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物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|Implementation of Boolean Functions
The main task of classical computations is the computation of functions defined in analytical or tabular form. Let us start with Boolean functions that depend on several arguments.
The implementation of Boolean functions with a quantum computer is based on the construction of a quantum circuit that depends on the kind $f(\mathbf{x})$.
We represent the given function using only operations of conjunctions and addition modulo two. This representation is called algebraic normal form (ANF), or ReedMuller expansion, or Zhegalkin polynomial.
The algebraic normal form of the function $f(\mathbf{x})$ is the sum modulo two of several elementary conjunctions of the form
$$
G=K_{1} \oplus K_{2} \oplus \ldots \oplus K_{s}
$$
where $K_{i}, i=1,2, \ldots, s$ are pairwise different monotone elementary conjunctions over some set of variables $\left{x_{1}, \ldots, x_{n}\right}$, where $n=1,2, \ldots$ One of the $K_{i}$ can be a constant one. The greatest of ranks of elementary conjunctions included in the polynomial $G$ is called a degree of the function. It is known that any Boolean function is uniquely represented as a Reed-Muller decomposition accurate to the order of summands in the sum and the order of cofactors in the conjunctions [1].
Note. More strictly, the decomposition (7.1) is called positive polarity ReedMuller expansion.
There are several methods of constructing an algebraic normal form $G(\mathbf{x})$, expressing the given function $f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$. Next, let us consider two of these methods in detail.
- Method of undetermined coefficients.
The Zhegalkin polynomial has the following form:
$$
G\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=g_{0} \wedge 1 \oplus g_{1} \wedge K_{1} \oplus g_{2} \wedge K_{2} \oplus \ldots \oplus g_{2^{n}-1} \wedge K_{2^{n}-1} \text {, (7.2) }
$$
where $K_{i}$ are monotone elementary conjunctions, and coefficients $g_{i} \in \mathbb{B}, i=$ $0,1, \ldots, 2^{n}-1$.
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|To determine the unknown coefficients
To determine the unknown coefficients $g_{0}, g_{1}, \ldots, g_{2^{n}}-1$, we make equations $G\left(\mathbf{x}{j}\right)=f\left(\mathbf{x}{j}\right)$ for all sorts of tuples $\mathbf{x}_{j}$. We get a system of $2^{n}$ equations with $2^{n}$ unknowns; its solution will give coefficients of the polynomial $G(\mathbf{x})$.
- Method of equivalent transformations.
Let us write down an analytic expression for the function $f(\mathbf{x})$ and reduce it with identity transformations using the equality $A \vee B=\overline{(\bar{A} \wedge \bar{B})}$ to an equivalent expression containing only operations from the set ${-, \wedge}$. Next, we exclude negation operations, for which we will replace everywhere expressions of the form $\bar{A}$ with $A \oplus 1$. Then we expand the brackets using the distribution law $A \wedge(B \oplus C)=$ $(A \wedge B) \oplus(A \wedge C)$ and taking into account the equivalencies
$$
\begin{array}{ll}
A \wedge A=A, & A \wedge 1=A \
A \oplus A=0, & A \oplus 0=A
\end{array}
$$
As a result, we get algebraic normal form for the function $f(\mathbf{x})$.
Note that if the function is given by a vector of values, in some cases it is convenient to switch to its disjunctive normal form, and only then to calculate the Reed-Muller expansion using, for example, the method of equivalent transformation.
Example 7.1 Let us build an algebraic normal form for the function $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$, defined by the vector of values $\alpha=(10100100)$.
Solution.
We use the method of undetermined coefficients. The algebraic normal form for the function $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ has the following form:
$$
\begin{aligned}
G\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) &=g_{0} \oplus g_{1} x_{1} \oplus g_{2} x_{2} \oplus g_{3} x_{3} \
& \oplus g_{4} x_{1} x_{2} \oplus g_{5} x_{1} x_{3} \oplus g_{6} x_{2} x_{3} \oplus g_{7} x_{1} x_{2} x_{3}
\end{aligned}
$$
where $g_{0}, \ldots, g_{7} \in \mathbb{B}$.
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|On the basis of the algebraic normal
On the basis of the algebraic normal form, construct a quantum circuit implementing an arbitrary Boolean function $f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)[2,3]$. For this purpose, we use an $n$-qubit register reflecting the input data and a separate qubit $|q\rangle$ for the output of the response. The state of the quantum system is described by the product $\left|x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\rangle|q\rangle$. Qubit $|q\rangle$ takes the initial value $|0\rangle$.
The method of constructing the quantum circuit is as follows [4].
For each of the Reed-Muller expansion summands (7.1), add a NOT gate controlled by qubits with variables from these summands.
- The constant $f=1$ is represented by a standard NOT gate.
- Variables of the type $x_{i}, 1 \leqslant i \leqslant n$, are represented by the inversion NOT controlled by the qubit $\left|x_{i}\right\rangle$.
- Paired conjunctions of the form $x_{i} x_{j}, 1 \leqslant i, j \leqslant n$, are represented by the inversion controlled by two qubits $\left|x_{i}\right\rangle$ and $\left|x_{j}\right|$.
- Triple conjunctions of the form $x_{i} x_{j} x_{k}, 1 \leqslant i, j, k \leqslant n$, are represented by the inversion controlled by three qubits $\left|x_{i}\right\rangle,\left|x_{j}\right\rangle$, and $\left|x_{k}\right\rangle$.
As it is easy to see, using the NOT, CNOT, CCNOT, …, CC…CNOT operations, it is possible to implement an arbitrary Boolean function. The order of applying elementary operations does not matter, because they commutate with each other. This property is derived from the commutability of the addition modulo two operation in Boolean algebra:
$$
\forall x_{1}, x_{2} \in \mathbb{B}\left(x_{1} \oplus x_{2}=x_{2} \oplus x_{1}\right)
$$
Example 7.2 The Boolean function of three variables is defined as $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=$ $x_{1} \vee x_{1} \bar{x}{2} \vee \bar{x}{1} x_{2} \bar{x}{3}$. Build a quantum circuit that implements this function. Solution. First of all, we calculate the algebraic normal form of the function $f\left(x{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ :
$$
G_{f}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} \oplus x_{2} \oplus x_{1} x_{2} \oplus x_{2} x_{3} \oplus x_{1} x_{2} x_{3} .
$$
Thus, to implement $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$, two CNOT elements, one CCNOT element, and one CCCNOT element are required. Their order in the circuit is arbitrary; for certainty, we choose the order defined by the formula ( $7.7)$.
量子计算代考
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|Implementation of Boolean Functions
经典计算的主要任务是以分析或表格形式定义的函数的计算。让我们从依赖多个参数的布尔函数开始。
使用量子计算机实现布尔函数的基础是构建取决于种类的量子电路 $f(\mathbf{x})$.
我们仅使用合取运算和模二加法来表示给定函数。这种表示称为代数范式 (ANF)、ReedMuller 展开或 Zhegalkin 多项式。
函数的代数范式 $f(\mathbf{x})$ 是形式的几个基本连词的模二的和
$$
G=K_{1} \oplus K_{2} \oplus \ldots \oplus K_{s}
$$
在哪里 $K_{i}, i=1,2, \ldots, s$ 是一组变量上的成对不同的单调基本连词 $\backslash 1$ ef t 的分隔符缺失或无法识别
在哪里
$n=1,2, \ldots$ 中的一个 $K_{i}$ 可以是一个常数。多项式中包含的基本连词的最大等级 $G$ 称为函数的度数。众所周知，任何布尔函数都唯一地表 示为 Reed-Muller 分解，精确到和中的被加数的顺序和连词中的辅因子的顺序 [1]。
笔记。更严格地说，分解 (7.1) 称为正极性 ReedMuller 展开。
有几种构造代数范式的方法 $G(\mathbf{x})$ ，表达给定的函数 $f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$. 接下来，让我们详细考虑其中的两种方法。
- 末定系数的方法。
Zhegalkin 多项式具有以下形式:
$$
G\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=g_{0} \wedge 1 \oplus g_{1} \wedge K_{1} \oplus g_{2} \wedge K_{2} \oplus \ldots \oplus g_{2^{n_{-1}}} \wedge K_{2^{n}-1},(7.2)
$$
在哪里 $K_{i}$ 是单调基本连词和系数 $g_{i} \in \mathbb{B}, i=0,1, \ldots, 2^{n}-1$.
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|To determine the unknown coefficients
确定末知系数 $g_{0}, g_{1}, \ldots, g_{2^{n}}-1$, 我们做方程 $G(\mathbf{x} j)=f(\mathbf{x} j)$ 对于各种元组 $\mathbf{x}_{j}$. 我们得到一个系统 $2^{n}$ 方程与 $2^{n}$ 末知数；它的解将给出多项 式的系数 $G(\mathbf{x})$.
- 等效变换方法。
让我们写下函数的解析表达式 $f(\mathbf{x})$ 并使用等式通过身份转换来减少它 $A \vee B=(\bar{A} \wedge \bar{B})$ 到仅包含集合中的操作的等效表达式 $-, \wedge$. 接下来，我们排除否定操作，我们将替换所有形式的表达式 $\bar{A}$ 和 $A \oplus 1$. 然后我们使用分布定律扩展括号 $A \wedge(B \oplus C)=$ $(A \wedge B) \oplus(A \wedge C)$ 并考虑到等价物
$$
A \wedge A=A, \quad A \wedge 1=A A \oplus A=0, \quad A \oplus 0=A
$$
结果，我们得到函数的代数范式 $f(\mathbf{x})$.
请注意，如果函数由值向量给出，在某些情况下，切换到其析取范式很方便，然后才使用例如等效变换的方法计算 Reed-Muller 展 开。
例 $7.1$ 让我们为函数建立一个代数范式 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ ，由值向量定义 $\alpha=(10100100)$.
解决方案。
我们使用待定系数的方法。函数的代数范式 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 具有以下形式:
$$
G\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=g_{0} \oplus g_{1} x_{1} \oplus g_{2} x_{2} \oplus g_{3} x_{3} \quad \oplus g_{4} x_{1} x_{2} \oplus g_{5} x_{1} x_{3} \oplus g_{6} x_{2} x_{3} \oplus g_{7} x_{1} x_{2} x_{3}
$$
在哪里 $g_{0}, \ldots, g_{7} \in \mathbb{B}$.
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|On the basis of the algebraic normal
在代数范式的基础上，构造实现任意布尔函数的量子电路 $f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)[2,3]$. 为此，我们使用 $n$ – 反映输入数据的量子位寄存器和一 个单独的量子位 $|q\rangle$ 用于响应的输出。量子系统的状态由乘积描述 $\left|x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\rangle|q\rangle$. 量子位 $|q\rangle$ 取初始值 $|0\rangle$.
构建量子电路的方法如下[4]。
对于每个 Reed-Muller 扩展加法 (7.1)，添加一个由量子位控制的非门，其中包含来自这些加法的变量。
- 常数 $f=1$ 由标准非门表示。
- 类型的变量 $x_{i}, 1 \leqslant i \leqslant n$, 由不受量子位控制的反转表示 $\left|x_{i}\right\rangle$.
- 形式的成对连词 $x_{i} x_{j}, 1 \leqslant i, j \leqslant n_{t}$ 由两个量子位控制的反转表示 $\left|x_{i}\right\rangle$ 和 $\left|x_{j}\right|$.
- 形式的三连词 $x_{i} x_{j} x_{k}, 1 \leqslant i, j, k \leqslant n$ ，由三个量子位控制的反转表示 $\left|x_{i}\right\rangle,\left|x_{j}\right\rangle$ ，和 $\left|x_{k}\right\rangle$.
很容易看出，使用 NOT、CNOT、CCNOT、…、CC…CNOT 操作，可以实现任意布尔函数。应用基本操作的顺序无关紧要，因为它们相互 交换。该属性源自布尔代数中加法模二运算的可交换性：
$$
\forall x_{1}, x_{2} \in \mathbb{B}\left(x_{1} \oplus x_{2}=x_{2} \oplus x_{1}\right)
$$
例 7.2 三个变量的布尔函数定义为 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} \vee x_{1} \bar{x} 2 \vee \bar{x} 1 x_{2} \bar{x} 3$. 构建实现此功能的量子电路。解决方案。首先，我们计算函数的 代数范式 $f\left(x 1, x_{2}, x_{3}\right)$ :
$$
G_{f}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} \oplus x_{2} \oplus x_{1} x_{2} \oplus x_{2} x_{3} \oplus x_{1} x_{2} x_{3} .
$$
因此，要实现 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ ，需要两个 CNOT 元素、一个 CCNOT 元素和一个 CCCNOT 元素。它们在电路中的顺序是任意的；可以肯定 的是，我们选择公式定义的顺序 (7.7).
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
