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热力学是对热、功、温度和能量之间关系的研究。热力学定律描述了一个系统中的能量如何变化,以及该系统是否能对其周围环境进行有用的工作。
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物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Weak Coupling in the Adiabatic Limit
If $\epsilon$ in (2.3) is time dependent, then the density operator obeys the Liouville-von Neumann equation
$$
i \hbar \dot{\rho}(t)=[H(\epsilon(t)), \rho(t)] .
$$
In the case of slow (quasi-static) parameter changes, the adiabatic theorem can be invoked, yielding
$$
\rho(t)=\sum_{m, n} \rho_{m n}(0) e^{-i \int_{0}^{t} \omega_{m n}(\epsilon(s)) d s}|m(\epsilon(t))\rangle\langle n(\epsilon(t))|
$$
where $\omega_{m n}(\epsilon)=\left[E_{m}(\epsilon)-E_{n}(\epsilon)\right] / \hbar, E_{n}(\epsilon)$ and $|n(\epsilon)\rangle$ being the eigenvalues and eigenvectors of $H(\epsilon)$. Here we have tacitly assumed the case of nondegenerate energy levels.
Specifically, let us assume that $\epsilon(t)$ in (2.8) is adiabatically slowly switched off to zero and remains zero for all later times $t$ until infinity. Then, the time average of the density operator in $(2.8)$ is governed by the infinitely long time period with $\epsilon(t)=0$, that is,
$$
\overline{\rho(t)}=\sum_{n} \rho_{n n}(0)|n(0)\rangle\langle n(0)| .
$$
The weak-coupling condition then implies that the time-averaged expectation values are practically indistinguishable from those obtained from (2.9), that is,
$$
\overline{\langle X\rangle(t)}=\sum_{n} p_{n}\langle n(0)|X| n(0)\rangle,
$$
where $p_{n}:=\rho_{n n}(0)=\langle n(\epsilon(0))|\rho(0)| n(\epsilon(0))\rangle$ are the level populations of the system at $t=0$ [cf. (1.16)]. Namely, although the true system-bath coupling strength $\epsilon$ is finite, we can assume the zero-coupling limit for the time-averaged expectation values.
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|System–Bath Separability and Non-separability
In the limit of vanishing coupling strength $\epsilon \rightarrow 0,|n\rangle_{\mathrm{S}}$ and $E_{n}^{\mathrm{S}}$ that denote the eigenvectors and eigenvalues of $H_{\mathrm{S}}$, respectively, and $|m\rangle_{\mathrm{B}}$ and $E_{m}^{B}$ that denote those of $H_{\mathrm{B}}$ [cf. (2.3)] become separable,
$$
\begin{aligned}
|n m\rangle &:=|n\rangle_{\mathrm{S}}|m\rangle_{\mathrm{B}}, \
E_{n m} &:=E_{n}^{\mathrm{S}}+E_{m}^{B} .
\end{aligned}
$$
Accordingly, the $\epsilon$-independent level populations of the system-bath complex are denoted by $p_{n m}$. For observables of the form (2.4), the time-averaged expectation value (2.10) can then be rewritten as
$$
\begin{gathered}
\overline{\langle X\rangle(t)}=\sum_{m n} p_{n m} \mathrm{~S}\left\langle n\left|X^{\mathrm{S}}\right| n\right\rangle_{\mathrm{S}}=\sum_{n} p_{n}^{\mathrm{S}} \mathrm{s}\left\langle n\left|X^{\mathrm{S}}\right| n\right\rangle_{\mathrm{S}}, \
p_{n}^{\mathrm{S}}:=\sum_{m} p_{n m} .
\end{gathered}
$$
We may rewrite the $p_{n m}$ according to $(2.11)$ as
$$
p_{n m}=h_{\epsilon}\left(E_{n m}(\epsilon)\right)+\delta p_{n m} .
$$
One can then conclude (cf. Sec. 1.2.1) that for any $n$, the fluctuation $\delta p_{n m}$ with the bath index $m=0,1,2, \ldots$ is unbiased, that is,
$$
\sum_{m} p_{n m}=\sum_{m} h_{\epsilon}\left(E_{n m}(\epsilon)\right) .
$$

热力学代写
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|Weak Coupling in the Adiabatic Limit
如果 $\epsilon$ 在 (2.3) 中是时间相关的,那么密度算子服从 Liouville-von Neumann 方程
$$
i \hbar \dot{\rho}(t)=[H(\epsilon(t)), \rho(t)] .
$$
在缓慢 (准静态) 参数变化的情况下,可以调用绝热定理,得到
$$
\rho(t)=\sum_{m, n} \rho_{m n}(0) e^{-i \int_{0}^{t} \omega_{m n}(\epsilon(s)) d s}|m(\epsilon(t))\rangle\langle n(\epsilon(t))|
$$
在哪里 $\omega_{m n}(\epsilon)=\left[E_{m}(\epsilon)-E_{n}(\epsilon)\right] / \hbar, E_{n}(\epsilon)$ 和 $|n(\epsilon)\rangle$ 是的特征值和特征向量 $H(\epsilon)$. 在这里,我们默认了非简并能级的情况。
具体来说,让我们假设 $\epsilon(t)$ 在 (2.8) 中是绝热缓慢地关闭到零,并在以后的所有时间保持为零 $t$ 直到无穷大。然后,密度算子的时间平均值 $(2.8)$ 由无限长的时间段 支配 $\epsilon(t)=0$ , 那是,
$$
\overline{\rho(t)}=\sum_{n} \rho_{n n}(0)|n(0)\rangle\langle n(0)| .
$$
然后,弱㻦合条件意味着时间平均期望值与从 (2.9) 获得的期望值实际上无法区分,即
$$
\overline{\langle X\rangle(t)}=\sum_{n} p_{n}\langle n(0)|X| n(0)\rangle,
$$
在哪里 $p_{n}:=\rho_{n n}(0)=\langle n(\epsilon(0))|\rho(0)| n(\epsilon(0))\rangle$ 是系统的水平人口在 $t=0$ [参见。(1.16)]。即,虽然真正的系统-浴㬂合强度 $\epsilon$ 是有限的,我们可以假设时间平均期 望值的零耦合限制。
物理代写|热力学代写thermodynamics代考|System–Bath Separability and Non-separability
在耦合强度消失的极限 $\epsilon \rightarrow 0,|n\rangle_{\mathrm{S}}$ 和 $E_{n}^{\mathrm{S}}$ 表示的特征向量和特征值 $H_{\mathrm{S}}$ ,分别和 $|m\rangle_{\mathrm{B}}$ 和 $E_{m}^{B}$ 表示那些 $H_{\mathrm{B}}$ [参见。(2.3)] 变得可分离,
$$
|n m\rangle:=|n\rangle_{\mathrm{S}}|m\rangle_{\mathrm{B}}, E_{n m} \quad:=E_{n}^{\mathrm{S}}+E_{m}^{B} .
$$
因此, $\epsilon$-系统浴复合体的独立水平群体表示为 $p_{n m}$. 对于形式 (2.4) 的可观察量,时间平均期望值 (2.10) 可以重写为
$$
\overline{\langle X\rangle(t)}=\sum_{m n} p_{n m} \mathrm{~S}\left\langle n\left|X^{\mathrm{S}}\right| n\right\rangle_{\mathrm{S}}=\sum_{n} p_{n}^{\mathrm{S}} \mathrm{\textrm {S }}\left\langle n\left|X^{\mathrm{S}}\right| n\right\rangle_{\mathrm{S}}, p_{n}^{\mathrm{S}}:=\sum_{m} p_{n m} .
$$
我们可以重写 $p_{n m}$ 根据(2.11)作为
$$
p_{n m}=h_{\epsilon}\left(E_{n m}(\epsilon)\right)+\delta p_{n m}
$$
然后可以得出结论(参见第 $1.2 .1$ 节) ,对于任何 $n$ ,波动 $\delta p_{n m}$ 与沐浴指数 $m=0,1,2, \ldots$ 是无偏的,也就是说,
$$
\sum_{m} p_{n m}=\sum_{m} h_{\epsilon}\left(E_{n m}(\epsilon)\right)
$$

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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
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非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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