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• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Dynamic Risk Measures

We now discuss an extension of the (static) risk measure $\rho$ in Definition $4.4$ to a dynamic risk measure $\rho_{t} ; 0 \leq t \leq T$.

Definition 4.14 A dynamic risk measure is a map $\rho$ which to each bounded stopping time $\tau$ and each $\xi \in L^{2}\left(\mathcal{F}{\tau}\right)$ assigns an adapted càdlàg process $\left(\rho{t}(\xi, \tau)\right){[0 \leq t \leq \tau]}$ which is non-increasing, translation invariant and consistent, in the sense that $$\forall t \leq S, \rho{t}(\xi, \tau)=\rho_{t}\left(-\rho_{S}(\xi, \tau), S\right) \text { a.s. }$$
for all stopping times $S \leq \tau$.
Moreover we say that the risk measure satisfies

• the zero-one law property if $\rho_{t}\left(\mathbf{1}{A} \xi, T\right)=\mathbf{1}{A} \rho_{t}(\xi, T)$ a.s for $t \leq T, A \in \mathcal{F}{t}$, and $\xi \in L^{2}\left(\mathcal{F}{T}\right) .$
• the no arbitrage property if
$\left{\xi^{1} \geq \xi^{2}\right.$ a.s. and $\rho_{t}\left(\xi^{1}, \tau\right)=\rho_{t}\left(\xi^{2}, \tau\right)$ a.s. on some $\left.A \in \mathcal{F}_{t}, t \leq \tau\right} \Longrightarrow\left{\xi^{1}=\xi^{2}\right.$ a.s. on $A}$. a.s. on $A}$.

A natural way to construct dynamic risk measures is by means of BSDEs as follows:
Let $g$ be a Lipschitz driver, which does not depend on $y$ and such that $E\left[\int_{0}^{T} g^{2}(t, 0,0) \mathrm{d} t\right]<\infty$. We assume that $g$ satisfies (4.4.5)-(4.4.4) with $\theta(t, \zeta)>$ $-1$. For a given stopping time $\tau \leq T$ and $\xi \in L^{2}\left(\mathcal{F}{T}\right)$, define the functional: $$\rho{t}^{g}(\xi, \tau):=-Y_{g}^{(\xi)}(t), \quad 0 \leq t \leq \tau,$$
where $Y_{g}^{(\xi)}$ denotes the solution of the BSDE with terminal condition $\xi$ and terminal time $\tau$. Then $\rho^{g}$ defines a dynamic risk measure in the sense of Definition 4.14. To see this, we note that the consistency (4.5.2) follows from the flow property of BSDEs (see [QS]).

Moreover, the no-arbitrage property follows from the strict comparison theorem for BSDEs. We also note that if $g(t, 0,0)=0$, then the zero-one law holds. The dynamic risk measure is convex if $g$ is concave.

It is natural to ask about the converse: When can a dynamic risk-measure be represented by a BSDE with jumps? The following proposition gives an answer.

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|A Dual Representation of Convex Risk Measures

In Sect. $4.5$ we saw that BSDEs can be used to define convex risk measures. With this representation the problem of risk minimization becomes a problem of stochastic control of FBSDEs, as we shall see in Sects. $5.4$ and 6.2. There is another representation of convex risk measures based on convex duality methods. It goes as follows:
Theorem $4.16$ (Convex Duality Representation of Convex Risk Measures) Every convex risk measure $\rho: L^{\infty}\left(\mathcal{F}{T}, P\right) \rightarrow \mathbb{R}$ is of the following form: $$\rho(X)=\sup {Q \in \mathcal{P}}\left{E_{Q}[-X]-\alpha(Q)\right} ; X \in L^{\infty}\left(\mathcal{F}{T}, P\right)$$ where $\mathcal{P}$ is a family of probability measures $Q \ll P$ and $\alpha: \mathcal{P} \rightarrow \mathbb{R}$ is a convex function, usually called a penalty function. See [FS],FR]. For example, $\mathcal{P}$ could be the set $\mathcal{P}{\Theta}$ of probability measures $Q_{\theta}$ defined by
$$\mathrm{d} Q_{\theta}(\omega)-M_{\theta}(T) \mathrm{d} P(\omega) \text { on } \mathcal{J}{T}$$ where $\theta$ denotes the process $\left(\theta{0}(t), \theta_{1}(t, \zeta)\right)$ and $M_{\theta}(t)$ is the martingale defined by
$$\left{\begin{array}{l} \mathrm{d} M_{\theta}(t)=M_{\theta}\left(t^{-}\right)\left[\theta_{0}(t) \mathrm{d} B(t)+\int_{\mathbb{R}} \theta_{1}(t, \zeta) \tilde{N}(\mathrm{~d} t, \mathrm{~d} \zeta)\right] ; t \geq 0 \ M_{\theta}(0)=1 . \end{array}\right.$$

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Dynamic Risk Measures

$$\forall t \leq S, \rho t(\xi, \tau)=\rho_{t}\left(-\rho_{S}(\xi, \tau), S\right) \text { a.s. }$$

• 零一法则属性 if $\rho_{t}(\mathbf{1} A \xi, T)=\mathbf{1} A \rho_{t}(\xi, T)$ 至于 $t \leq T, A \in \mathcal{F} t$ ， 和 $\xi \in L^{2}(\mathcal{F} T)$.
• 无套利属性 if
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一个儿子额外的闭括号或缺少开括号
构建动态风险度量的一种自然方法是使用BSDE，如下所示： $g$ 做一个 Lipschitz 驱动程序，它不依赖于 $y$ 并且这样
$E\left[\int_{0}^{T} g^{2}(t, 0,0) \mathrm{d} t\right]<\infty$. 我们假设 $g$ 满足 (4.4.5)-(4.4.4) 与 $\theta(t, \zeta)>-1$. 对于给定的停止时间 $\tau \leq T$ 和 $\xi \in L^{2}(\mathcal{F} T)$ ，定义泛函:
$$\rho t^{g}(\xi, \tau):=-Y_{g}^{(\xi)}(t), \quad 0 \leq t \leq \tau$$
在哪里 $Y_{g}^{(\xi)}$ 表示具有终止条件的 BSDE 的解 $\xi$ 和终点时间 $\tau$. 然后 $\rho^{g}$ 定义了定义 $4.14$ 意义上的动态风险度量。为了看到这一点，我们注意到 一致性 (4.5.2) 来自 BSDE 的流动特性（参见 [QS]）。
此外，无套利性质来自 BSDE 的严格比较定理。我们还注意到，如果 $g(t, 0,0)=0$ ，则零一定律成立。动态风险度量是凸的，如果 $g$ 是凹 的。
很自然地要问相反的问题: 动态风险度量何时可以用带有跳跃的 BSDE 来表示? 下面的命题给出了答案。

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|A Dual Representation of Convex Risk Measures

\left 的分隔符缺失或无法识别

$$\mathrm{d} Q_{\theta}(\omega)-M_{\theta}(T) \mathrm{d} P(\omega) \text { on } \mathcal{J} T$$

\mathrm{d} M_{\theta}(t)=M_{\theta}\left(t^{-}\right)\left[\theta_{0}(t) \mathrm{d} B(t)+\int_{\mathbb{R}} \theta_{1}(t, \zeta) \tilde{N}(\mathrm{~d} t, \mathrm{~d} \zeta)\right] ; t \geq 0 M_{\theta}(0)=1
$$正确的。 \ \$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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