以通过解析延拓扩展到复域 $(t \rightarrow z)$ ，其中它们随时满足以下 Kubo-Martin-Schwinger (KMS) 条 件， $$ \Phi(-t)=\Phi(t-i \hbar \beta), $$ 和 $\beta=1 /\left(k{\mathrm{B}} T\right)$ 是逆温度。如第 4 章所示，对于典型的玻色子或费米子量子浴，KMS 条件意味着 $\Phi(t)$ 归零为 $t \rightarrow \infty$ (即，对复发和不可逆性的损失) 。明确 地，对于玻色子或费米子浴，
$$
\Phi(t) \propto \int_{-\infty}^{+\infty} d \omega e^{-i \omega t}[1-(\mp) n(\omega)] \theta(\omega)+n(|\omega|) \theta(-\omega)
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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