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## 物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Weak Coupling in the Adiabatic Limit

If $\epsilon$ in (2.3) is time dependent, then the density operator obeys the Liouville-von Neumann equation
$$i \hbar \dot{\rho}(t)=[H(\epsilon(t)), \rho(t)] .$$
In the case of slow (quasi-static) parameter changes, the adiabatic theorem can be invoked, yielding
$$\rho(t)=\sum_{m, n} \rho_{m n}(0) e^{-i \int_{0}^{t} \omega_{m n}(\epsilon(s)) d s}|m(\epsilon(t))\rangle\langle n(\epsilon(t))|$$
where $\omega_{m n}(\epsilon)=\left[E_{m}(\epsilon)-E_{n}(\epsilon)\right] / \hbar, E_{n}(\epsilon)$ and $|n(\epsilon)\rangle$ being the eigenvalues and eigenvectors of $H(\epsilon)$. Here we have tacitly assumed the case of nondegenerate energy levels.

Specifically, let us assume that $\epsilon(t)$ in (2.8) is adiabatically slowly switched off to zero and remains zero for all later times $t$ until infinity. Then, the time average of the density operator in $(2.8)$ is governed by the infinitely long time period with $\epsilon(t)=0$, that is,
$$\overline{\rho(t)}=\sum_{n} \rho_{n n}(0)|n(0)\rangle\langle n(0)| .$$
The weak-coupling condition then implies that the time-averaged expectation values are practically indistinguishable from those obtained from (2.9), that is,
$$\overline{\langle X\rangle(t)}=\sum_{n} p_{n}\langle n(0)|X| n(0)\rangle,$$
where $p_{n}:=\rho_{n n}(0)=\langle n(\epsilon(0))|\rho(0)| n(\epsilon(0))\rangle$ are the level populations of the system at $t=0$ [cf. (1.16)]. Namely, although the true system-bath coupling strength $\epsilon$ is finite, we can assume the zero-coupling limit for the time-averaged expectation values.

## 物理代写|热力学代写thermodynamics代考|System–Bath Separability and Non-separability

In the limit of vanishing coupling strength $\epsilon \rightarrow 0,|n\rangle_{\mathrm{S}}$ and $E_{n}^{\mathrm{S}}$ that denote the eigenvectors and eigenvalues of $H_{\mathrm{S}}$, respectively, and $|m\rangle_{\mathrm{B}}$ and $E_{m}^{B}$ that denote those of $H_{\mathrm{B}}$ [cf. (2.3)] become separable,
\begin{aligned} |n m\rangle &:=|n\rangle_{\mathrm{S}}|m\rangle_{\mathrm{B}}, \ E_{n m} &:=E_{n}^{\mathrm{S}}+E_{m}^{B} . \end{aligned}
Accordingly, the $\epsilon$-independent level populations of the system-bath complex are denoted by $p_{n m}$. For observables of the form (2.4), the time-averaged expectation value (2.10) can then be rewritten as
$$\begin{gathered} \overline{\langle X\rangle(t)}=\sum_{m n} p_{n m} \mathrm{~S}\left\langle n\left|X^{\mathrm{S}}\right| n\right\rangle_{\mathrm{S}}=\sum_{n} p_{n}^{\mathrm{S}} \mathrm{s}\left\langle n\left|X^{\mathrm{S}}\right| n\right\rangle_{\mathrm{S}}, \ p_{n}^{\mathrm{S}}:=\sum_{m} p_{n m} . \end{gathered}$$
We may rewrite the $p_{n m}$ according to $(2.11)$ as
$$p_{n m}=h_{\epsilon}\left(E_{n m}(\epsilon)\right)+\delta p_{n m} .$$
One can then conclude (cf. Sec. 1.2.1) that for any $n$, the fluctuation $\delta p_{n m}$ with the bath index $m=0,1,2, \ldots$ is unbiased, that is,
$$\sum_{m} p_{n m}=\sum_{m} h_{\epsilon}\left(E_{n m}(\epsilon)\right) .$$

# 热力学代写

## 物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Weak Coupling in the Adiabatic Limit

$$i \hbar \dot{\rho}(t)=[H(\epsilon(t)), \rho(t)] .$$

$$\rho(t)=\sum_{m, n} \rho_{m n}(0) e^{-i \int_{0}^{t} \omega_{m n}(\epsilon(s)) d s}|m(\epsilon(t))\rangle\langle n(\epsilon(t))|$$

$$\overline{\rho(t)}=\sum_{n} \rho_{n n}(0)|n(0)\rangle\langle n(0)| .$$

$$\overline{\langle X\rangle(t)}=\sum_{n} p_{n}\langle n(0)|X| n(0)\rangle,$$

## 物理代写|热力学代写thermodynamics代考|System–Bath Separability and Non-separability

$$|n m\rangle:=|n\rangle_{\mathrm{S}}|m\rangle_{\mathrm{B}}, E_{n m} \quad:=E_{n}^{\mathrm{S}}+E_{m}^{B} .$$

$$\overline{\langle X\rangle(t)}=\sum_{m n} p_{n m} \mathrm{~S}\left\langle n\left|X^{\mathrm{S}}\right| n\right\rangle_{\mathrm{S}}=\sum_{n} p_{n}^{\mathrm{S}} \mathrm{\textrm {S }}\left\langle n\left|X^{\mathrm{S}}\right| n\right\rangle_{\mathrm{S}}, p_{n}^{\mathrm{S}}:=\sum_{m} p_{n m} .$$

$$p_{n m}=h_{\epsilon}\left(E_{n m}(\epsilon)\right)+\delta p_{n m}$$

$$\sum_{m} p_{n m}=\sum_{m} h_{\epsilon}\left(E_{n m}(\epsilon)\right)$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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