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随机控制或随机最优控制是控制理论的一个子领域,它涉及到观察中或驱动系统演变的噪声中存在的不确定性。

随机控制或随机最优控制是控制理论的一个子领域,它涉及到观察中或驱动系统进化的噪声中存在的不确定性。系统设计者以贝叶斯概率驱动的方式假设,具有已知概率分布的随机噪声会影响状态变量的演变和观察。随机控制的目的是设计受控变量的时间路径,以最小的成本执行所需的控制任务,尽管存在这种噪声,但以某种方式定义。

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统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|MATH69122

统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Dynamic Risk Measures

We now discuss an extension of the (static) risk measure $\rho$ in Definition $4.4$ to a dynamic risk measure $\rho_{t} ; 0 \leq t \leq T$.

Definition 4.14 A dynamic risk measure is a map $\rho$ which to each bounded stopping time $\tau$ and each $\xi \in L^{2}\left(\mathcal{F}{\tau}\right)$ assigns an adapted càdlàg process $\left(\rho{t}(\xi, \tau)\right){[0 \leq t \leq \tau]}$ which is non-increasing, translation invariant and consistent, in the sense that $$ \forall t \leq S, \rho{t}(\xi, \tau)=\rho_{t}\left(-\rho_{S}(\xi, \tau), S\right) \text { a.s. }
$$
for all stopping times $S \leq \tau$.
Moreover we say that the risk measure satisfies

  • the zero-one law property if $\rho_{t}\left(\mathbf{1}{A} \xi, T\right)=\mathbf{1}{A} \rho_{t}(\xi, T)$ a.s for $t \leq T, A \in \mathcal{F}{t}$, and $\xi \in L^{2}\left(\mathcal{F}{T}\right) .$
  • the no arbitrage property if
    $\left{\xi^{1} \geq \xi^{2}\right.$ a.s. and $\rho_{t}\left(\xi^{1}, \tau\right)=\rho_{t}\left(\xi^{2}, \tau\right)$ a.s. on some $\left.A \in \mathcal{F}_{t}, t \leq \tau\right} \Longrightarrow\left{\xi^{1}=\xi^{2}\right.$ a.s. on $A}$. a.s. on $A}$.

A natural way to construct dynamic risk measures is by means of BSDEs as follows:
Let $g$ be a Lipschitz driver, which does not depend on $y$ and such that $E\left[\int_{0}^{T} g^{2}(t, 0,0) \mathrm{d} t\right]<\infty$. We assume that $g$ satisfies (4.4.5)-(4.4.4) with $\theta(t, \zeta)>$ $-1$. For a given stopping time $\tau \leq T$ and $\xi \in L^{2}\left(\mathcal{F}{T}\right)$, define the functional: $$ \rho{t}^{g}(\xi, \tau):=-Y_{g}^{(\xi)}(t), \quad 0 \leq t \leq \tau,
$$
where $Y_{g}^{(\xi)}$ denotes the solution of the BSDE with terminal condition $\xi$ and terminal time $\tau$. Then $\rho^{g}$ defines a dynamic risk measure in the sense of Definition 4.14. To see this, we note that the consistency (4.5.2) follows from the flow property of BSDEs (see [QS]).

Moreover, the no-arbitrage property follows from the strict comparison theorem for BSDEs. We also note that if $g(t, 0,0)=0$, then the zero-one law holds. The dynamic risk measure is convex if $g$ is concave.

It is natural to ask about the converse: When can a dynamic risk-measure be represented by a BSDE with jumps? The following proposition gives an answer.

统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|A Dual Representation of Convex Risk Measures

In Sect. $4.5$ we saw that BSDEs can be used to define convex risk measures. With this representation the problem of risk minimization becomes a problem of stochastic control of FBSDEs, as we shall see in Sects. $5.4$ and 6.2. There is another representation of convex risk measures based on convex duality methods. It goes as follows:
Theorem $4.16$ (Convex Duality Representation of Convex Risk Measures) Every convex risk measure $\rho: L^{\infty}\left(\mathcal{F}{T}, P\right) \rightarrow \mathbb{R}$ is of the following form: $$ \rho(X)=\sup {Q \in \mathcal{P}}\left{E_{Q}[-X]-\alpha(Q)\right} ; X \in L^{\infty}\left(\mathcal{F}{T}, P\right) $$ where $\mathcal{P}$ is a family of probability measures $Q \ll P$ and $\alpha: \mathcal{P} \rightarrow \mathbb{R}$ is a convex function, usually called a penalty function. See [FS],FR]. For example, $\mathcal{P}$ could be the set $\mathcal{P}{\Theta}$ of probability measures $Q_{\theta}$ defined by
$$
\mathrm{d} Q_{\theta}(\omega)-M_{\theta}(T) \mathrm{d} P(\omega) \text { on } \mathcal{J}{T} $$ where $\theta$ denotes the process $\left(\theta{0}(t), \theta_{1}(t, \zeta)\right)$ and $M_{\theta}(t)$ is the martingale defined by
$$
\left{\begin{array}{l}
\mathrm{d} M_{\theta}(t)=M_{\theta}\left(t^{-}\right)\left[\theta_{0}(t) \mathrm{d} B(t)+\int_{\mathbb{R}} \theta_{1}(t, \zeta) \tilde{N}(\mathrm{~d} t, \mathrm{~d} \zeta)\right] ; t \geq 0 \
M_{\theta}(0)=1 .
\end{array}\right.
$$

统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|MATH69122

随机控制代写

统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Dynamic Risk Measures

我们现在讨论 (静态) 风险度量的扩展 $\rho$ 在定义 $4.4$ 动态风险度量 $\rho_{t} ; 0 \leq t \leq T$.
定义 $4.14$ 动态风险度量是一张地图 $\rho$ 每个有界停止时间 $\tau$ 并且每个 $\xi \in L^{2}(\mathcal{F} \tau)$ 分配一个适应的 càdlàg 过程 $(\rho t(\xi, \tau))[0 \leq t \leq \tau]$ 它是非 增加的、平移不变的和一致的,在这个意义上
$$
\forall t \leq S, \rho t(\xi, \tau)=\rho_{t}\left(-\rho_{S}(\xi, \tau), S\right) \text { a.s. }
$$
所有停车时间 $S \leq \tau$.
此外,我们说风险度量满足

  • 零一法则属性 if $\rho_{t}(\mathbf{1} A \xi, T)=\mathbf{1} A \rho_{t}(\xi, T)$ 至于 $t \leq T, A \in \mathcal{F} t$ , 和 $\xi \in L^{2}(\mathcal{F} T)$.
  • 无套利属性 if
    left 的分隔符缺失或无法识别
    一个儿子额外的闭括号或缺少开括号
    构建动态风险度量的一种自然方法是使用BSDE,如下所示: $g$ 做一个 Lipschitz 驱动程序,它不依赖于 $y$ 并且这样
    $E\left[\int_{0}^{T} g^{2}(t, 0,0) \mathrm{d} t\right]<\infty$. 我们假设 $g$ 满足 (4.4.5)-(4.4.4) 与 $\theta(t, \zeta)>-1$. 对于给定的停止时间 $\tau \leq T$ 和 $\xi \in L^{2}(\mathcal{F} T)$ ,定义泛函:
    $$
    \rho t^{g}(\xi, \tau):=-Y_{g}^{(\xi)}(t), \quad 0 \leq t \leq \tau
    $$
    在哪里 $Y_{g}^{(\xi)}$ 表示具有终止条件的 BSDE 的解 $\xi$ 和终点时间 $\tau$. 然后 $\rho^{g}$ 定义了定义 $4.14$ 意义上的动态风险度量。为了看到这一点,我们注意到 一致性 (4.5.2) 来自 BSDE 的流动特性(参见 [QS])。
    此外,无套利性质来自 BSDE 的严格比较定理。我们还注意到,如果 $g(t, 0,0)=0$ ,则零一定律成立。动态风险度量是凸的,如果 $g$ 是凹 的。
    很自然地要问相反的问题: 动态风险度量何时可以用带有跳跃的 BSDE 来表示? 下面的命题给出了答案。

统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|A Dual Representation of Convex Risk Measures

我们看到 BSDE 可用于定义凸风险度量。通过这种表示,风险最小化问题变成了 FBSDE 的随机控制问题,正如我们将在 Sects 中看到的那样。5.4和 6.2。基于凸对偶方法的凸风险度量还有另一种表示形式。如下:
定理4.16(凸风险度量的凸对偶表示) 每个凸风险度量 $\rho: L^{\infty}(\mathcal{F} T, P) \rightarrow \mathbb{R}$ 具有以下形式:
\left 的分隔符缺失或无法识别
在哪里 $\mathcal{P}$ 是一个概率测度族 $Q \ll P$ 和 $\alpha: \mathcal{P} \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个凸函数,通常称为惩罚函数。见 [FS],FR]。例如, $\mathcal{P}$ 可能是集合 $\mathcal{P} \Theta$ 概率测度 $Q_{\theta}$ 被 定义为
$$
\mathrm{d} Q_{\theta}(\omega)-M_{\theta}(T) \mathrm{d} P(\omega) \text { on } \mathcal{J} T
$$
在哪里 $\theta$ 表示过程 $\left(\theta 0(t), \theta_{1}(t, \zeta)\right)$ 和 $M_{\theta}(t)$
是由 $\$ \$$
Veft{定义的鞅
$$
\mathrm{d} M_{\theta}(t)=M_{\theta}\left(t^{-}\right)\left[\theta_{0}(t) \mathrm{d} B(t)+\int_{\mathbb{R}} \theta_{1}(t, \zeta) \tilde{N}(\mathrm{~d} t, \mathrm{~d} \zeta)\right] ; t \geq 0 M_{\theta}(0)=1
$$
正确的。
$\$ \$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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