统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|AA203

assignmentutor-lab™ 为您的留学生涯保驾护航在代写最优控制optimal control方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写最优控制optimal control代写方面经验极为丰富，各种代写最优控制Soptimal control相关的作业也就用不着说。

我们提供的最优控制optimal control及其相关学科的代写，服务范围广, 其中包括但不限于:

Statistical Inference 统计推断
Statistical Computing 统计计算
Advanced Probability Theory 高等楖率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Derivation of the Adjoint Equation

The derivation of the adjoint equation proceeds from the HJB equation (2.19), and is similar to those in Fel’dbaum (1965) and Kirk (1970). Note that, given the optimal path $x^{}$, the optimal control $u^{}$ maximizes the left-hand side of $(2.19)$, and its maximum value is zero. We now consider small perturbations of the values of the state variables in a neighborhood of the optimal path $x^{}$. Thus, let $$ x(t)=x^{}(t)+\delta x(t)
$$
where $|\delta x(t)|<\varepsilon$ for a small positive $\varepsilon$.

We now consider a ‘fixed’ time instant $t$. We can then write $(2.19)$ as
$$
\begin{aligned}
0 &=H\left[x^{}(t), u^{}(t), V_{x}\left(x^{}(t), t\right), t\right]+V_{t}\left(x^{}(t), t\right) \
& \geq H\left[x(t), u^{}(t), V_{x}(x(t), t), t\right]+V_{t}(x(t), t) . \end{aligned} $$ To explain, we note from (2.19) that the left-hand side of $\geq$ in (2.23) equals zero. The right-hand side can attain the value zero only if $u^{}(t)$ is also an optimal control for $x(t)$. In general, for $x(t) \neq x^{}(t)$, this will not be so. From this observation, it follows that the expression on the right-hand side of (2.23) attains its maximum (of zero) at $x(t)=x^{}(t)$. Furthermore, $x(t)$ is not explicitly constrained. In other words, $x^{}(t)$ is an unconstrained local maximum of the right-hand side of (2.23), so that the derivative of this expression with respect to $x$ must vanish at $x^{}(t)$, i.e.,
$$
H_{x}\left[x^{}(t), u^{}(t), V_{x}\left(x^{}(t), t\right), t\right]+V_{t x}\left(x^{}(t), t\right)=0,
$$
provided the derivative exists, and for which, we must further assume that $V$ is a twice continuously differentiable function of its arguments. With $H=F+V_{x} f$ from (2.17) and (2.18), we obtain
$$
H_{x}=F_{x}+V_{x} f_{x}+f^{T} V_{x x}=F_{x}+V_{x} f_{x}+\left(V_{x x} f\right)^{T}
$$
by using $g=V_{x}$ in the identity (1.15). Substituting this in (2.24) and recognizing the fact that $V_{x x}=\left(V_{x x}\right)^{T}$, we obtain
$$
F_{x}+V_{x} f_{x}+f^{T} V_{x x}+V_{t x}=F_{x}+V_{x} f_{x}+\left(V_{x x} f\right)^{T}+V_{t x}=0,
$$
where the superscript ${ }^{T}$ denotes the transpose operation. See (1.16) or Exercise $1.10$ for further explanation.

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|The Maximum Principle

The necessary conditions for $u^{}(t), t \in[0, T]$, to be an optimal control are: $$ \left{\begin{array}{l} \dot{x}^{}=f\left(x^{}, u^{}, t\right), x^{}(0)=x_{0}, \ \dot{\lambda}=-H_{x}\left[x^{}, u^{}, \lambda, t\right], \lambda(T)=S_{x}\left(x^{}(T), T\right), \
H\left[x^{}, u^{}, \lambda, t\right] \geq H\left[x^{*}, u, \lambda, t\right], \forall u \in \Omega(t), t \in[0, T] .
\end{array}\right.
$$

It should be emphasized that the state and the adjoint arguments of the Hamiltonian are $x^{}(t)$ and $\lambda(t)$ on both sides of the Hamiltonian maximizing condition in (2.31), respectively. Furthermore, $u^{}(t)$ must provide a global maximum of the Hamiltonian $H\left[x^{*}(t), u, \lambda(t), t\right]$ over $u \in \Omega(t)$. For this reason the necessary conditions in (2.31) are called the maximum principle.

Note that in order to apply the maximum principle, we must simultaneously solve two sets of differential equations with $u^{}$ obtained from the Hamiltonian maximizing condition in $(2.31)$. With the control variable $u^{}$ so obtained, the state equation for $x^{}$ is given with the initial value $x_{0}$, and the adjoint equation for $\lambda$ is specified with a condition on the terminal value $\lambda(T)$. Such a system of equations, where initial values of some variables and final values of other variables are specified, is called a two-point boundary value problem (TPBVP). The general solution of such problems can be very difficult; see Bryson and Ho (1975), Roberts and Shipman (1972), and Feichtinger and Hartl (1986). However, there are certain special cases which are easy. One such is the case in which the adjoint equation is independent of the state and the control variables; here we can solve the adjoint equation first, then get the optimal control $u^{}$, and then solve for $x^{*}$.

Note also that if we can solve the Hamiltonian maximizing condition for an optimal control function in closed form $u^{}(x, \lambda, t)$ so that $$ u^{}(t)=u^{}\left[x^{}(t), \lambda(t), t\right]
$$
then we can substitute this into the state and adjoint equations to get the TPBVP just in terms of a set of differential equations, i.e.,
$$
\left{\begin{array}{l}
\dot{x}^{}=f\left(x^{}, u^{}\left(x^{}, \lambda, t\right), t\right), x^{}(0)=x_{0}, \ \dot{\lambda}=-H_{x}\left(x^{}, u^{}\left(x^{}, \lambda, t\right), \lambda, t\right), \lambda(T)=S_{x}\left(x^{*}(T), T\right) .
\end{array}\right.
$$

最优控制代考

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|Derivation of the Adjoint Equation

伴随方程的推导源自 HJB 方程 (2.19)，类似于 Fel’dbaum (1965) 和 Kirk (1970) 中的推导。注意，给定最优路径 $x$ ，最优控制 $u$ 最大化左手边(2.19)，其最大值为零。我们现在考虑最优路径邻域中状态变量值的小扰动 $x$. 因此，让
$$
x(t)=x(t)+\delta x(t)
$$
在哪里 $|\delta x(t)|<\varepsilon$ 对于一个小的阳性 $\varepsilon$.
我们现在考虑一个”固定的“时间瞬间 $t$. 然后我们可以写 $(2.19)$ 作为
$$
0=H\left[x(t), u(t), V_{x}(x(t), t), t\right]+V_{t}(x(t), t) \quad \geq H\left[x(t), u(t), V_{x}(x(t), t), t\right]+V_{t}(x(t), t) .
$$
为了解释，我们从 (2.19) 中注意到， $\geq$ 在 $(2.23)$ 中等于零。只有当 $u(t)$ 也是最优控制 $x(t)$. 一般来说，对于 $x(t) \neq x(t)$ ，这不会是这样。从这个观察可以看出，(2.23) 右边的表达式在 $x(t)=x(t)$. 此外， $x(t)$ 没有明确限制。换句话说， $x(t)$ 是 $(2.23)$ 右侧的无约束局部最大值，因此该表达式关于 $x$ 糹须消失在 $x(t)$ ，那是，
$$
H_{x}\left[x(t), u(t), V_{x}(x(t), t), t\right]+V_{t x}(x(t), t)=0,
$$
假设存在导数，并且为此，我们必须进一步假设 $V$ 是其参数的两次连续可微函数。和 $H=F+V_{x} f$ 从 (2.17) 和 (2.18)，我们得到
$$
H_{x}=F_{x}+V_{x} f_{x}+f^{T} V_{x x}=F_{x}+V_{x} f_{x}+\left(V_{x x} f\right)^{T}
$$
通过使用 $g=V_{x}$ 在身份 (1.15) 中。将其代入 (2.24) 并认识到以下事实: $V_{x x}=\left(V_{x x}\right)^{T}$ ，我们获得
$$
F_{x}+V_{x} f_{x}+f^{T} V_{x x}+V_{t x}=F_{x}+V_{x} f_{x}+\left(V_{x x} f\right)^{T}+V_{t x}=0
$$
上标在哪里 ${ }^{T}$ 表示转置操作。见 $(1.16)$ 或练习1.10进一步解释。

统计代写|最优控制作业代写optimal control代考|The Maximum Principle

必要条件 $u(t), t \in[0, T]$ ，作为最优控制是: $\$ \$ \backslash$ left{
$$
\dot{x}=f(x, u, t), x(0)=x_{0}, \dot{\lambda}=-H_{x}[x, u, \lambda, t], \lambda(T)=S_{x}(x(T), T), H[x, u, \lambda, t] \geq H\left[x^{}, u, \lambda, t\right], \forall u \in \Omega(t), t \in[0, T] . $$ 正确的。 $\$ \$$ 应该强调的是，哈密顿量的状态和伴随论证是 $x(t)$ 和 $\lambda(t)$ 分别在 (2.31) 中的哈密顿最大化条件的两侧。此外， $u(t)$ 必须提供哈密顿量的全局最大值 $H\left[x^{}(t), u, \lambda(t), t\right]$ 超过 $u \in \Omega(t)$. 因此，（2.31) 中的必要条件被称为最大原理。
请注意，为了应用极大值原理，我们必须同时求解两组微分方程 $u$ 从哈密顿量最大化条件中获得 $(2.31)$. 与控制变量 $u$ 如此得到，状态方程为 $x$ 以初始值给出 $x_{0}$ ，以及伴随方程 $\lambda$ 用终端值的条件指定 $\lambda(T)$. 这样一个方程组，其中指定了一些变量的初始值和其他变量的最终值，称为两点边值问题 (TPBVP)。此类问题的一般解决方案可能非常困难；参见 Bryson 和 Ho (1975)、Roberts 和 Shipman (1972) 以及

Feichtinger 和 Hartl (1986)。但是，有些特殊情况很容易。其中一种情况是伴随方程独立于状态和控制变量。这里我们可以先求解伴随方程，然后得到最优控制 $u$ ，然后求解 $x^{}$. 还要注意，如果我们可以解决封闭形式的最优控制函数的哈密顿最大化条件 $u(x, \lambda, t)$ 以便 $$ u(t)=u[x(t), \lambda(t), t] $$ 然后我们可以将其代入状态和伴随方程，以仅根据一组微分方程得到 TPBVP，即 $\$ \$$ Veft { $$ \dot{x}=f(x, u(x, \lambda, t), t), x(0)=x_{0}, \dot{\lambda}=-H_{x}(x, u(x, \lambda, t), \lambda, t), \lambda(T)=S_{x}\left(x^{}(T), T\right)
$$
、正确的。
$\$ \$$

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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