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## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Amarjit Budhiraja and Michael Conroy

We can now present the main result of this work.
Theorem 2. The following inequalities hold: $J_{D}^{} \geq \tilde{J}{D}^{}$ and $J{E}^{} \geq \tilde{J}{E}^{}$.
Remark 1. In [5], under quite general conditions on the matrix $K$ and assuming that network primitives (namely the interarrival times and amounts of work) are exponentially distributed, explicit threshold form admissible control policies $\left{B^{r *}\right}$ are constructed for which $J{D}^{r}\left(B^{r * }\right) \rightarrow \tilde{J}{D}\left(U^{}\right)$ and, under the additional condition that $v<0, J{E}^{r}\left(B^{r, *}\right) \rightarrow \tilde{J}{E}\left(U^{\prime}\right)$. In view of Theorems 1 and 2 , we then have that under the conditions of [5] and with the additional assumption that $\hat{h}$ is nondecreasing, the sequence of control policies $\left{B^{r, *}\right}$ of $[5]$ is asymptotically optimal for the discounted cost problem, and if also $v<0$, this sequence is also asymptotically optimal for the ergodic control problem, namely we have the following $$\tilde{J}{D}^{} \leq J_{D}^{} \leq \liminf {r \rightarrow \infty} J{D}^{r}\left(B^{r, }\right)=\tilde{J}{D}^{},$$
and
$$\tilde{J}{E}^{} \leq J_{E}^{} \leq \liminf {r \rightarrow \infty} J{E}^{r}\left(B^{r, }\right)=\tilde{J}{E}^{}$$
In particular, $J{D}^{}=\tilde{J}{D}^{}$ and $J{E}^{}=\tilde{J}_{E}^{}$.
The rest of this work is devoted to the proof of Theorem $2 .$

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Preliminary results

We begin by establishing some useful asymptotic results and moment bounds.
Lemma 1. 1. The following central limit theorem holds:
$$\left(\hat{A}^{r}, \hat{S}^{r}\right) \Rightarrow(A, S) \quad \text { as } r \rightarrow \infty,$$
where $A$ and $S$ are independent J-dimensional Brownian motions with drift 0 and covariances $\Sigma^{u}$ and $\Sigma^{v}$, respectively.

1. The following law of large numbers holds:
$$\left(\bar{Q}^{r}, \bar{B}^{r}, \bar{A}^{r}, \bar{S}^{r}\right) \stackrel{P}{\rightarrow}(0, \rho l, \alpha \imath, \beta \imath) \quad \text { as } r \rightarrow \infty .$$
2. If $X=A+S(\rho l)$, then $X$ is a Brownian motion with drift 0 and covariance $\Sigma$, and
$$\left(\hat{A}^{r}, \hat{S}^{r}\left(\bar{B}^{r}\right), \hat{X}^{r}\right) \Rightarrow(A, S(\rho v), X) \quad \text { as } r \rightarrow \infty .$$
Proof. The first statement is just the functional central limit theorem for renewal processes (see Theorem $14.6$ in [1]), and the independence of $A$ and $S$ follows from the independence of $\left{u_{j}^{r}(k)\right}$ and $\left{v_{j}^{r}(k)\right}$. The last statement is immediate from the first two. It remains to prove the law of large numbers in $2 .$
From the first statement, it follows that
$$\left(\bar{A}^{r}, \bar{S}^{r}\right)=\left(\frac{\hat{A}^{r}}{r}+\alpha^{r} \imath, \frac{\hat{S}^{r}}{r}+\beta^{r} \imath\right) \stackrel{P}{\rightarrow}(\alpha l, \beta \imath) .$$

# 随机控制代写

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Amarjit Budhiraja and Michael Conroy

\left 的分隔符缺失或无法识别 是为哪个而建造的 $J D^{r}\left(B^{r *}\right) \rightarrow \tilde{J} D(U)$ 并且，在附加条件下 $v<0, J E^{r}\left(B^{r, *}\right) \rightarrow \tilde{J} E\left(U^{\prime}\right)$. 鉴于定理 1 和
2，我们可以在 [5] 的条件下得到它，并附加假设: $\hat{h}$ 是非递减的，控制策略的序列 \1eft 的分隔符缺失或无法识别

$$\tilde{J} D \leq J_{D} \leq \liminf r \rightarrow \infty J D^{r}\left(B^{r}\right)=\tilde{J} D,$$
$$\tilde{J} E \leq J_{E} \leq \lim \inf r \rightarrow \infty J E^{r}\left(B^{r,}\right)=\tilde{J} E$$

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Preliminary results

$$\left(\hat{A}^{r}, \hat{S}^{r}\right) \Rightarrow(A, S) \quad \text { as } r \rightarrow \infty$$

1. 以下大数定律成立:
$$\left(\bar{Q}^{r}, \bar{B}^{r}, \bar{A}^{r}, \bar{S}^{r}\right) \stackrel{P}{\rightarrow}(0, \rho l, \alpha \imath, \beta \imath) \quad \text { as } r \rightarrow \infty .$$
2. 如果 $X=A+S(\rho l)$ ，然后 $X$ 是具有漂移 0 和协方差的布朗运动 $\Sigma$ ，和
$$\left(\hat{A}^{r}, \hat{S}^{r}\left(\bar{B}^{r}\right), \hat{X}^{r}\right) \Rightarrow(A, S(\rho v), X) \quad \text { as } r \rightarrow \infty .$$
证明。第一个陈述只是更新过程的功能中心极限定理（参见定理 $14.6$ 在 [1]中），以及独立性 $A$ 和 $S$ 遵循独立性
\left 的分隔符缺失或无法识别 和 \left 的分隔符缺失或无法识别 .最后一个语句直接来自前两个语句。大数定律还有待 证明 2 .
从第一个声明中可以看出
$$\left(\bar{A}^{r}, \bar{S}^{r}\right)=\left(\frac{\hat{A}^{r}}{r}+\alpha^{r} \imath, \frac{\hat{S}^{r}}{r}+\beta^{r} \imath\right) \stackrel{P}{\rightarrow}(\alpha l, \beta \imath) .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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