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统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多，包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。
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统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Simple observation schemes—Motivation
A natural conclusion one can extract from the previous section is that it makes sense, to say the least, to learn how to build detector-based tests with minimal risk. Thus, we arrive at the following design problem:
Given an observation space $\Omega$ and two families, $\mathcal{P}{1}$ and $\mathcal{P}{2}$, of probability distributions on $\Omega$, solve the optimization problem
$$
\mathrm{Opt}=\min {\phi=\Omega \rightarrow \mathrm{R}} \max [\underbrace{\sup {P \in \mathcal{P}{1}} \int{\Omega} \mathrm{e}^{-\phi(\omega)} P(d \omega)}{F[\phi]}, \underbrace{\sup {P \in \mathcal{P}{2}} \int{\Omega} \mathrm{e}^{\phi(\omega)} P(d \omega)}{G[\phi]}] $$ While being convex, problem (2.53) is typically computationally intractable. First, it is infinite-dimensional-candidate solutions are multivariate functions; how do we represent them on a computer, not to mention, how do we optimize over them? Besides, the objective to be optimized is expressed in terms of suprema of infinitely many (provided $\mathcal{P}{1}$ and/or $\mathcal{P}_{2}$ are infinite) expectations, and computing just a single expectation can be a difficult task …. We are about to consider “favorable” cases-simple observation schemes – where (2.53) is efficiently solvable.
To arrive at the notion of a simple observation scheme, consider the case when all distributions from $\mathcal{P}{1}, \mathcal{P}{2}$ admit densities taken w.r.t. some reference measure $\Pi$ on $\Omega$, and these densities are parameterized by a “parameter” $\mu$ running through some parameter space $\mathcal{M}$. In other words, $\mathcal{P}{1}$ is comprised of all distributions with densities $p{\mu}(\cdot)$ and $\mu$ belonging to some subset $M_{1}$ of $\mathcal{M}$, while $\mathcal{P}{2}$ is comprised of distributions with densities $p{\mu}(\cdot)$ and $\mu$ belonging to another subset, $M_{2}$, of $\mathcal{M}$. To save words, we shall identify distributions with their densities taken w.r.t. II, so that
$$
\mathcal{P}{\chi}=\left{p{\mu}: \mu \in M_{\chi}\right}, \chi=1,2,
$$
where $\left{p_{\mu}(\cdot): \mu \in \mathcal{M}\right}$ is a given “parametric” family of probability densities. The quotation marks in “parametric” reflect the fact that at this point in time, the “parameter” $\mu$ can be infinite-dimensional (e.g, we can parameterize a density by itself), so that assuming “parametric” representation of the distributions from $\mathcal{P}{1}$, $\mathcal{P}{2}$ in fact does not restrict the generality.
Our first observation is that in our “parametric” setup, we can rewrite problem (2.53) equivalently as
$$
\ln (\mathrm{Opt})=\min {\phi \cap \Omega \rightarrow \mathrm{R}} \sup {\mu \in M_{1}, \nu \in M_{2}} \underbrace{\frac{1}{2}\left[\ln \left(\int_{\Omega} \mathrm{e}^{-\phi(\omega)} p_{\mu}(\omega) \Pi(d \omega)\right)+\ln \left(\int_{\Omega} \mathrm{e}^{\phi(\omega)} p_{\nu}(\omega) \Pi(d \omega)\right)\right]}_{\Phi(\phi ; \mu, \nu)}
$$
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Simple observation schemes—The definition
Consider the situation in which we are given
- A Polish (complete separable metric) observation space $\Omega$ equipped with a $\sigma$ finite $\sigma$-additive Borel reference measure $\Pi$ such that the support of $\Pi$ is the entire $\Omega$.
Those not fully comfortable with some of the notions from the previous sentence can be assured that the only observation spaces we indeed shall deal with are pretty simple:
- $\Omega=\mathbf{R}^{d}$ equipped with the Lebesgue measure $\Pi$, and
- a finite or countable set $\Omega$ which is discrete (distances between distinct points are equal to 1) and is equipped with the counting measure $\Pi$.
- A parametric family $\left{p_{\mu}(\cdot): \mu \in \mathcal{M}\right}$ of probability densities, taken w.r.t. $\Pi$, such that
- the space $\mathcal{M}$ of parameters is a convex set in some $\mathbf{R}^{n}$ which coincides with its relative interior,
- the function $p_{\mu}(\omega): \mathcal{M} \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}$ is continuous in $(\mu, \omega)$ and positive everywhere.
- A finite-dimensional linear subspace $\mathcal{F}$ of the space of continuous functions on $\Omega$ such that
- $\mathcal{F}$ contains constants,
- all functions of the form $\ln \left(p_{\mu}(\omega) / p_{\nu}(\omega)\right)$ with $\mu, \nu \in \mathcal{M}$ are contained in $\mathcal{F}$,
- for every $\phi(\cdot) \in \mathcal{F}$, the function
$$
\ln \left(\int_{\Omega} \mathrm{e}^{\phi(\omega)} p_{\mu}(\omega) \Pi(d \omega)\right)
$$
is real-valued and concave on $\mathcal{M}$.
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Simple observation schemes—Examples
In Gaussian o.s.,
- the observation space $(\Omega, \Pi)$ is the space $\mathbf{R}^{d}$ with Lebesgue measure;
- the family $\left{p_{\mu}(\cdot): \mu \in \mathcal{M}\right}$ is the family of Gaussian densities $\mathcal{N}(\mu, \Theta)$, with fixed positive definite covariance matrix $\Theta$; distributions from the family are parameterized by their expectations $\mu$. Thus,
$$
\mathcal{M}=\mathbf{R}^{d}, p_{\mu}(\omega)=\frac{1}{(2 \pi)^{d / 2} \sqrt{\operatorname{Det}(\Theta)}} \exp \left{-\frac{1}{2}(\omega-\mu)^{T} \Theta^{-1}(\omega-\mu)\right}
$$ - the family $\mathcal{F}$ is the family of all affine functions on $\mathbf{R}^{d}$.
It is immediately seen that Gaussian o.s. meets all requirements imposed on a simple o.s. For example,
$$
\ln \left(p_{\mu}(\omega) / p_{\nu}(\omega)\right)=(\nu-\mu)^{T} \Theta^{-1} \omega+\frac{1}{2}\left[\nu^{T} \Theta^{-1} \nu-\mu^{T} \Theta^{-1} \mu\right]
$$
is an affine function of $\omega$ and thus belongs to $\mathcal{F}$. Besides this, a function $\phi(\cdot) \in \mathcal{F}$ is affine: $\phi(\omega)=a^{T} \omega+b$, implying that
$$
\begin{aligned}
f(\mu) &:=\ln \left(\int_{\mathbf{R}^{d}} \mathrm{e}^{\phi(\omega)} p_{\mu}(\omega) d \omega\right)=\ln \left(\mathbf{E}{\xi \sim \mathcal{N}\left(0, I{d}\right)}\left{\exp \left{a^{T}\left(\Theta^{1 / 2} \xi+\mu\right)+b\right}\right}\right) \
&=a^{T} \mu+b+\text { const, } \
\text { const } &=\ln \left(\mathbf{E}{\xi \sim \mathcal{N}\left(0, I{d}\right)}\left{\exp \left{a^{T} \Theta^{1 / 2} \xi\right}\right}\right)=\frac{1}{2} a^{T} \Theta a
\end{aligned}
$$
is an affine (and thus a concave) function of $\mu$.
As we remember from Chapter 1, Gaussian o.s. is responsible for the standard signal processing model where one is given a noisy observation
$$
\omega=A x+\xi \quad[\xi \sim \mathcal{N}(0, \Theta)]
$$
of the image $A x$ of unknown signal $x \in \mathbf{R}^{n}$ under linear transformation with known $d \times n$ sensing matrix, and the goal is to infer from this observation some knowledge about $x$. In this situation, a hypothesis that $x$ belongs to some set $X$ translates into the hypothesis that the observation $\omega$ is drawn from Gaussian distribution with known covariance matrix $\Theta$ and expectation known to belong to the set $M={\mu=$ $A x: x \in X}$. Therefore, deciding upon various hypotheses on where $x$ is located reduces to deciding on hypotheses on the distribution of observations in Gaussian o.s.
统计推断代考
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Simple observation schemes—Motivation
从上一节中可以得出的一个自然结论是，至少可以说，学习如何以最小的风险构建基于检测器的测试是有意义的。因此，我们得出以下设 计问题:
给定一个观察空间 $\Omega$ 和两个家庭， $\mathcal{P} 1$ 和 $\mathcal{P} 2$, 上的概率分布 $\Omega$, 解决优化问题
$$
\text { Opt }=\min \phi=\Omega \rightarrow \mathrm{R} \max [\underbrace{\left[\sup P \in \mathcal{P} 1 \int \Omega \mathrm{e}^{-\phi(\omega)} P(d \omega)\right.} F[\phi], \underbrace{\sup P \in \mathcal{P} 2 \int \Omega \mathrm{e}^{\phi(\omega)} P(d \omega)} G[\phi]]
$$
虽然是凸的，但问题 (2.53) 通営在计算上是难以处理的。首先，它是无限维的一一候选解是多元函数；我们如何在计算机上表示它们，更 不用说，我们如何优化它们? 此外，要优化的目标用无限多的上级表示（假设 $\mathcal{P} 1$ 和/或 $\mathcal{P}{2}$ 是无限的) 期望，仅计算一个期望可能是一项艰 巨的任务…..。。我们将考虑”有利的”案例一一简单的观察方案一一其中 (2.53) 是有效可解的。 为了得出一个简单观察方㝝的概念，请考虑以下情况：所有分布均来自 $\mathcal{P} 1, \mathcal{P} 2$ 承认一些参考措施采取的密度П上 $\Omega$ ，并且这些密度由“参 数”参数化 $\mu$ 通过一些参数空间运行 $\mathcal{M}$. 换句话说， $\mathcal{P} 1$ 由所有具有密度的分布组成 $p \mu(\cdot)$ 和 $\mu$ 属于某个子集 $M{1}$ 的 $\mathcal{M}$ ，尽管 $\mathcal{P} 2$ 由具有密度的 分布组成 $p \mu(\cdot)$ 和 $\mu$ 属于另一个子集， $M_{2}$ ，的 $\mathcal{M}$. 为了省话，我们将用它们的密度来识别分布 II，这样
$\backslash$ left 的分隔符缺失或无法识别
在哪里 \left 的分隔符缺失或无法识别 是给定的概率密度“参数”族。“参数”中的引号反映了这样一个事实，即此时， 数” $\mu$ 可以是无限维的（例如，我们可以自己参数化密度），因此假设分布的”参数”表示来自 $\mathcal{P} 1, \mathcal{P} 2$ 事实上并不限制一般性。
我们的第一个观察结果是，在我们的“参数“设置中，我们可以将问题 (2.53) 等效地重写为
$$
\ln (\mathrm{Opt})=\min \phi \cap \Omega \rightarrow \mathrm{R} \sup \mu \in M_{1}, \nu \in M_{2} \underbrace{\frac{1}{2}\left[\ln \left(\int_{\Omega} \mathrm{e}^{-\phi(\omega)} p_{\mu}(\omega) \Pi(d \omega)\right)+\ln \left(\int_{\Omega} \mathrm{e}^{\phi(\omega)} p_{\nu}(\omega) \Pi(d \omega)\right)\right]}_{\Phi(\phi ; \mu, \nu)}
$$
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Simple observation schemes—The definition
考虑给我们的情况
- 波兰 (完全可分离度量) 观察空间 $\Omega$ 配备了一个 $\sigma$ 有限 $\sigma$ – 加法 Borel 参考测量П这样的支持 $\Pi$ 是整个 $\Omega$. 那些对上句中的一些概念不完全满意的人可以放心，我们确实要处理的唯一观察空间非常简单:
- 有限集或可数集 $\Omega$ 它是离散的 (不同点之间的距离等于 1) 并且配备了计数测量П.
- 参数族 left 的分隔符缺失或无法识别
概率密度, wrtП, 这样
- 空间 $\mathcal{M}$ 的参数是一些凸集 $\mathbf{R}^{n}$ 与它的相对内部相吻合，
- 功能 $p_{\mu}(\omega): \mathcal{M} \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}$ 是连续的 $(\mu, \omega)$ 到处都是积极的。
- 有限维线性子空间 $\mathcal{F}$ 的连续函数空间 $\Omega$ 这样
- $\mathcal{F}$ 包含常数，
- 表格的所有功能 $\ln \left(p_{\mu}(\omega) / p_{\nu}(\omega)\right)$ 和 $\mu, \nu \in \mathcal{M}$ 包含在 $\mathcal{F}$ ，
- 对于每个 $\phi(\cdot) \in \mathcal{F} ，$ 功能
$$
\ln \left(\int_{\Omega} \mathrm{e}^{\phi(\omega)} p_{\mu}(\omega) \Pi(d \omega)\right)
$$
是实值的并且是凹的 $\mathcal{M}$.
统计代写|统计推断代写Statistical inference代考|Simple observation schemes—Examples
在高斯操作系统中，
- 观察空间 $(\Omega, \Pi)$ 是空间 $\mathbf{R}^{d}$ 用勒贝格测度；
- 家庭 lleft 的分隔符缺失或无法识别
是高斯密度族 $\mathcal{N}(\mu, \Theta)$, 具有固定的正定协方差矩阵 $\Theta ;$ 来自家庭的分布由他们 的期望参数化 $\mu$. 因此，
$\backslash$ left 的分隔符缺失或无法识别 - 家庭 $\mathcal{F}$ 是所有仿射函数的族 $\mathbf{R}^{d}$.
立即可以看出，Gaussian os 满足了对简单 os 的所有要求，例如，
$$
\ln \left(p_{\mu}(\omega) / p_{\nu}(\omega)\right)=(\nu-\mu)^{T} \Theta^{-1} \omega+\frac{1}{2}\left[\nu^{T} \Theta^{-1} \nu-\mu^{T} \Theta^{-1} \mu\right]
$$
是一个仿射函数 $\omega$ 因此属于 $\mathcal{F}$. 除此之外，还有一个功能 $\phi(\cdot) \in \mathcal{F}$ 是仿射的: $\phi(\omega)=a^{T} \omega+b$, 意味看
$\backslash$ left 的分隔符缺失或无法识别
是仿射 (因此是凹) 函数 $\mu$.
正如我们在第 1 章中记得的那样，Gaussian os 负责标准信号处理模型，其中给定一个噪声观察值
$$
\omega=A x+\xi \quad[\xi \sim \mathcal{N}(0, \Theta)]
$$
图像的 $A x$ 末知信号 $x \in \mathbf{R}^{n}$ 在已知的线性变换下 $d \times n$ 感知矩阵，目标是从这个观察中推断出一些关于 $x$. 在这种情况下，假设 $x$ 属于 某个集合 $X$ 转化为假设观察 $\omega$ 从具有已知协方差矩阵的高斯分布中得出 $\Theta$ 和已知属于集合的期望 $M=\mu=\$ \$ A x: x \in X$. 因此，决 定在哪里的各种假设 $x$ 位于降低到决定高斯 os 中观察分布的假设
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
