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贝叶斯分析，一种统计推断方法（以英国数学家托马斯-贝叶斯命名），允许人们将关于人口参数的先验信息与样本所含信息的证据相结合，以指导统计推断过程。
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统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|BAYESIAN TEXT REGRESSION
Even though Bayesian NLP has focused mostly on unsupervised learning, Bayesian inference in general is not limited to learning from incomplete data. It is also often used for prediction problems such as classification and regression where the training examples include both the inputs and the outputs of the model.
In this section, we demonstrate Bayesian learning in the case of text regression, predicting a continuous value based on a body of text. We will continue to use the notation from Section $2.2$ and denote a document by $d$, as a set of words and word count pairs. In addition, we will assume some continuous value that needs to be predicted, denoted by the random variable $Y$. To ground the example, $D$ can be a movie review, and $Y$ can be a predicted average number of stars the movie received by critics or its revenue (Joshi et al., 2010). The prediction problem is therefore to predict the number of stars a movie receives from the movie review text.
One possible way to frame this prediction problem is as a Bayesian linear regression problem. This means we assume that we receive as input for the inference algorithm a set of examples $\left(d^{(i)}, y^{(i)}\right)$ for $i \in{1, \ldots, n}$. We assume a function $f(d)$ that maps a document to a vector in $\mathbb{R}^{K}$. This is the feature function that summarizes the information in the document as a vector, and on which the final predictions are based. For example, $K$ could be the size of the vocabulary that the documents span, and $[f(d)] j$ could be the count of the $j$ th word in the vocabulary in document $d$.
A linear regression model typically assumes that there is a stochastic relationship between $Y$ and $d:$
$$
Y=\theta \cdot f(d)+\epsilon,
$$
where $\theta \in \mathbb{R}^{K}$ is a set of parameters for the linear regression model and $\epsilon$ is a noise term (with zero mean), most often framed as a Gaussian variable with variance $\sigma^{2}$. For the sake of simplicity, we assume for now that $\sigma^{2}$ is known, and we need not make any inference about it. As a result, the learning problem becomes an inference problem about $\theta$.
As mentioned above, $\epsilon$ is assumed to be a Gaussian variable under the model, and as such $Y$ itself is a Gaussian with mean value $\theta \cdot f(d)$ for any fixed $\theta$ and document $d$. The variance of $Y$ is $\sigma^{2}$
In Bayesian linear regression, we assume a prior on $\theta$, a distribution $p(\theta \mid \alpha)$. Consequently, the joint distribution over $\theta$ and $Y^{(i)}$ is:
$$
p\left(\theta, Y^{(1)}=y^{(1)}, \ldots, Y^{(n)}=y^{(n)} \mid d^{(1)}, \ldots, d^{(n)}, \alpha\right)=p(\theta \mid \alpha) \prod_{i=1}^{n} p\left(Y^{(i)}=y^{(i)} \mid \theta, d^{(i)}\right)
$$
统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|CONJUGATE PRIORS
Basic inference in the Bayesian setting requires computation of the posterior distribution (Chapter 2) -the distribution over the model parameters which is obtained by integrating the information from the prior distribution together with the observed data. Without exercising caution, and putting restrictions on the prion distribution or the likelihoud function, this inference can be intractable. When performing inference with incomplete data (with latent variables), this issue becomes even more severe. In this case, the posterior distribution is defined over both of the parameters and the latent variables.
Conjugate priors eliminate this potential intractability when no latent variables exist, and also help to a large extent when latent variables do exist in the model. A prior family is conjugate to a likelihood if the posterior, obtained as a calculation of
$$
\text { posterior }=\frac{\text { prior } \times \text { likelibood }}{\text { evidence }} \text {, }
$$
is also a member of the prior family.
We now describe this idea in more detail. We begin by describing the use of conjugate priors in the case of having empirical observations for all random variables in the model (i.e., without having any latent variables). Let $p(\theta \mid \alpha)$ be some prior with byperparameters $\alpha$. The hyperparameters by themselves are parameters-only instead of parametrizing the likelihood function, they parametrize the prior. They can be fixed and known, or be inferred. We assume the hyperparameters are taken from a set of hyperparameters $A$. In addition, let $p(X \mid \theta)$ be a distribution function for the likelihood of the observed data. We observe an instance of the random variable $X=x$. Posterior inference here means we need to identify the distribution $p(\theta \mid x)$. We say that the prior family $p(\theta \mid \alpha)$ is a a conjugate prior with respect to the likelihood $p(X \mid \theta)$ if the following holds for the posterior:
$$
p(\theta \mid x, \alpha)=p\left(\theta \mid \alpha^{\prime}\right),
$$
for some $\alpha^{\prime}=\alpha^{\prime}(x, \alpha) \in A$. Note that $\alpha^{\prime}$ is a function of the observation $x$ and $\alpha$, the hyperparameter with which we begin the inference. (This means that in order to compute the posterior, we need to be able to compute the function $\alpha^{\prime}(x, \alpha)$.)
The mathematical definition of conjugate priors does not immediately shed light on why they make Bayesian inference more tractable. In fact, according to the deinfition above, the use of a conjugate prior does not guarantee computational tractability. Conjugate priors are useful when the function $\alpha^{\prime}(x, \alpha)$ can be efficiently computed, and indeed this is often the case when conjugate priors are used in practice.
统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|CONJUGATE PRIORS AND NORMALIZATION CONSTANTS
Consider posterior inference in Equation 3.1. The key required calculation was computing the normalization constant $\int_{\theta} p(\theta \mid \alpha) p(x \mid \theta) d \theta$ in order to fully identify the posterior distribution. ${ }^{1}$ This normalization constant is also equal to $p(x \mid \alpha)$, since it is just a marginalization of $\theta$ from the joint distribution $p(\theta, x \mid \alpha)$.
Therefore, the key step required in computing the posterior is calculating $p(x \mid \alpha)$, also called “the evidence.” The posterior can be then readily evaluated at each point $\theta$ by dividing the product of the prior and the likelihood by the evidence.
The use of conjugate prior in Example $3.1$ eliminated the need to explicitly calculate this normalization constant, but instead we were able to calculate it more indirectly. Identifying that Equation $3.2$ has the algebraic form (up to a constant) of the normal distribution immediately dictates that the posterior is a normal variable with the appropriate $\alpha^{\prime}(x, \alpha)$. Therefore, explicitly computing the evidence $p(x \mid \alpha)$ is unnecessary, because the posterior was identified as a (normal) distribution, for which its density is fully known in an analytic form.
If we are interested in computing $p(x \mid \alpha)$, we can base our calculation on the well-known density of the normal distribution. Equation $3.1$ implies that for any choice of $\theta$, it holds that
$$
p(x \mid \alpha)=\int_{\theta} p(\theta \mid \alpha) p(x \mid \theta) d \theta=\frac{p(\theta \mid \alpha) p(x \mid \theta)}{p(\theta \mid x, \alpha)} .
$$
This is a direct result of applying the chain rule in both directions:
$$
p(x, \theta \mid \alpha)=p(x \mid \alpha) p(\theta \mid \alpha, x)=p(\theta \mid \alpha) p(x \mid \theta, \alpha)
$$
贝叶斯分析代考
统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|BAYESIAN TEXT REGRESSION
尽管贝叶斯 NLP 主要专注于无监督学习，但贝叶斯推理通常不限于从不完整的数据中学习。它还经常用于预测问题，例如分类和回归， 其中训练示例包括模型的输入和输出。
在本节中，我们在文本回归的情况下演示贝叶斯学习，基于文本主体预测连续值。我们将继续使用 Section 中的符号 $2.2$ 并通过 $d$ ，作为一 组单词和单词计数对。此外，我们将假设一些需要预测的连续值，用随机变量表示 $Y$. 为了举例说明， $D$ 可以是电影评论，并且 $Y$ 可以是 电影评论家获得的预测平均明星数量或其收入 (Joshi 等，2010) 。因此，预测问题是预测电影从电影评论文本中获得的明星数量。
构建此预测问题的一种可能方法是作为贝叶斯线性回归问题。这意味着我们假设我们收到一组示例作为推理算法的输入 $\left(d^{(i)}, y^{(i)}\right)$ 为了 $i \in 1, \ldots, n$. 我们假设一个函数 $f(d)$ 将文档映射到向量 $\mathbb{R}^{K}$. 这是一个特征函数，它将文档中的信息总结为一个向量，并且最终的预测是 基于它的。例如， $K$ 可以是文档跨越的词汇表的大小，并且 $[f(d)] j$ 可能是 $j$ 文档中词汇表中的第 th 个单词 $d$.
线性回归模型通常假设两者之间存在随机关系 $Y$ 和 $d:$
$$
Y=\theta \cdot f(d)+\epsilon
$$
在哪里 $\theta \in \mathbb{R}^{K}$ 是线性回归模型的一组参数，并且 $\epsilon$ 是一个橾声项（均值为零），最常见的框架是具有方差的高斯变量 $\sigma^{2}$. 为了简单起见， 我们现在假设 $\sigma^{2}$ 是已知的，我们不需要对它做任何推断。结果，学习问题变成了关于 $\theta$.
正如刚才提到的， $\epsilon$ 被假设为模型下的高斯变量，因此 $Y$ 本身是具有平均值的高斯 $\theta \cdot f(d)$ 对于任何固定 $\theta$ 和文件 $d$. 的方差 $Y$ 是 $\sigma^{2}$ 在贝叶斯线性回归中，我们假设先验 $\theta, 一$ 个分布 $p(\theta \mid \alpha)$. 因此，联合分布 $\theta$ 和 $Y^{(i)}$ 是:
$$
p\left(\theta, Y^{(1)}=y^{(1)}, \ldots, Y^{(n)}=y^{(n)} \mid d^{(1)}, \ldots, d^{(n)}, \alpha\right)=p(\theta \mid \alpha) \prod_{i=1}^{n} p\left(Y^{(i)}=y^{(i)} \mid \theta, d^{(i)}\right)
$$
统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|CONJUGATE PRIORS
贝叶斯设置中的基本推理需要计算后验分布 (第 2 章) 一通过将来自先验分布的信息与观察到的数据相结合而获得的模型参数分布。 如果不谨慎行事，并对朊病毒分布或似然函数施加限制，这种推论可能难以处理。当使用不完整的数据 (使用潜在变量) 进行推理时，这 个问题变得更加严重。在这种情况下，后验分布是在参数和潜在变量上定义的。
当不存在潜在变量时，共轭先验消除了这种潜在的难处理性，并且在模型中确实存在潜在变量时也在很大程度上有所帮助。如果后验，则 先验族与似然共轭，作为计算获得
$$
\text { posterior }=\frac{\text { prior } \times \text { likelibood }}{\text { evidence }}
$$
也是先前家庭的成员。
我们现在更详细地描述这个想法。我们首先描述在对模型中的所有随机变量进行经验观察的情况下使用共轭先验（即，没有任何潜在变 量)。让 $p(\theta \mid \alpha)$ 通过参数先验一些 $\alpha$. 超参数本身只是参数，而不是参数化似然函数，它们参数化先验。它们可以是固定的和已知的，也 可以是推断的。我们假设超参数取自一组超参数 $A$. 此外，让 $p(X \mid \theta)$ 是观测数据的可能性的分布函数。我们观䕓随机变量的一个实例 $X=x$. 这里的后验推断意味着我们需要识别分布 $p(\theta \mid x)$. 我们说先前的家庭 $p(\theta \mid \alpha)$ 是关于似然的一个共轭先验 $p(X \mid \theta)$ 如果以下适用 于后验:
$$
p(\theta \mid x, \alpha)=p\left(\theta \mid \alpha^{\prime}\right)
$$
对于一些 $\alpha^{\prime}=\alpha^{\prime}(x, \alpha) \in A$. 注意 $\alpha^{\prime}$ 是观察的函数 $x$ 和 $\alpha$ ，我们开始推理的超参数。（这意味着为了计算后验，我们需要能够计算函数 $\left.\alpha^{\prime}(x, \alpha) .\right)$
共轭先验的数学定义并没有立即阐明为什么它们使贝叶斯推理更容易处理。事实上，根据上面的定义，使用共轭先验并不能保证计算的易 处理性。共轭先验是有用的，当函数 $\alpha^{\prime}(x, \alpha)$ 可以有效地计算，实际上在实践中使用共轭先验时经常出现这种情况。
统计代写|贝叶斯分析代写Bayesian Analysis代考|CONJUGATE PRIORS AND NORMALIZATION CONSTANTS
考虑公式 $3.1$ 中的后验推断。所需计算的关键是计算归一化常数 $\int_{\theta} p(\theta \mid \alpha) p(x \mid \theta) d \theta$ 为了充分识别后验分布。1这个归一化常数也等于 $p(x \mid \alpha)$, 因为它只是边缘化 $\theta$ 从联合分布 $p(\theta, x \mid \alpha)$.
因此，计算后验所需的关键步骤是计算 $p(x \mid \alpha)$ ，也称为“证据“然后可以很容易地在每个点评估后验 $\theta$ 通过将先验和可能性的乘积除以 证据。
示例中共轭先验的使用 $3.1$ 消除了显式计算这个归一化常数的需要，但是我们能够更间接地计算它。识别该方程 $3.2$ 具有正态分布的代数形 式 (直到一个常数) 立即表明后验是具有适当的正态变量 $\alpha^{\prime}(x, \alpha)$. 因此，明确计算证据 $p(x \mid \alpha)$ 是不必要的，因为后验被确定为（正 态) 分布，其密度以解析形式完全已知。
如果我们对计算感兴趣 $p(x \mid \alpha)$ ，我们可以根据众所周知的正态分布密度进行计算。方程 $3.1$ 意味着对于任何选择 $\theta$ ，它认为
$$
p(x \mid \alpha)=\int_{\theta} p(\theta \mid \alpha) p(x \mid \theta) d \theta=\frac{p(\theta \mid \alpha) p(x \mid \theta)}{p(\theta \mid x, \alpha)} .
$$
这是在两个方向上应用链式法则的直接结果:
$$
p(x, \theta \mid \alpha)=p(x \mid \alpha) p(\theta \mid \alpha, x)=p(\theta \mid \alpha) p(x \mid \theta, \alpha)
$$
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
