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理论力学主要研究物体的力学性能及运动规律，是力学的基础学科，由静力学、运动学和动力学三大部分组成。也有人认为运动学是动力学的一部分，而提出二分法。
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物理代写|理论力学代写theoretical mechanics代考|Error Propagation
We now start from $K$ physical quantities $x_{k}$ with average errors $\sigma_{k}$ and consider the derived quantity $y=f\left(x_{1}, \ldots, x_{K}\right)$. Here all the quantities $x_{k}$ will be independent of each other. What is then the average error in $y$ ?
To begin with, the error $\varepsilon$ in $f\left(x_{1}, \ldots, x_{K}\right)$ is to first order
$$
\varepsilon=\sum_{k=1}^{K} \frac{\partial f}{\partial x_{k}} \varepsilon_{k}
$$
and hence
$$
\begin{aligned}
\sigma^{2} &=\left\langle\varepsilon^{2}\right\rangle \
&=\int \cdots \int_{-\infty}^{\infty}\left(\sum_{k=1}^{K} \frac{\partial f}{\partial x_{k}} \varepsilon_{k}\right)^{2} \rho\left(\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{K}\right) \mathrm{d} \varepsilon_{1} \cdots \mathrm{d} \varepsilon_{K} \
&=\left\langle\sum_{k=1}^{K} \frac{\partial f}{\partial x_{k}} \varepsilon_{k} \cdot \sum_{l=1}^{K} \frac{\partial f}{\partial x_{l}} \varepsilon_{l}\right\rangle=\sum_{k, l=1}^{K} \frac{\partial f}{\partial x_{k}} \frac{\partial f}{\partial x_{l}}\left\langle\varepsilon_{k} \varepsilon_{l}\right\rangle .
\end{aligned}
$$
Since the quantities $x_{k}$ and $x_{l}$ should not depend upon each other, they are not correlated to each other (the property $x_{l}$ does not care how large $x_{k}$ is – correlations will be investigated in more detail in Sect. 6.1.5). With $\left\langle\varepsilon_{k}^{2}\right\rangle=\sigma_{k}^{2}$ this leads to
$$
\left\langle\varepsilon_{k} \varepsilon_{l}\right\rangle=\left{\begin{array}{cc}
\left\langle\varepsilon_{k}\right\rangle\left\langle\varepsilon_{l}\right\rangle & \text { for } k \neq l, \
\sigma_{k}{ }^{2} & \text { for } k=l .
\end{array}\right.
$$
Here, $\left\langle\varepsilon_{k}\right\rangle=0$ holds for all $k$ (and $l$ ). Therefore, the law of error propagation follows:
$$
\sigma^{2}=\sum_{k=1}^{K}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\right)^{2} \sigma_{k}^{2} .
$$
In the proof, no normally distributed errors were necessary -thus other distributions with the properties $\left\langle\varepsilon_{k}^{0}\right\rangle=1,\left\langle\varepsilon_{k}^{1}\right\rangle=0$, and $\left\langle\varepsilon_{k}^{2}\right\rangle=\sigma_{k}^{2}$ deliver the error propagation law and with it the basis for all further proofs in this section. In particular, we may invoke this law for repeated measurements of the same quantity, as we shall now do.
物理代写|理论力学代写theoretical mechanics代考|Finite Measurement Series and Their Average Error
If we consider the expression
$$
\langle x\rangle \approx \bar{x} \equiv \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} x_{n}
$$
as $\bar{x}=f\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right)$, then we can use it in the law of error propagation and deduce that $\partial f / \partial x_{n}=N^{-1}$. Hence, all single measurements enter into the error estimate with the same weight-as already for the estimated value $x_{0}$.
In order to determine the error $\sigma_{n}$, we think of an average over several measurement series, each with $N$ measurements. In this way, we can introduce the average error of the single measurement and find that all single measurements have the same average error $\Delta x$. Therefore, the law of error propagation for $N$ equal terms $N^{-2}(\Delta x)^{2}$ delivers
$$
(\Delta \bar{x})^{2}=N \cdot N^{-2}(\Delta x)^{2}=\frac{(\Delta x)^{2}}{N}
$$
The average error $\Delta \bar{x}$ in the mean value of the measurement series is thus the $\sqrt{N}$ th part of the average error in a single measurement: the more often measurements are made, the more accurate is the determination of the mean value. However, because of the square root factors, the accuracy can be increased only rather slowly.
Since we do not know the true value $x_{0}$ itself, but only its approximation $\bar{x}$, we still have to account for its uncertainty $\Delta \bar{x}$ in order to determine the average error of the single measurement:
$$
(\Delta x)^{2}=\overline{\left(x-x_{0}\right)^{2}}=\overline{\left(x-\bar{x}+\bar{x}-x_{0}\right)^{2}}=\overline{(x-\bar{x})^{2}}+2 \overline{(x-\bar{x})}\left(\bar{x}-x_{0}\right)+\left(\bar{x}-x_{0}\right)^{2} .
$$
Here, $\overline{x-\bar{x}}=\bar{x}-\bar{x}=0$ and thus $\overline{(x-\bar{x})^{2}}=\overline{x^{2}}-\bar{x}^{2}$ is rather easy to evaluate. For $\left(\bar{x}-x_{0}\right)^{2}$, we take $(\Delta \bar{x})^{2}=(\Delta x)^{2} / N$. Hence, because $1-N^{-1}=N^{-1}(N-1)$, the average error of the single measurement is
$$
(\Delta x)^{2}=\frac{N}{N-1} \overline{(x-\bar{x})^{2}},
$$
as claimed previously (see p. 46). And so we have the announced proof. For sufficiently large $N$, we may write $(\Delta x)^{2}=\overline{x^{2}}-\bar{x}^{2}$. The expression $\Delta x$ is referred to as the uncertainty of $x$ in quantum theory (see p. 275).
物理代写|理论力学代写theoretical mechanics代考|Error Analysis
How should we modify the result ohtained so far if the same quantity is measured in different ways: first as $x_{1} \pm \Delta x_{1}$, then as $x_{2} \pm \Delta x_{2}$, and so on? What is then the most probable value for $x_{0}$, and what average error does it have?
If the readings of the measurement were taken with the same instrument and equally carefully, the difference in the average errors stems from values $x_{n}$ from measurement series of different lengths. According to the last section, the average error of every single measurement in such a measurement series should be equal to $\Delta x_{n} \sqrt{N_{n}}$, and this independently of $n$ in each of the measurement series. Therefore, the mentioned values $x_{n}$ should contribute with the weight
$$
\rho_{n}=\frac{N_{n}}{\sum_{k} N_{k}}=\frac{1}{\left(\Delta x_{n}\right)^{2}} / \sum_{k} \frac{1}{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}},
$$
whence $\bar{x}=\sum_{n} \rho_{n} x_{n}$ is the properly weighted mean value. The error propagation law delivers
$$
\begin{aligned}
\sigma^{2} &=\sum_{n} \rho_{n}^{2} \sigma_{n}^{2}=\frac{1}{\left(\sum_{k}\left(\Delta x_{k}\right)^{-2}\right)^{2}} \sum_{n} \frac{1}{\left(\Delta x_{n}\right)^{4}}\left(\Delta x_{n}\right)^{2}=\frac{\sum_{n}\left(\Delta x_{n}\right)^{-2}}{\left(\sum_{k}\left(\Delta x_{k}\right)^{-2}\right)^{2}} \
&=\frac{1}{\sum_{n}\left(\Delta x_{n}\right)^{-2}} \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{(\Delta x)^{2}}=\sum_{n} \frac{1}{\left(\Delta x_{n}\right)^{2}}
\end{aligned}
$$
The more detailed the readings of the measurement, the more important they are for the mean value and for the (un)certainty of the results. These considerations are only then valid without restriction, if the values are compatible with each other within their error limits. If they lie further apart from each other, then we have to take
$$
(\Delta x)^{2}=\frac{1}{N-1} \frac{1}{\sum_{n}\left(\Delta x_{n}\right)^{-2}} \sum_{n} \frac{\left(x_{n}-\bar{x}\right)^{2}}{\left(\Delta x_{n}\right)^{2}}
$$
Note that, if the values $x_{n}$ do not lie within the error limits, then systematic errors may be involved.
Thus, these two equations answer the questions raised in the general case, where measurements are taken with different instruments and different levels of care: to each value $x_{n}$, we must attach the relative weight $1 /\left(\Delta x_{n}\right)^{2}$.
理论力学代考
物理代写|理论力学代写theoretical mechanics代考|Error Propagation
我们现在从K物理量 $x_{k}$ 平均误差 $\sigma_{k}$ 并考虑派生数量 $y=f\left(x_{1}, \ldots, x_{K}\right)$. 这里所有的数量 $x_{k}$ 将相互独立。那么平均误差是多少 $y$ ?
首先，错误 $\varepsilon$ 在 $f\left(x_{1}, \ldots, x_{K}\right)$ 是第一顺序
$$
\varepsilon=\sum_{k=1}^{K} \frac{\partial f}{\partial x_{k}} \varepsilon_{k}
$$
因此
$$
\sigma^{2}=\left\langle\varepsilon^{2}\right\rangle \quad=\cdots \int_{-\infty}^{\infty}\left(\sum_{k=1}^{K} \frac{\partial f}{\partial x_{k}} \varepsilon_{k}\right)^{2} \rho\left(\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{K}\right) \mathrm{d} \varepsilon_{1} \cdots \mathrm{d} \varepsilon_{K}=\left\langle\sum_{k=1}^{K} \frac{\partial f}{\partial x_{k}} \varepsilon_{k} \cdot \sum_{l=1}^{K} \frac{\partial f}{\partial x_{l}} \varepsilon_{l}\right\rangle=\sum_{k, l=1}^{K} \frac{\partial f}{\partial x_{k}} \frac{\partial f}{\partial x_{l}}\left\langle\varepsilon_{k} \varepsilon_{l}\right\rangle
$$
由于数量 $x_{k}$ 和 $x_{l}$ 不应该相互依赖，它们彼此不相关（属性 $x_{l}$ 不在乎有多大 $x_{k}$ 是 – 相关性将在 Sect 中更详细地研究。6.1.5)。和 $\left\langle\varepsilon_{k}^{2}\right\rangle=\sigma_{k}^{2}$ 这导致
$\$ \$$
$\mathrm{~ V e f t ~ \ l a n g l e \ v a r e p s i l o n _ { k } ~}$
$$
\left\langle\varepsilon_{k}\right\rangle\left\langle\varepsilon_{l}\right\rangle \quad \text { for } k \neq l, \sigma_{k}^{2} \quad \text { for } k=l .
$$
正确的。
$$
\text { Here, } \$\left\langle\varepsilon_{k}\right\rangle=0 \$ \text { holds forall } \$ k \$(\text { and } \$ 1 \$) \text {. There fore, thelawo ferrorpropagation follows : }
$$
$\backslash$ sigma^ ${2}=\backslash$ sum_{ ${k=1}^{\wedge}{K} \backslash$ eft $\left(\backslash\right.$ frac ${\backslash$ partial f $} \wedge$ partial $\left.x_{-}{k}\right} \backslash$ right $)^{\wedge}{2} \backslash$ sigma_{k}^{${2}$ 。 $\$ \$$
在证明中，不需要正态分布的错误 – 因此其他具有属性的分布 $\left\langle\varepsilon_{k}^{0}\right\rangle=1,\left\langle\varepsilon_{k}^{1}\right\rangle=0$ ，和 $\left\langle\varepsilon_{k}^{2}\right\rangle=\sigma_{k}^{2}$ 提供错误传播定律，并以此作为本节所 有进一步证明的基础。特别是，我们可以援引这个定律来重复测量相同的量，就像我们现在要做的那样。
物理代写|理论力学代写theoretical mechanics代考|Finite Measurement Series and Their Average Error
如果我们考虑表达式
$$
\langle x\rangle \approx \bar{x} \equiv \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} x_{n}
$$
作为 $\bar{x}=f\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right)$ ，那么我们可以在误差传播定律中使用它并推导出 $\partial f / \partial x_{n}=N^{-1}$. 因此，所有单次测量都以与估计值相同的权 重进入误差估计 $x_{0}$.
为了确定错误 $\sigma_{n}$ ，我们考虑几个测量系列的平均值，每个系列都有 $N$ 测量。这样，我们可以引入单次测量的平均误差，发现所有单次测 量的平均误差相同 $\Delta x$. 因此，误差传播定律为 $N$ 同等条件 $N^{-2}(\Delta x)^{2}$ 交付
$$
(\Delta \bar{x})^{2}=N \cdot N^{-2}(\Delta x)^{2}=\frac{(\Delta x)^{2}}{N}
$$
平均误差 $\Delta \bar{x}$ 因此，测量系列的平均值是 $\sqrt{N}$ 单次测量的平均误差的第部分：测量的次数越多，平均值的确定就越准确。然而，由于平方 根因素，准确度只能相当缓慢地提高。
因为我们不知道真正的价值 $x_{0}$ 本身，但只是它的近似值 $\bar{x}$ ，我们仍然要考虑它的不确定性 $\Delta \bar{x}$ 为了确定单次测量的平均误差:
$$
(\Delta x)^{2}=\overline{\left(x-x_{0}\right)^{2}}=\overline{\left(x-\bar{x}+\bar{x}-x_{0}\right)^{2}}=\overline{(x-\bar{x})^{2}}+2 \overline{(x-\bar{x})}\left(\bar{x}-x_{0}\right)+\left(\bar{x}-x_{0}\right)^{2} .
$$
这里， $\overline{x-\bar{x}}=\bar{x}-\bar{x}=0$ 因此 $\overline{(x-\bar{x})^{2}}=\overline{x^{2}}-\bar{x}^{2}$ 比较容易评估。为了 $\left(\bar{x}-x_{0}\right)^{2}$ ，我们采取 $(\Delta \bar{x})^{2}=(\Delta x)^{2} / N$. 因此，因为 $1-N^{-1}=N^{-1}(N-1)$ ，单次测量的平均误差为
$$
(\Delta x)^{2}=\frac{N}{N-1} \overline{(x-\bar{x})^{2}}
$$
如前所述 (见第 46 页)。所以我们有公布的证据。对于足够大 $N$ ，我们可以写 $(\Delta x)^{2}=\overline{x^{2}}-\bar{x}^{2}$. 表达方式 $\Delta x$ 被称为不确定性 $x$ 在量子 理论中 (见第 275 页)。
物理代写|理论力学代写theoretical mechanics代考|Error Analysis
如果以不同的方式测量相同的量，我们应该如何修改迄今为止得到的结果：首先是 $x_{1} \pm \Delta x_{1}$ ，然后作为 $x_{2} \pm \Delta x_{2}$ ，等等? 那么最可能 的价值是多少 $x_{0}$ ，它的平均误差是多少?
如果测量读数是使用相同的仪器并同样小心地获取的，则平均误差的差异源于数值 $x_{n}$ 来自不同长度的测量系列。根据上一节，这样一个 测量系列中每一次测量的平均误差应等于 $\Delta x_{n} \sqrt{N_{n}}$, 这独立于 $n$ 在每个测量系列中。因此，上述值 $x_{n}$ 应该贡献权重
$$
\rho_{n}=\frac{N_{n}}{\sum_{k} N_{k}}=\frac{1}{\left(\Delta x_{n}\right)^{2}} / \sum_{k} \frac{1}{\left(\Delta x_{k}\right)^{2}},
$$
何处 $\bar{x}=\sum_{n} \rho_{n} x_{n}$ 是适当加权的平均值。误差传播定律提供
$$
\sigma^{2}=\sum_{n} \rho_{n}^{2} \sigma_{n}^{2}=\frac{1}{\left(\sum_{k}\left(\Delta x_{k}\right)^{-2}\right)^{2}} \sum_{n} \frac{1}{\left(\Delta x_{n}\right)^{4}}\left(\Delta x_{n}\right)^{2}=\frac{\sum_{n}\left(\Delta x_{n}\right)^{-2}}{\left(\sum_{k}\left(\Delta x_{k}\right)^{-2}\right)^{2}} \quad=\frac{1}{\sum_{n}\left(\Delta x_{n}\right)^{-2}} \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{(\Delta x)^{2}}=\sum_{n} \frac{1}{\left(\Delta x_{n}\right)^{2}}
$$
测量读数越详细，它们对于平均值和结果的 (不确定性) 越重要。只有当这些值在其错误限制内相互兼容时，这些考虑才无限制地有效。 如果它们彼此相距较远，那么我们必须采取
$$
(\Delta x)^{2}=\frac{1}{N-1} \frac{1}{\sum_{n}\left(\Delta x_{n}\right)^{-2}} \sum_{n} \frac{\left(x_{n}-\bar{x}\right)^{2}}{\left(\Delta x_{n}\right)^{2}}
$$
请注意，如果值 $x_{n}$ 不在误差范围内，则可能涉及系统误差。
因此，这两个方程回答了在一般情况下提出的问题，在这种情况下，使用不同的仪器和不同的注意程度进行测量: 对每个值 $x_{n}$ ，我们必 须附加相对权重 $1 /\left(\Delta x_{n}\right)^{2}$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
