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在概率论中，鞅理论是一个随机变量序列（即一个随机过程），对它来说，在某一特定时间，序列中下一个值的条件期望值等于现值，而不考虑所有先验值。
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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|The Corrector Field
In this subsection, we introduce the corrector field and establish an energy identity. Recall the resolvent equation (3.16) for the local drift $V$. Multiplying both sides of the resolvent equation by $f_{j, \lambda}$ and integrating over $\Omega$, in view of the explicit formula (3.12) for the $\mathscr{H}{1}$ norm and of relation (3.21), $$ \lambda\left|f{j, \lambda}\right|_{\mathbb{Q}}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{z \in \Lambda}\left\langle p_{z} D_{z} f_{j, \lambda}, D_{z} f_{j, \lambda}\right\rangle_{\mathbb{Q}}=\sum_{z \in \Lambda}\left\langle p_{z} H_{j, z}, D_{z} f_{j, \lambda}\right\rangle_{\mathbb{Q}}
$$
for $1 \leq j \leq d$. Since $H_{j, z}$ belongs to $L^{2}(\mathbb{Q})$ and since $p_{z}$ is strictly elliptic,
$$
\sup {0<\lambda \leq 1} \lambda\left|f{j, \lambda}\right|_{\mathbb{Q}}^{2}<\infty \text { and } \sup {0<\lambda \leq 1}\left|D{z} f_{j, \lambda}\right|_{\mathbb{Q}}^{2}<\infty
$$
for all $z$ in $\Lambda, 1 \leq j \leq d$
Proposition 3.7 Suppose that the hypotheses of Theorem $3.6$ hold and that $F_{j}$ is the weak limit in $\mathscr{H}{1}$ of $\left{f{j, \lambda_{n}}: n \geq 1\right}$, where $\lambda_{n} \downarrow 0$, as $n \uparrow \infty$. Then, for $1 \leq j \leq d$,
$$
\frac{1}{2} \sum_{z \in \Lambda}\left\langle p_{z} D_{z} F_{j}, D_{z} F_{j}\right\rangle_{\mathbb{Q}}=\sum_{z \in \Lambda}\left\langle p_{z} H_{j, z}, D_{z} F_{j}\right\rangle_{\mathbb{Q}} .
$$
This proposition is proved in three steps. In this subsection, we define the corrector field and we obtain two estimates on its asymptotic behavior. In the next subsection, we derive an elliptic difference equation satisfied by the corrector field from which we deduce, in the last subsection, the energy estimate stated above.
Fix a sequence $\left{\lambda_{n}: n \geq 1\right}$ which vanishes as $n \uparrow \infty$ and such that $f_{j, \lambda}$ converges weakly to $F_{j}$ in $\mathscr{H}{1}$ for $1 \leq j \leq d$. Since $\left{D{z} f_{j, \lambda}: 0<\lambda<1\right}$ is a bounded sequence in $L^{2}(\mathbb{Q})$, taking a further subsequence if necessary, we may assume that $D_{z} f_{j, \lambda_{n}}$ converges weakly in $L^{2}(\mathbb{Q})$ for all $z$ in $\Lambda, 1 \leq j \leq d$. Let
$$
f_{j}(z)-\lim {n \rightarrow \infty} D{z} f_{j, \lambda_{n}} .
$$
Clearly, $\mathscr{D} F_{j}=\left{f_{j}(z): z \in \Lambda\right}$ in $L^{2}(\mathbb{Q})$.
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|An Elliptic Equation for the Corrector Field
In this subsection we demonstrate that the corrector field satisfies in a weak sense a linear elliptic difference equation $\mathbb{Q}$-a.s. Let $C_{0}\left(\mathbb{Z}^{d}\right)$ be the space of all compactly supported functions on $\mathbb{Z}^{d}$. Recall the definition of the random variables $\left{H_{j, z}: z \in\right.$ $\Lambda}, 1 \leq j \leq d$, introduced in (3.21) and recall that $q_{z}=p_{z}-p_{-z} \circ \tau_{z}$
Proposition 3.11 Let $\left{f_{j}(x): x \in \mathbb{Z}^{d}\right}, 1 \leq j \leq d$, be a corrector field. For each $1 \leq j \leq d$ and for every $x$ in $\mathbb{Z}^{d}, \mathbb{Q}$-a.s.,
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{2} \sum_{z \in \Lambda} \partial_{z}^{}\left{p(x, x+z) \partial_{z} f_{j}(x)\right}-\frac{1}{2} \sum_{z \in \Lambda^{s}} q(x, x+z) \partial_{z} f_{j}(x) \ &\quad=\sum_{z \in \Lambda} \partial_{z}^{}\left{p(x, x+z) H_{j, z}(x)\right}
\end{aligned}
$$
where $q(x, x+z):=q_{z} \circ \tau_{x}, \Lambda^{s}=\left{z \in \mathbb{Z}^{d}: z\right.$ or $\left.-z \in \Lambda\right}$ and $\partial_{z}^{}$ represents the adjoint of $\partial_{z}:\left(\partial_{z}^{} g\right)(x)=[g(x-z)-g(x)]$.
Proof Fix a corrector field $\left{f_{j}(x): x \in \mathbb{Z}^{d}\right}, 1 \leq j \leq d$, and consider a sequence $\left{\lambda_{n}: n \geq 1\right}$, vanishing as $n \uparrow \infty$, for which (3.24) holds weakly in $L^{2}(\mathbb{Q})$ for all $x \in \mathbb{Z}^{d}$. Multiply both sides of the resolvent equation (3.3) by $g \in L^{2}(\mathbb{Q})$ and integrate with respect to $\mathbb{Q}$. By $(3.21)$, the right-hand side is equal to $\sum_{z \in \Lambda}\left\langle p_{z} H_{j, z}, D_{z} g\right\rangle_{\mathbb{Q}}$. On the left-hand side, $\left\langle\lambda_{n} f_{\lambda_{n}, j}, g\right\rangle_{\mathbb{Q}}$ vanishes as $n \uparrow \infty$ because $\lambda_{n} f_{\lambda_{n}, j}$ vanishes in $L^{2}(\mathbb{Q})$. Rewriting the generator $L$ as $S+A$, and recalling the explicit formulas $(3.10),(3.11)$ for $S$ and $A$ as well as the definition of $f_{j}(z)$, we obtain that
$$
2 \sum_{z \in \Lambda}^{1}\left\langle p_{z} f_{j}(z), D_{z} g\right\rangle_{\mathbb{Q}}-\sum_{2 \in \Lambda^{s}}^{1}\left\langle q_{z} f_{j}(z), g\right\rangle_{\mathbb{Q}}=\sum_{z \in \Lambda}\left\langle p_{z} H_{j, z}, D_{z} g\right\rangle_{\mathbb{Q}} .
$$
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|The Energy Identity
In this subsection, we prove the energy identity stated in Proposition 3.7. Let $\varphi$ : $\mathbb{R}^{d} \rightarrow[0, \infty)$ be any smooth, non-negative function, supported in the unit cube $(-1,1)^{d}$ and satisfying $\int_{\mathbb{R}^{d}} \varphi(x) d x=1$. For $\varepsilon>0$, let $\varphi_{\varepsilon}(x)=\varepsilon^{d} \varphi(\varepsilon x)$.
Replace in (3.31) $h, \Phi$ by $f_{j}, \varphi_{\varepsilon}$, respectively. We claim that the first term on the left-hand side of (3.31) converges in probability, as $\varepsilon \downarrow 0$, to
$$
\frac{1}{2} \sum_{z \in \Lambda}\left\langle p_{z} D_{z} F_{j}, D_{z} F_{j}\right\rangle_{\mathbb{Q}} .
$$
In this subsection, convergence in probability refers to the measure $\mathbb{Q}$.
To prove (3.32), note that the first term on the left-hand side of $(3.31)$, with $f_{j}$, $\varphi_{\varepsilon}$ in place of $h, \Phi$, is equal to
$$
\frac{1}{2} \sum_{z \in \Lambda} \sum_{x \in \mathbb{Z}^{d}} p(x, x+z) \partial_{z} f_{j}(x) \partial_{z}\left[f_{j}(x) \varphi_{\varepsilon}(x)\right]
$$
In view of the formula for the discrete gradient of a product
$$
\partial_{z}f g=f(x+z)\left(\partial_{z} g\right)(x)+g(x)\left(\partial_{z} f\right)(x),
$$
the previous expression is equal to
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{2} \sum_{z \in \Lambda} \sum_{x \in \mathbb{Z}^{d}} \dot{\varphi}{\varepsilon}(x+z) p(x, x+z) \partial{z} f_{j}(x)^{2} \
&\quad+\frac{1}{2} \sum_{z \in \Lambda} \sum_{x \in \mathbb{Z}^{d}} \partial_{z} \varphi_{\varepsilon}(x) p(x, x+z) \partial_{z} f_{j}(x) f_{j}(x)
\end{aligned}
$$
离散时间鞅理论代考
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|The Corrector Field
在本小节中，我们介绍校正场并建立能量恒等式。回想一下局部漂移的求解方程（3.16） $V$. 将求解方程的两边乘以 $f_{j, \lambda}$ 并整合过来 $\Omega$ ，鉴 于明确的公式 (3.12) $\mathscr{H} 1$ 范数和关系 (3.21)，
$$
\lambda|f j, \lambda|{\mathbb{Q}}^{2}+\frac{1}{2} \sum{z \in \Lambda}\left\langle p_{z} D_{z} f_{j, \lambda}, D_{z} f_{j, \lambda}\right\rangle_{\mathbb{Q}}=\sum_{z \in \Lambda}\left\langle p_{z} H_{j, z}, D_{z} f_{j, \lambda}\right\rangle_{\mathbb{Q}}
$$
为了 $1 \leq j \leq d$. 自从 $H_{j, z}$ 属于 $L^{2}(\mathbb{Q})$ 并且因为 $p_{z}$ 是严格椭圆的，
$$
\sup 0<\lambda \leq 1 \lambda|f j, \lambda|{\mathbb{Q}}^{2}<\infty \text { and } \sup 0<\lambda \leq 1\left|D z f{j, \lambda}\right|{\mathbb{Q}}^{2}<\infty $$ 对所有人 $z$ 在 $\Lambda, 1 \leq j \leq d$ 命题 $3.7$ 假设定理的假设 $3.6$ 持有，那 $F{j}$ 是弱极限 $\mathscr{H} 1$ 1的\1eft 的分隔符缺失或无法识别
在哪里 $\lambda_{n} \downarrow 0$ ，作为 $n \uparrow \infty$.
那么，对于 $1 \leq j \leq d$ ，
$$
\frac{1}{2} \sum_{z \in \Lambda}\left\langle p_{z} D_{z} F_{j}, D_{z} F_{j}\right\rangle_{\mathbb{Q}}=\sum_{z \in \Lambda}\left\langle p_{z} H_{j, z}, D_{z} F_{j}\right\rangle_{\mathbb{Q}}
$$
这个命题分三步证明。在本小节中，我们定义了校正场，并获得了关于其渐近行为的两个估计。在下一小节中，我们推导出一个由校正场 满足的椭圆差分方程，在最后一小节中，我们从中推导出上述能量估计。
修复序列 \1eft 的分隔符缺失或无法识别 消失为 $n \uparrow \infty$ 并且这样 $f_{j, \lambda}$ 弱收敛到 $F_{j}$ 在 $\mathscr{H} 1$ 为了 $1 \leq j \leq d$. 自从 $\backslash$ left 的分隔符缺失或无法识别 是一个有界序列 $L^{2}(\mathbb{Q})$ ，如有必要，采取进一步的子序列，我们可以假设 $D_{z} f_{j, \lambda_{n}}$ 弱收敛 于 $L^{2}(\mathbb{Q})$ 对所有人 $z$ 在 $\Lambda, 1 \leq j \leq d$. 让
$$
f_{j}(z)-\lim n \rightarrow \infty D z f_{j, \lambda_{n}}
$$
清楚地，\1eft 的分隔符缺失或无法识别 在 $L^{2}(\mathbb{Q})$.
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|An Elliptic Equation for the Corrector Field
在本小节中，我们证明了校正场在弱意义上满足线性椭圆差分方程 $\mathbb{Q}$ – 让 $C_{0}\left(\mathbb{Z}^{d}\right)$ 是所有紧支持函数的空间 $\mathbb{Z}^{d}$. 回忆一下随机变量的定义 \left 的分隔符缺失或无法识别 在 (3.21) 中引入并回想一下 $q_{z}=p_{z}-p_{-z} \circ \tau_{z}$
命题 $3.11$ 让 \left 的分隔符缺失或无法识别 ，是一个校正域。对于每个 $1 \leq j \leq d$ 并且对于每个 $x$ 在趻, $\mathbb{Q}^{-}$-作为，
\left 的分隔符缺失或无法识别
在哪里 $\backslash$ left 的分隔符缺失或无法识别 和 $\partial_{z}$ 表示伴随的 $\partial_{z}:\left(\partial_{z} g\right)(x)=[g(x-z)-g(x)] .$
证明修复校正器字段 $\backslash 1$ eft 的分隔符缺失或无法识别
，并考虑一个序列 \left 的分隔符缺失或无法识别
消失为 $n \uparrow \infty$, 其中 (3.24) 在 $L^{2}(\mathbb{Q})$ 对所有人 $x \in \mathbb{Z}^{d}$. 将求解方程 (3.3) 的两边乘以 $g \in L^{2}(\mathbb{Q})$ 并整合关于 $\mathbb{Q}$. 经过 $(3.21)$ ，右边等于 $\sum_{z \in \Lambda}\left\langle p_{z} H_{j, z}, D_{z} g\right\rangle_{\mathbb{Q}}$. 在左手侧， $\left\langle\lambda_{n} f_{\lambda_{n}, j}, g\right\rangle_{\mathbb{Q}^{\text {i }}}$ 哨失为 $n \uparrow \infty$ 因为 $\lambda_{n} f_{\lambda_{n} j}$ 消失在 $L^{2}(\mathbb{Q})$. 重写生成器 $L$ 作为 $S+A$ ，并回顾显式公式 $(3.10),(3.11)$ 为了 $S$ 和 $A$ 以及定义 $f_{j}(z)$ ，我们得到
$$
2 \sum_{z \in \Lambda}^{1}\left\langle p_{z} f_{j}(z), D_{z} g\right\rangle_{\mathbb{Q}}-\sum_{2 \in \Lambda^{s}}^{1}\left\langle q_{z} f_{j}(z), g\right\rangle_{\mathbb{Q}}=\sum_{z \in \Lambda}\left\langle p_{z} H_{j, z}, D_{z} g\right\rangle_{\mathbb{Q}}
$$
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|The Energy Identity
在本小节中，我们证明了命题 $3.7$ 中所述的能量恒等式。让 $\varphi: \mathbb{R}^{d} \rightarrow[0, \infty)$ 是单位立方体中支持的任何平滑、非负函数 $(-1,1)^{d}$ 并且令 人满意 $\int_{\mathbb{R}^{d}} \varphi(x) d x=1$. 为了 $\varepsilon>0$ ， 让 $\varphi_{\varepsilon}(x)=\varepsilon^{d} \varphi(\varepsilon x)$.
在 (3.31) 中替换 $h, \Phi$ 经过 $f_{j}, \varphi_{\varepsilon}$ ，分别。我们声称 (3.31) 左边的第一项在概率上收敛，因为 $\varepsilon \downarrow 0$ ，至
$$
\frac{1}{2} \sum_{z \in \Lambda}\left\langle p_{z} D_{z} F_{j}, D_{z} F_{j}\right\rangle_{\mathbb{Q}}
$$
在本小节中，概率收敛是指度量 $\mathbb{Q}$.
为了证明 (3.32)，请注意左边的第一项 $(3.31) ，$ 和 $f_{j}, \varphi_{\varepsilon}$ 代替 $h, \Phi$, 等于
$$
\frac{1}{2} \sum_{z \in \Lambda} \sum_{x \in \mathbb{Z}^{d}} p(x, x+z) \partial_{z} f_{j}(x) \partial_{z}\left[f_{j}(x) \varphi_{\varepsilon}(x)\right]
$$
鉴于产品的离散梯度公式
\$\$
$\backslash$ partial_{z} $\mathrm{fg}=\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{z}) \backslash$ left( $\backslash$ partial_{z} $g \backslash$ right $)(\mathrm{x})+\mathrm{g}(\mathrm{x}) \backslash$ left( $\backslash$ partial_{z} f(right)(x),
thepreviousexpressionisequalto
$$
\frac{1}{2} \sum_{z \in \Lambda} \sum_{x \in \mathbb{Z}^{d}} \dot{\varphi} \varepsilon(x+z) p(x, x+z) \partial z f_{j}(x)^{2} \quad+\frac{1}{2} \sum_{z \in \Lambda} \sum_{x \in \mathbb{Z}^{d}} \partial_{z} \varphi_{\varepsilon}(x) p(x, x+z) \partial_{z} f_{j}(x) f_{j}(x)
$$
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
