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贝叶斯分析，一种统计推断方法（以英国数学家托马斯-贝叶斯命名），允许人们将关于人口参数的先验信息与样本所含信息的证据相结合，以指导统计推断过程。
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统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|THE USE OF CONJUGATE PRIORS WITH LATENT VARIABLE
Earlier in this section, it was demonstrated that conjugate priors make Bayesian inference tractable when complete data is available. Example $3.1$ demonstrated this by showing how the posterior distribution can easily be identified when assuming a conjugate prior. Explicit computation of the evidence normalization constant with conjugate priors is often unnecessary, because the product of the likelihood together with the prior lead to an algebraic form of a well-known distribution.
As mentioned earlier, the calculation of the posterior normalization constant is the main obstacle in performing posterior inference. If this is the case, we can ask: do conjugate priors help in the case of latent variables being present in the model? With latent variables, the normalization constant is more complex, because it involves the marginalization of both the parameters and the latent variables. Assume a full distribution over the parameters $\theta$, latent variables $z$ and observed variables $x$ (both being discrete), which factorize as follows:
$$
p(\theta, z, x \mid \alpha)=p(\theta \mid \alpha) p(z \mid \theta) p(x \mid z, \theta)
$$
The posterior over the latent variables and parameters has the form (see Section $2.2 .2$ for a more detailed example of such posterior):
$$
p(\theta, z \mid x, \alpha)=\frac{p(\theta \mid \alpha) p(z \mid \theta) p(x \mid z, \theta)}{p(x \mid \alpha)}
$$
and therefore, the normalization constant $p(x \mid \alpha)$ equals:
$$
p(x \mid \alpha)=\sum_{z}\left(\int_{\theta} p(\theta) p(z \mid \theta) p(x \mid z, \theta) d \theta\right)=\sum_{z} D(z)
$$
where $D(z)$ is defined to be the term inside the sum above. Equation $3.6$ demonstrates that conjugate priors are useful even when the normalization constant requires summing over latent variables. If the prior family is conjugate to the distribution $p(X, Z \mid \theta)$, then the function $D(z)$ will be mathematically easy to compute for any $z$. However, it is not true that $\sum_{z} D(z)$ is always tractable, since the form of $D(z)$ can be quite complex.
统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|MIXTURE OF CONJUGATE PRIORS
Mixture models are a simple way to extend a family of distributions into a more expressive family. If we have a set of distributions $p_{1}(X), \ldots, p_{M}(X)$, then a mixture model over this set of distributions is parametrized by an $M$ dimensional probability vector $\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{M}\right)\left(\lambda_{i} \geq 0\right.$, $\left.\sum_{i} \lambda_{i}=1\right)$ and defines distributions over $X$ such that:
$$
p(X \mid \lambda)=\sum_{i=1}^{M} \lambda_{i} p_{i}(X)
$$
Section 1.5.3 gives an example of a mixture-of-Gaussians model. The idea of mixture models can also be used for prior families. Let $p(\theta \mid \alpha)$ be a prior from a prior family with $\alpha \in A$. Then, it is possible to define a prior of the form:
$$
p\left(\theta \mid \alpha^{1}, \ldots, \alpha^{M}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{M}\right)=\sum_{i=1}^{M} \lambda_{i} p\left(\theta \mid \alpha^{i}\right)
$$
where $\lambda_{i} \geq 0$ and $\sum_{i=1}^{M} \lambda_{i}=1$ (i.e., $\lambda$ is a point in the $M-1$ dimensional probability simplex). This new prior family, which is hyperparametrized by $\alpha^{i} \in A$ and $\lambda_{i}$ for $i \in{1, \ldots M}$ will actually be conjugate to a likelihood $p(x \mid \theta)$ if the original prior family $p(\theta \mid \alpha)$ for $\alpha \in A$ is also conjugate to this likelihood.
To see this, consider that when using a mixture prior, the posterior has the form:
$$
\begin{aligned}
p\left(\theta \mid x, \alpha^{1}, \ldots, \alpha^{M}, \lambda\right) &=\frac{p(x \mid \theta) p\left(\theta \mid \alpha^{1}, \ldots, \alpha^{M}\right.}{\int_{\theta} p(x \mid \theta) p\left(\theta \mid \alpha^{1}, \ldots, \alpha^{M}\right.} \
&=\frac{\sum_{i=1}^{\cdot M} \lambda_{i} p(x \mid \theta) p\left(\theta \mid \alpha^{I}\right)}{\sum_{i=1}^{M} \lambda_{i} Z_{i}}
\end{aligned}
$$
where
$$
Z_{i}=\int_{\theta} p(x \mid \theta) p\left(\theta \mid \alpha^{i}\right) d \theta
$$
Therefore, it holds that:
$$
p\left(\theta \mid x, \alpha^{1}, \ldots, \alpha^{M}, \lambda\right)=\frac{\sum_{i=1}^{M}\left(\lambda_{i} Z_{i}\right) p\left(\theta \mid x, \alpha^{i}\right)}{\sum_{i=1}^{M} \lambda_{i} Z_{i}}
$$
because $p(x \mid \theta) p\left(\theta \mid \alpha^{i}\right)=Z_{i} p\left(\theta \mid x, \alpha^{i}\right)$. Because of conjugacy, each $p\left(\theta \mid x, \alpha^{i}\right)$ is equal to $p\left(\theta \mid \beta^{i}\right)$ for some $\beta^{i} \in A(i \in{1, \ldots, M})$. The hyperparameters $\beta^{i}$ are the updated hyperparameters following posterior inference. Therefore, it holds:
$$
p\left(\theta \mid x, \alpha^{1}, \ldots, \alpha^{M}, \lambda\right)=\sum_{i=1}^{M} \lambda_{i}^{\prime} p\left(\theta \mid \beta^{i}\right)
$$
for $\lambda_{i}^{\prime}=\lambda_{i} Z_{i} /\left(\sum_{i=1}^{M} \lambda_{i} Z_{i}\right)$.
统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|RENORMALIZED CONJUGATE DISTRIBUTIONS
In the previous section, we saw that one could derive a more expressive prior family by using a basic prior distribution in a mixture model. Renormalizing a conjugate prior is another way to change the properties of a prior family while still retaining conjugacy.
Let us assume that a prior $p(\theta \mid \alpha)$ is defined over some parameter space $\Theta$. It is sometimes the case that we want to further constrain $\Theta$ into a smaller subspace, and define $p(\theta \mid \alpha)$ such that its support is some $\Theta_{0} \subset \Theta$. One way to do so would be to define the following distribution $p^{\prime}$ over $\Theta_{0}$ :
$$
p^{\prime}(\theta \mid \alpha)=\frac{p(\theta \mid \alpha)}{\int_{\theta^{\prime} \in \Theta_{0}} p\left(\theta^{\prime} \mid \alpha\right) d \theta^{\prime}} .
$$
This new distribution retains the same ratio between probabilities of elements in $\Theta_{0}$ as $p$, but essentially allocates probability 0 to any element in $\Theta \backslash \Theta_{0}$.
It can be shown that if $p$ is a conjugate family to some likelihood, then $p^{\prime}$ is conjugate to the same likelihood as well. This example actually demonstrates that conjugacy, in its pure form does not necessitate tractability by using the conjugate prior together with the corresponding likelihood. More specifically, the integral over $\Theta_{0}$ in the denominator of Equation $3.7$ can often be difficult to compute, and approximate inference is required.
The renormalization of conjugate distributions arises when considering probabilistic context-free grammars with Dirichlet priors on the parameters. In this case, in order for the prior to allocate zero probability to parameters that define non-tight PCFGs, certain multinomial distributions need to be removed from the prior. Here, tightness refers to a desirable property of a PCFG so that the total measure of all finite parse trees generated by the underlying context-free grammar is 1 . For a thorough discussion of this issue, see Cohen and Johnson (2013).
贝叶斯分析代考
统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|THE USE OF CONJUGATE PRIORS WITH LATENT VARIABLE
在本节的前面部分，证明了当有完整数据可用时，共轭先验使贝叶斯推理易于处理。例子3.1通过展示在假设共轭先验时如何轻松识别后 验分布来证明这一点。用共轭先验显式计算证据归一化常数通常是不必要的，因为似然与先验的乘积导致了一个众所周知的分布的代数形 式。
如前所述，后验归一化常数的计算是执行后验推理的主要障碍。如果是这种情况，我们可以问: 在模型中存在潜在变量的情况下，共轭先 验是否有帮助? 对于潜变量，归一化常数更复杂，因为它涉及参数和潜变量的边缘化。假设参数的完整分布 $\theta$, 潜变量 $z$ 和观察到的变量 $x$ (都是离散的)，其分解如下:
$$
p(\theta, z, x \mid \alpha)=p(\theta \mid \alpha) p(z \mid \theta) p(x \mid z, \theta)
$$
潜在变量和参数的后验具有形式 (参见第 $2.2 .2$ 有关此类后验的更详细示例) :
$$
p(\theta, z \mid x, \alpha)=\frac{p(\theta \mid \alpha) p(z \mid \theta) p(x \mid z, \theta)}{p(x \mid \alpha)}
$$
因此，归一化常数 $p(x \mid \alpha)$ 等于:
$$
p(x \mid \alpha)=\sum_{z}\left(\int_{\theta} p(\theta) p(z \mid \theta) p(x \mid z, \theta) d \theta\right)=\sum_{z} D(z)
$$
在哪里 $D(z)$ 被定义为上述总和内的项。方程 $3.6$ 证明即使在归一化常数需要对潜在变量求和时，共轭先验也是有用的。如果先前的家庭与 分布共轭 $p(X, Z \mid \theta)$, 那么函数 $D(z)$ 将在数学上很容易计算任何 $z$. 然而，事实并非如此 $\sum_{z} D(z)$ 总是易于处理的，因为 $D(z)$ 可能相当复杂。
统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|MIXTURE OF CONJUGATE PRIORS
混合模型是一种将分布族扩展到更具表现力的族的简单方法。如果我们有一组分布 $p_{1}(X), \ldots, p_{M}(X)$ ，然后在这组分布上的混合模型由 $M$ 维概率向量 $\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{M}\right)\left(\lambda_{i} \geq 0, \sum_{i} \lambda_{i}=1\right)$ 并定义分布 $X$ 这样:
$$
p(X \mid \lambda)=\sum_{i=1}^{M} \lambda_{i} p_{i}(X)
$$
1.5.3 节给出了一个混合高斯模型的例子。混合模型的思想也可以用于先验族。让 $p(\theta \mid \alpha)$ 来自以前的家庭 $\alpha \in A$. 然后，可以定义形式的 先验:
$$
p\left(\theta \mid \alpha^{1}, \ldots, \alpha^{M}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{M}\right)=\sum_{i=1}^{M} \lambda_{i} p\left(\theta \mid \alpha^{i}\right)
$$
在哪里 $\lambda_{i} \geq 0$ 和 $\sum_{i=1}^{M} \lambda_{i}=1$ (IE， $\lambda$ 是一个点 $M-1$ 维概率单纯形)。这个新的先验族，由 $\alpha^{i} \in A$ 和 $\lambda_{i}$ 为了 $i \in 1, \ldots M$ 实际上将与可 能性共轭 $p(x \mid \theta)$ 如果原来的前家人 $p(\theta \mid \alpha)$ 为了 $\alpha \in A$ 也与这种可能性共轭。
要看到这一点，请考虑在使用先验混合时，后验具有以下形式:
$$
p\left(\theta \mid x, \alpha^{1}, \ldots, \alpha^{M}, \lambda\right)=\frac{p(x \mid \theta) p\left(\theta \mid \alpha^{1}, \ldots, \alpha^{M}\right.}{\int_{\theta} p(x \mid \theta) p\left(\theta \mid \alpha^{1}, \ldots, \alpha^{M}\right.} \quad=\frac{\sum_{i=1}^{M} \lambda_{i} p(x \mid \theta) p\left(\theta \mid \alpha^{I}\right)}{\sum_{i=1}^{M} \lambda_{i} Z_{i}}
$$
在哪里
$$
Z_{i}=\int_{\theta} p(x \mid \theta) p\left(\theta \mid \alpha^{i}\right) d \theta
$$
因此，它认为:
$$
p\left(\theta \mid x, \alpha^{1}, \ldots, \alpha^{M}, \lambda\right)=\frac{\sum_{i=1}^{M}\left(\lambda_{i} Z_{i}\right) p\left(\theta \mid x, \alpha^{i}\right)}{\sum_{i=1}^{M} \lambda_{i} Z_{i}}
$$
因为 $p(x \mid \theta) p\left(\theta \mid \alpha^{i}\right)=Z_{i} p\left(\theta \mid x, \alpha^{i}\right)$. 由于共轭，每个 $p\left(\theta \mid x, \alpha^{i}\right)$ 等于 $p\left(\theta \mid \beta^{i}\right)$ 对于一些 $\beta^{i} \in A(i \in 1, \ldots, M)$. 超参数 $\beta^{i}$ 是后验推 断后更新的超参数。因此，它认为:
$$
p\left(\theta \mid x, \alpha^{1}, \ldots, \alpha^{M}, \lambda\right)=\sum_{i=1}^{M} \lambda_{i}^{\prime} p\left(\theta \mid \beta^{i}\right)
$$
为了 $\lambda_{i}^{\prime}=\lambda_{i} Z_{i} /\left(\sum_{i=1}^{M} \lambda_{i} Z_{i}\right)$.
统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|RENORMALIZED CONJUGATE DISTRIBUTIONS
在上一节中，我们看到可以通过在混合模型中使用基本先验分布来推导出更具表现力的先验族。重新归一化一个共轭先验是另一种改变先 验族属性同时仍保持共轭性的方法。
让我们假设先验 $p(\theta \mid \alpha)$ 在一些参数空间上定义 $\Theta$. 有时我们想进一步约束 $\Theta$ 进入一个较小的子空间，并定义 $p(\theta \mid \alpha)$ 这样它的支持是一些 $\Theta_{0} \subset \Theta .$ 一种方法是定义以下分布 $p^{\prime}$ 超过 $\Theta_{0}:$
$$
p^{\prime}(\theta \mid \alpha)=\frac{p(\theta \mid \alpha)}{\int_{\theta^{\prime} \in \Theta_{0}} p\left(\theta^{\prime} \mid \alpha\right) d \theta^{\prime}}
$$
这种新分布保留了元巀概率之间的相同比率 $\Theta_{0}$ 作为 $p$, 但本质上将概率 0 分配给 $\Theta \backslash \Theta_{0}$.
可以证明，如果 $p$ 是某个可能性的共轭族，则 $p^{\prime}$ 也与相同的可能性共轭。这个例子实际上证明了纯粹形式的共轭并不需要通过使用共轭先 验和相应的可能性来处理。更具体地说，积分超过 $\Theta_{0}$ 在方程的分母中 $3.7$ 通常很难计算，需要进行近似推断。
当考虑在参数上具有狄利克雷先验的概率无上下文文法时，会出现共轭分布的重整化。在这种情况下，为了使先验将零概率分配给定义非 $\mathrm{~ 萦 密 ~ P C F G ~ 的 参 数 ， 需 要 从 先 验 中 删 除 某 些 多 项 分 布 。 这 里 ， 学}$ 解析树的总度量为 1 。有关此问题的详细讨论，请参阅 Cohen 和 Johnson (2013)。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
