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量子计算机是利用量子物理学的特性来存储数据和进行计算的机器。这对于某些任务来说是非常有利的，它们甚至可以大大超过我们最好的超级计算机。
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- Advanced Probability Theory 高等概率论
- Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
- (Generalized) Linear Models 广义线性模型
- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|Phase Evaluation Algorithm
In a number of quantum-mechanical problems, you need to define eigenvalues of some unitary operator $U$ :
$$
U|\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle,
$$
where $|\psi\rangle$ is a known eigenvector of operator $U, \lambda$ is an eigenvalue, which needs to be defined. Due to the unitarity of $U$, the equality $|\lambda|=1$ is fulfilled, and therefore the eigenvalue can be represented as $\lambda=e^{2 \pi i} \varphi_{r}$, where $\varphi$ is a real number (as it is said, the transformation phase) satisfies the condition $0 \leqslant \varphi<1$.
Let the bit representation of the value $\varphi$ is finite:
$$
\varphi=0 . \varphi_{1} \varphi_{2} \ldots \varphi_{n} .
$$
In the phase estimation algorithm, there will be used 2 quantum registers, the first of which contains $n$ qubit, originally pre-set in $|0\rangle$. The second register is originally in the state $|\psi\rangle$, the number of qubits in this register depends on the specific type of the operator $U$. The algorithm consists of the following steps.
- For $N=2^{n}$, we compute the Direct Fourier Transform, applied to $|\underbrace{00 \ldots 0}{n q u b i t s}||\psi\rangle$. The result is equal to $\sum{q=0}^{N-1}|q\rangle|\psi\rangle$.
- Apply $U$ to the second register $q$ times:
$$
|q\rangle|\psi\rangle \rightarrow|q\rangle U^{q}|\psi\rangle=e^{2 \pi i \varphi q}|q\rangle|\psi\rangle
$$
The first $n$ qubits form the state
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{q=0}^{N-1} e^{2 \pi i \varphi \varphi q}|q\rangle=\mathcal{F}\left[\left|2^{n} \varphi\right\rangle\right] .
$$ - Calculate the inverse Fourier Transform $\mathcal{F}^{-1}$, applied to the first $n$ qubits and perform the measurement procedure. We obtain $\left|2^{n} \varphi\right\rangle=\left|\varphi_{1} \varphi_{2} \ldots \varphi_{n}\right\rangle$ with a probability, equal to one.
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|Quantum Search
The search for information in some data structure is an important task in the field of computer sciences. Traditionally, it is considered a simple data structure-an array with integer elements. Generalization of search algorithms into more complex structures, as a rule, does not cause any difficulties [1, 2].
Let us briefly remind you how the search problem is solved by classical methods.
Let there be a problem of determining the index of the array element equal in value to this particular value, which is called target. Sequential search algorithm is applied to work with an unordered array and operates in the following way: sequentially looks through the array elements starting from the first one and compares them with the target one. If the sought element is found, the index of this element is returned, otherwise the result must be a number that does not correspond to any element, for example, $-1$.
Analysis of the sequential search algorithm shows that when the target element is located at the end of an array, the number of required element operations is $N$, where $N$ is the array size. For the complexity of this algorithm in the average case, we get the expression
$$
A(N)=\frac{N+1}{2}=\Theta(N)
$$
which uses the asymptotic notation $\Theta(g(N))$ is the class of functions growing at the same rate as $g(N)$ (see note on page 47 ). Thus, the search in an unordered array has an asymptotic complexity linear in the size of input data.
Consider the quantum analogue of the search algorithm. We formulate a quantum search problem in the following form.
There is specified an unordered set of non-negative integers
$$
{0,1,2, \ldots, N-1}
$$
exactly one of which is the sought number, let us denote such sought number by $q_{0}$. To check if any value is appropriate, there is used the following function:
$$
F:{0,1,2, \ldots, N-1} \rightarrow \mathbb{B}
$$
which operates in accordance with the rule:
$$
F(q)= \begin{cases}1, & \text { if } q=q_{0} \ 0, & \text { if } q \neq q_{0}\end{cases}
$$
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|Answers, Hints, and Solutions
- Answer. $\left[\sigma_{1}, \sigma_{2}\right]=2 i \sigma_{3},\left[\sigma_{2}, \sigma_{3}\right]=2 i \sigma_{1},\left[\sigma_{3}, \sigma_{1}\right]=2 i \sigma_{2}$.
- Solution. $\sigma_{1} \sigma_{2} \sigma_{3}=i I$, where $I$ is the identity matrix of size $2 \times 2$.
- Answer. $\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\sigma_{3}^{2}=3 I$, where $I$ is the identity matrix of the second order.
- Solution.
We will use the Taylor ${ }^{9}$ formula to decompose the exponents into a power series:
$$
e^{t}=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{t^{j}}{j !}
$$
In this formula, we substitute $t=\mathrm{i} \sigma_{k} \varphi$ for $k \in{1,2,3}$ and $\varphi \in \mathbb{R}$. We obtain
$$
\exp \left(\mathrm{i} \sigma_{k} \varphi\right)=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{\left(\mathrm{i} \sigma_{k} \varphi\right)^{j}}{j !}=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{\mathrm{i}^{j} \sigma_{k}^{j} \varphi^{j}}{j !}
$$
Note that $\sigma_{k}^{2}=I$ (see formula (2.3)), which leads to the validity of $\sigma_{k}^{2 j}=I$ and $\sigma_{k}^{2 j+1}=\sigma_{k}$ for all non-negative integer $j$. Next, we present the decomposition in the Taylor series with two sums, by odd and even degrees:
$$
\begin{aligned}
\exp \left(\mathrm{i} \sigma_{k} \varphi\right) &=\sum_{j=0}^{\infty}\left(\frac{\mathrm{i}^{2 j} \sigma_{k}^{2 j} \varphi^{2 j}}{(2 j) !}+\frac{\mathrm{i}^{2 j+1} \sigma_{k}^{2 j+1} \varphi^{2 j+1}}{(2 j+1) !}\right) \
&=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j} I \varphi^{2 j}}{(2 j) !}+\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j} \mathrm{i} \sigma_{k} \varphi^{2 j+1}}{(2 j+1) !} \
&=I \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j} \varphi^{2 j}}{(2 j) !}+\mathrm{i} \sigma_{k} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j} \varphi^{2 j+1}}{(2 j+1) !} \
&=I \cos \varphi+\mathrm{i} \sigma_{k} \sin \varphi
\end{aligned}
$$
Obtained sums $\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j} \varphi^{2 j}}{(2 j) !}$ and $\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j} \varphi^{2 j+1}}{(2 j+1) !} \operatorname{converge}$ to $\cos \varphi$ and $\sin \varphi$, respectively. As a result, we get:
$$
\exp \left(\mathrm{i} \sigma_{k} \varphi\right)=I \cos \varphi+\mathrm{i} \sigma_{k} \sin \varphi \text { for } k \in{1,2,3}, \varphi \in \mathbb{R} \text {. }
$$
量子计算代考
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|Phase Evaluation Algorithm
在许多量子力学问题中，需要定义一些酉算子的特征值 $U$ :
$$
U|\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle
$$
在哪里 $|\psi\rangle$ 是算子的已知特征向量 $U, \lambda$ 是一个特征值，需要定义。由于单一性 $U$ ，等式 $|\lambda|=1$ 满足，因此特征值可以表示为 $\lambda=e^{2 \pi i} \varphi_{r}$ ， 在哪里 $\varphi$ 是一个实数 (据说是变换阶段) 满足条件 $0 \leqslant \varphi<1$.
让值的位表示 $\varphi$ 是有限的:
$$
\varphi=0 . \varphi_{1} \varphi_{2} \ldots \varphi_{n}
$$
在相位估计算法中，将使用 2 个量子宲存器，其中第一个包含 $n$ 量子比特，最初预设在 $|0\rangle$. 第二个㝯存器原来是状态 $|\psi\rangle$ ，此㝯存器中的 量子比特数取决于算子的具体类型 $U$. 该算法由以下步㴴组成。
- 为了 $N=2^{n}$ ，我们计算直接傅里叶变换，应用于 $|\underbrace{00 \ldots 0} n q u b i t s||\psi\rangle$. 结果等于 $\sum q=0^{N-1}|q\rangle|\psi\rangle$.
- 申请 $U$ 到第二个㝯存器 $q$ 次:
$$
|q\rangle|\psi\rangle \rightarrow|q\rangle U^{q}|\psi\rangle=e^{2 \pi i \varphi q}|q\rangle|\psi\rangle
$$
首先 $n$ 量子比特形成状态
$$
\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{q=0}^{N-1} e^{2 \pi i \varphi p \rho q}|q\rangle=\mathcal{F}\left[\left|2^{n} \varphi\right\rangle\right]
$$ - 计算傅里叶逆变换 $\mathcal{F}^{-1}$, 应用于第一个 $n$ 量子比特并执行测量程序。我们获得 $\left|2^{n} \varphi\right\rangle=\left|\varphi_{1} \varphi_{2} \ldots \varphi_{n}\right\rangle$ 概率，等于一。
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|Quantum Search
在某些数据结构中搜索信息是计算机科学领域的一项重要任务。传统上，它被认为是一种简单的数据结构一一具有整数元素的数组。通 常，将搜索算法推广到更昌杂的结构不会造成任何困难 $[1,2]$ 。
让我们简要提醒您如何通过经典方法解决搜索问题。
让有一个问题，确定数组元溸的索引值等于这个特定值，称为目标。顺序搜索算法用于处理无序数组，其操作方式如下: 从第一个元嗉开 $\mathrm{~ 始 顺 序 龺 找 数 组 元 龶 并 将 它 们 与 目 标 元 表 进 行 比 较 。 如 果 找 到 了 要 查 找 的 元 㛃 ， 则 返 回 该 元 溸 的 索 引 ， 否 则 结 果 必 须 是 与 任 何 元 拝}$ 应的数字，例如， $-1$.
对顺序搜索算法的分析表明，当目标元榡位于数组的末尾时，所需的元㨞操作数为 $N$ ， 在哪里 $N$ 是数组大小。对于该算法在一般情况下 的复杂度，我们得到表达式
$$
A(N)=\frac{N+1}{2}=\Theta(N)
$$
它使用渐近符号 $\Theta(g(N))$ 是以相同的速率增长的函数类别 $g(N)$ (参见第 47 页的注释)。因此，在无序数组中的搜索具有与输入数据大 小呈线性关系的渐近夏杂度。
考虑搜索算法的量子模拟。我们用以下形式制定了一个量子搜索问题。 指定了一组无序的非奂整数
$$
0,1,2, \ldots, N-1
$$
正是其中之一是所寻求的数字，让我们将这种寻求的数字表示为 $q_{0}$. 要检查任何值是否合适，使用以下函数：
$$
F: 0,1,2, \ldots, N-1 \rightarrow \mathbb{B}
$$
它按照以下规则运行:
$$
F(q)=\left{1, \quad \text { if } q=q_{0} 0, \quad \text { if } q \neq q_{0}\right.
$$
物理代写|量子计算代写Quantum computer代考|Answers, Hints, and Solutions
- 回答。 $\left[\sigma_{1}, \sigma_{2}\right]=2 i \sigma_{3},\left[\sigma_{2}, \sigma_{3}\right]=2 i \sigma_{1},\left[\sigma_{3}, \sigma_{1}\right]=2 i \sigma_{2}$.
- 解决方安。 $\sigma_{1} \sigma_{2} \sigma_{3}=i I$ ， 在哪里 $I$ 是大小的单位矩阵 $2 \times 2$.
- 回答。 $\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\sigma_{3}^{2}=3 I$ ，在哪里 $I$ 是二阶单位矩阵。
- 解决方案。
- 我们将使用泰勒 ${ }^{9}$ 将指数分解为草级数的公式:
- $$
- e^{t}=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{t^{j}}{j !}
- $$
- 在这个公式中，我们代入 $t=\mathrm{i} \sigma_{k} \varphi$ 为了 $k \in 1,2,3$ 和 $\varphi \in \mathbb{R}$. 我们获得
- $$
- \exp \left(\mathrm{i} \sigma_{k} \varphi\right)=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{\left(\mathrm{i} \sigma_{k} \varphi\right)^{j}}{j !}=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{\mathrm{i}^{j} \sigma_{k}^{j} \varphi^{j}}{j !}
- $$
- 注意 $\sigma_{k}^{2}=I$ (见公式 (2.3) )，这导致了有效性 $\sigma_{k}^{2 j}=I$ 和 $\sigma_{k}^{2 j+1}=\sigma_{k}$ 对于所有非负整数 $j$. 接下来，我们以奇数度和偶数度呈现泰 勒级数中的分解，其中包含两个和:
- $$
- \exp \left(\mathrm{i} \sigma_{k} \varphi\right)=\sum_{j=0}^{\infty}\left(\frac{\mathrm{i}^{2 j} \sigma_{k}^{2 j} \varphi^{2 j}}{(2 j) !}+\frac{\mathrm{i}^{2 j+1} \sigma_{k}^{2 j+1} \varphi^{2 j+1}}{(2 j+1) !}\right) \quad=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j} I \varphi^{2 j}}{(2 j) !}+\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j} \sigma_{k} \varphi^{2 j+1}}{(2 j+1) !}=I \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j} \varphi^{2 j}}{(2 j) !}+\mathrm{i} \sigma_{k} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j} \varphi^{2 j+1}}{(2 j+1) !}
- $$
- 所得款项 $\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j} \varphi^{2 j}}{(2 j) !}$ 和 $\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j} \varphi^{2} \varphi^{2 j 11}}{(2 j+1) !} \operatorname{converge}$ 至 $\cos \varphi$ 和 $\sin \varphi ，$ 分别。结果，我们得到：
- $$
- \exp \left(\mathrm{i} \sigma_{k} \varphi\right)=I \cos \varphi+\mathrm{i} \sigma_{k} \sin \varphi \text { for } k \in 1,2,3, \varphi \in \mathbb{R} .
- $$
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
