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随机控制或随机最优控制是控制理论的一个子领域，它涉及到观察中或驱动系统演变的噪声中存在的不确定性。
随机控制或随机最优控制是控制理论的一个子领域，它涉及到观察中或驱动系统进化的噪声中存在的不确定性。系统设计者以贝叶斯概率驱动的方式假设，具有已知概率分布的随机噪声会影响状态变量的演变和观察。随机控制的目的是设计受控变量的时间路径，以最小的成本执行所需的控制任务，尽管存在这种噪声，但以某种方式定义。
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统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|An equivalent formulation
We recall a variational formula from [1] (Theorem $3.3$ of ibid. specialized to the constant control case). Define
$$
\mathscr{G}:=\left{\zeta(d x, d y)=\zeta_{0}(d x) \zeta_{1}(d y \mid x) \in \mathscr{P}\left(S_{0} \times S_{0}\right): \int_{S_{0}} \zeta_{0}(d x) \zeta_{1}(d y \mid x)=\zeta_{0}(d y)\right}
$$
that is, $\zeta_{0}(d x)$ is invariant under the transition kernel $\zeta_{1}(d y \mid x)$. Then Theorem $3.3$ of [1] states that
$$
\Gamma_{\phi}=\max {\zeta \in \mathscr{G}}\left[\int \zeta(d x, d y)\left(c{\phi}(x)-D\left(\zeta_{1}(d y \mid x) | q_{\phi}(d y \mid x)\right)\right)\right]
$$
where $D(\cdot | \cdot)$ is the Kullback-Leibler divergence or ‘relative entropy’ defined by
$$
\begin{aligned}
D\left(\mu | \mu^{\prime}\right) &:=\int \mu(d z) \log \left(\frac{d \mu}{d \mu^{\prime}}(x)\right) \text { if } \mu \ll \mu^{\prime} \
&=\infty \quad \text { otherwise. }
\end{aligned}
$$
统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Remarks on computational schemes
Problem $P^{*}$ has linear constraints that are separate in the two variables $\gamma$, $\zeta$, but the reward is not separable. The reward function is in fact strictly concave in each variable when the other variable is kept constant, but it is not jointly concave, which makes the problem hard. Strict concavity implies that the maximizer in either variable with the other kept fixed is unique and depends continuously on the latter. Using this, it is easy to see that alternating maximization will lead to a local maximum.
Note that once $\zeta$ is fixed, the constrained maximization with respect to $\gamma$ is a linear program for an ergodic control problem, whereas once $\gamma$ is fixed, the constrained maximization with respect to $\zeta$ is a concave maximization problem which too can be made into a linear program by considering RSMP in place of SMP which means $\mathscr{P}\left(\mathscr{P}\left(S_{0}\right)\right)$-valued controls. Thus alternating maximization amounts to alternating linear programs. In principle one could replace these linear programs by alternative computational schemes such as policy or value iteration, see, e.g., [8], [11]. The difficulty here is that while this is possible for control of $\left{X_{n}\right}$ with $\zeta^{1}$ frozen, it is not so easy for control of $\left{Y_{n}\right}$ with $\phi$ fixed, because there is no irreducibility type condition available that would be required for justifying such schemes. In fact this is so even when $S_{0}$ is finite, because the control space is not. If one approximates the control space by a finite set as well, then one has the extended linear and dynamic programming formulations that cover the general case ([13], Chapter 9). All this is for a fixed value of $\Lambda$, the Lagrange multiplier which is unknown.
To solve the overall constrained optimization problem, one has to also recursively learn the Lagrange multiplier using a ‘primal-dual’ philosophy. That is, run the iteration
$$
\Lambda_{n+1}=\left[\Lambda_{n}-s\left(\eta+\Gamma_{n}\right)\right]^{+} .
$$
随机控制代写
统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|An equivalent formulation
我们回忆起 [1] 中的一个变分公式 (定理 $3.3$ 同上。专门用于恒定控制情况) 。定义
\left 的分隔符缺失或无法识别
那是， $\zeta_{0}(d x)$ 在转移核下是不变的 $\zeta_{1}(d y \mid x)$. 那么定理 $3.3[1]$ 指出
$$
\Gamma_{\phi}=\max \zeta \in \mathscr{G}\left[\int \zeta(d x, d y)\left(c \phi(x)-D\left(\zeta_{1}(d y \mid x) \mid q_{\phi}(d y \mid x)\right)\right)\right]
$$
在哪里 $D(\cdot \mid \cdot)$ 是由定义的 Kullback-Leibler 散度或”相对樀”
$$
D\left(\mu \mid \mu^{\prime}\right):=\int \mu(d z) \log \left(\frac{d \mu}{d \mu^{\prime}}(x)\right) \text { if } \mu \ll \mu^{\prime} \quad=\infty \quad \text { otherwise. }
$$
统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Remarks on computational schemes
问题 $P^{*}$ 具有在两个变量中分开的线性约束 $\gamma, \zeta$ ，但奖励是不可分割的。当另一个变量保持不变时，奖励函数实际上在每个变量中都是严格凹的，但它不是联合凹 的，这使得问题变得困难。严格的凹度意味着任何一个变量中的最大化器与另一个保持固定是唯一的并且持续依赖于后者。使用它，很容易看出交替最大化将导 致局部最大值。
请注意，一旦 $\zeta$ 是固定的，约束最大化关于 $\gamma$ 是遍历控制问题的线性规划，而一旦 $\gamma$ 是固定的，约束最大化关于 $\zeta$ 是一个凹最大化问题，也可以通过考虑 RSMP 代替 SMP 将其转化为线性规划，这意味着 $\mathscr{P}\left(\mathscr{P}\left(S_{0}\right)\right)$ 值控制。因此，交替最大化相当于交替线性程序。原则上，可以用诸如策略或值迭代之类的替代计算方案来代 替这些线性程序，参见例如[8]、[11]。这里的困难在于，虽然这对于控制 $\backslash 1$ eft 的分隔符缺失或无法识别 和 $\zeta^{1}$ 冰冻的，控制起来没那么容易 \eft 的分隔符缺失或无法识别 和 $\phi$ 固定的，因为没有可用的不可约性类型条件来证明此类方案的合理性。事实上，即使当 $S_{0}$ 是有限的，因为控 制空间不是。如果一个人也通过一个有限集来近似控制空间，那么一个人就有了涵盖一般情况的扩展线性和动态规划公式 ([13]，第 9 章)。这一切都是为了一 个固定的价值 $\Lambda$ ，末知的拉格朗日乘数。
为了解决整体约束优化问题，还必须使用“原始对偶 哲学递归地学习拉格朗日乘数。也就是说，运行迭代
$$
\Lambda_{n+1}=\left[\Lambda_{n}-s\left(\eta+\Gamma_{n}\right)\right]^{+} .
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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