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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Statistics of Extrema

In many cases we are interested in estimating the maximum or minimum of a set of random variables. Let $\left{X_{j}\right}_{j=1}^{n}$ be a sequence of i.i.d. random variables, and let
$$M_{n}=\max \left{X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right} .$$
We would like to study the distribution of $M_{n}$ as $n \rightarrow \infty$. The statistics of the minimum $m_{n}=\min \left{X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right}$ can be obtained similarly based on the fact that
$$\min \left{X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right}=-\max \left{-X_{1},-X_{2}, \ldots,-X_{n}\right} .$$
Example 2.11. Assume that $X_{j}$ is exponentially distributed; i.e., if we denote by $\rho(x)$ the probability density function of $X_{j}$, then
$$\rho(x)= \begin{cases}e^{-x}, & \text { if } x>0 \ 0, & \text { if } x \leq 0\end{cases}$$
Then $\mathbb{P}\left(X_{j}0$ and
\begin{aligned} \mathbb{P}\left(M_{n} \leq x\right) &=\mathbb{P}\left(X_{j} \leq x \text { for all } j=1,2, \ldots, n\right) \ &=\prod_{j=1}^{n} \mathbb{P}\left(X_{j} \leq x\right)=\left(1-e^{-x}\right)^{n} \end{aligned}
This remains true even if $x$ depends on $n$. We will choose $x=x_{n}$ such that $\left(1-e^{-x_{n}}\right)^{n}$ has a nontrivial limit. For this purpose, we let
$$x_{n}=-\log \left(e^{-x}\right)+\log n=x+\log n .$$
Then
$$\mathbb{P}\left(M_{n} \leq x_{n}\right)=\left(1-e^{-x_{n}}\right)^{n}=\left(1-\frac{e^{-x}}{n}\right)^{n} \rightarrow e^{-e^{-x}}$$
as $n \rightarrow \infty$. In other words,
$$\mathbb{P}\left{M_{n} \leq x+\log n\right} \rightarrow e^{-e^{-x}} .$$
In particular, $M_{n}$ grows like $\log n$ as $n \rightarrow \infty$.

## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Discrete Time Finite Markov Chains

Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be the probability space. A Markov chain is a sequence of parameterized random variables $\left{X_{t}\right}_{t \in \mathbf{T}}$ with the so-called Markov property, to be introduced below, where $\mathbf{T}$ is the index set. When $\mathbf{T}=\mathbb{N}$, we denote the random variables as $\left{X_{n}\right}_{n \in \mathbb{N}}$, and this is the case that we will consider in this chapter. We assume that $X_{n}$ takes values in the state space $S$.

Example 3.1 (Symmetric random walk). Consider the sequence of random variables $\left{\xi_{j}\right}_{j=1}^{\infty}$, where the $\left{\xi_{j}\right}$ ‘s are i.i.d and $\xi_{j}=\pm 1$ with probability 1/2. Let
$$X_{n}=\sum_{j=1}^{n} \xi_{j} .$$
$\left{X_{n}\right}_{n \in \mathbb{N}}$ is a symmetric random walk on $\mathbb{Z}$, the set of integers.
Given $X_{n}=i$, we have
$$\mathbb{P}\left(X_{n+1}=i \pm 1 \mid X_{n}=i\right)=\mathbb{P}\left(\xi_{n+1}=\pm 1\right)=\frac{1}{2}$$
and $\mathbb{P}\left(X_{n+1}=\right.$ anything else $\left.\mid X_{n}=i\right)=0$. We see that, knowing $X_{n}$, the distribution of $X_{n+1}$ is completely determined. In other words,
$$\text { (3.1) } \mathbb{P}\left(X_{n+1}=i_{n+1} \mid\left{X_{m}=i_{m}\right}_{m=0}^{n}\right)=\mathbb{P}\left(X_{n+1}=i_{n+1} \mid X_{n}=i_{n}\right) \text {; }$$
i.e., the probability of $X_{n+1}$ conditional on the whole past history of the sequence, $\left{X_{m}\right}_{m=0}^{n}$, is equal to the probability of $X_{n+1}$ conditional on the latest value alone, $X_{n}$. The sequence (or process) $\left{X_{n}\right}_{n \in \mathbb{N}}$ is called a Markov process. In contrast, instead we consider
$$Y_{n}=\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\xi_{j}+1\right) \xi_{j+1}$$
$\left{Y_{n}\right}_{n \in \mathbb{N}}$ is also a kind of random walk on $\mathbb{Z}$, but with a bias: the walk stops if the last move was to the left, and it remains there until some subsequent $\xi_{j}=+1$. It is easy to see that
$$\mathbb{P}\left(Y_{n+1}=i_{n+1} \mid\left{Y_{m}=i_{m}\right}_{m=0}^{n}\right) \neq \mathbb{P}\left(Y_{n+1}=i_{n+1} \mid Y_{n}=i_{n}\right)$$
and the sequence $\left{Y_{n}\right}_{n \in \mathbb{N}}$ is not a Markov process.

## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Statistics of Extrema

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$$\rho(x)=\left{e^{-x}, \quad \text { if } x>00, \quad \text { if } x \leq 0\right.$$

$$\mathbb{P}\left(M_{n} \leq x\right)=\mathbb{P}\left(X_{j} \leq x \text { for all } j=1,2, \ldots, n\right) \quad=\prod_{j=1}^{n} \mathbb{P}\left(X_{j} \leq x\right)=\left(1-e^{-x}\right)^{n}$$

$$x_{n}=-\log \left(e^{-x}\right)+\log n=x+\log n .$$

$$\mathbb{P}\left(M_{n} \leq x_{n}\right)=\left(1-e^{-x_{n}}\right)^{n}=\left(1-\frac{e^{-x}}{n}\right)^{n} \rightarrow e^{-e^{-x}}$$

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## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Discrete Time Finite Markov Chains

，这就是我 们将在本章中考虑的情况。我们假设 $X_{n}$ 在状态空间中取值 $S$.

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$$X_{n}=\sum_{j=1}^{n} \xi_{j}$$
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$$\mathbb{P}\left(X_{n+1}=i \pm 1 \mid X_{n}=i\right)=\mathbb{P}\left(\xi_{n+1}=\pm 1\right)=\frac{1}{2}$$

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，等于概率 $X_{n+1}$ 仅以最新值为条件， $X_{n}$.

$$Y_{n}=\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\xi_{j}+1\right) \xi_{j+1}$$
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## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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