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## 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|The Field Energy

Given an ensemble of electric charges, a displacement of these charges without external intervention corresponds to work done at the expense of the electrostatic energy of the system.

There is a force acting on each charge due to the electric field due to all other charges. Let charge $q_{s}$ be at $\mathbf{x}{s}$ and let $\delta \mathbf{x}{s}$ be the displacement of this charge. The work done is
$$d W=\sum_{s} \mathbf{F}{s} \cdot \delta \mathbf{x}{s}$$
Let $\phi\left(\mathbf{x}{s}\right)$ be the potential at $\mathbf{x}{s}$ due to all the charges except $q_{s}$ :
$$\phi\left(\mathbf{x}{s}\right)=\sum{t \neq s} \frac{q_{t}}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}{t}\right|}$$ Then $$\mathbf{F}{s} \cdot \delta \mathbf{x}{s}=\delta \mathbf{x}{s} \cdot q_{s} \mathbf{E}\left(\mathbf{x}{s}\right)=-\delta \mathbf{x}{s} \cdot \nabla_{s} \sum_{t \neq s} \frac{q_{t} q_{s}}{\left|\mathbf{x}{s}-\mathbf{x}{t}\right|}$$
where $\nabla_{s}=$ gradient operator acting on the coordinate $\mathbf{x}{s}$. Given a function \begin{aligned} f &=f\left(\mathbf{x}{1}, \mathbf{x}{2}, \ldots, \mathbf{x}{s}, \ldots\right) \ \delta f &=\sum_{s} \delta \mathbf{x}{s} \cdot \nabla{s} f \end{aligned}
Then
$$\sum_{s} \mathbf{F}{s} \cdot \delta \mathbf{x}{s}=-\delta \sum_{\substack{s, t \ s \neq t}} \frac{1}{2} \frac{q_{s} q_{t}}{\left|\mathbf{x}{s}-\mathbf{x}{t}\right|}$$
where the factor $1 / 2$ avoids the double counting of each term of the sum.

## 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Earnshaw’s Theorem

A system of charges may have an arrangement for which every charge is in equilibrium under the action of the other charges. Earnshaw’s theorem states that this equilibrium is unstable; that is, if we move a charge, there will be directions in which there is no force tending to push it back. We shall now prove this theorem.
The field energy can be written [see Eq. (2.11.11)]
$$U=\frac{1}{2} \sum_{s} q_{s} \phi\left(\mathbf{x}{s}\right)$$ where $$\phi\left(\mathbf{x}{s}\right)=\sum_{t \neq s} \frac{q_{t}}{\left|\mathbf{x}{s}-\mathbf{x}{t}\right|}$$
Let us displace $q_{s}$ by $\delta \mathbf{x}{s}$ \begin{aligned} \delta U=& \frac{1}{2} \sum{s} q_{s}\left(\delta \mathbf{x}{s} \cdot \nabla{s} \phi\left(\mathbf{x}{s}\right)\right.\ &\left.+\frac{1}{2} \sum{i} \sum_{k} \delta x_{s i} \delta x_{s k} \frac{\partial^{2} \phi\left(\mathbf{x}{s}\right)}{\partial x{s i} \partial x_{s k}}\right) \end{aligned}
where we have neglected the terms to greater than second order in the displacement. If we assume equilibrium,
$$\nabla_{s} \phi\left(\mathbf{x}{s}\right)=-\mathbf{E}\left(\mathbf{x}{s}\right)=0$$
and
$$\delta U=\frac{1}{2} \sum_{s} q_{s}\left(\frac{1}{2} \sum_{i} \sum_{k} \delta x_{s i} \delta x_{s k} \frac{\partial^{2} \phi\left(\mathbf{x}{s}\right)}{\partial x{s i} \partial x_{s k}}\right)$$

# 电磁学代考

## 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|The Field Energy

$$d W=\sum_{s} \mathbf{F} s \cdot \delta \mathbf{x} s$$

$$\phi(\mathbf{x} s)=\sum t \neq s \frac{q_{t}}{|\mathbf{x}-\mathbf{x} t|}$$

$$\mathbf{F} s \cdot \delta \mathbf{x} s=\delta \mathbf{x} s \cdot q_{s} \mathbf{E}(\mathbf{x} s)=-\delta \mathbf{x} s \cdot \nabla_{s} \sum_{t \neq s} \frac{q_{t} q_{s}}{|\mathbf{x} s-\mathbf{x} t|}$$

$$f=f(\mathbf{x} 1, \mathbf{x} 2, \ldots, \mathbf{x} s, \ldots) \delta f \quad=\sum_{s} \delta \mathbf{x} s \cdot \nabla s f$$
$$\sum_{s} \mathbf{F} s \cdot \delta \mathbf{x} s=-\delta \sum_{s, t s \neq t} \frac{1}{2} \frac{q_{s} q_{t}}{|\mathbf{x} s-\mathbf{x} t|}$$

## 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Earnshaw’s Theorem

$$U=\frac{1}{2} \sum_{s} q_{s} \phi(\mathrm{x} s)$$

$$\phi(\mathbf{x} s)=\sum_{t \neq s} \frac{q_{t}}{|\mathbf{x} s-\mathbf{x} t|}$$

$$\delta U=\frac{1}{2} \sum s q_{s}\left(\delta \mathbf{x} s \cdot \nabla s \phi(\mathbf{x} s) \quad+\frac{1}{2} \sum i \sum_{k} \delta x_{s i} \delta x_{s k} \frac{\partial^{2} \phi(\mathbf{x} s)}{\partial x s i \partial x_{s k}}\right)$$

$$\nabla_{s} \phi(\mathbf{x} s)=-\mathbf{E}(\mathbf{x} s)=0$$
$$\delta U=\frac{1}{2} \sum_{s} q_{s}\left(\frac{1}{2} \sum_{i} \sum_{k} \delta x_{s i} \delta x_{s k} \frac{\partial^{2} \phi(\mathbf{x} s)}{\partial x s i \partial x_{s k}}\right)$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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