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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 英国补考|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Stopping and sampling

If we want to know when a Brownian motion $\left(B_{t}\right)_{t \geqslant 0}$

• leaves or enters a set for the first time,
• hits its running maximum,
• returns to zero,
we have to look at random times. A random time $\tau: \Omega \rightarrow[0, \infty]$ is a stopping time (with respect to $\left.\left(\mathcal{F}{t}\right){t \geqslant 0}\right)$ if
$${\tau \leqslant t} \in \mathcal{F}{t} \text { for all } t \geqslant 0 .$$ Typical examples of stopping times are entry and hitting times of a process $\left(X{t}\right){t \geqslant 0}$ into a set $A \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$ : (first) entry time into $A: \quad \tau{A}^{\circ}:=\inf \left{t \geqslant 0: X_{t} \in A\right}$,
(first) hitting time of $A: \quad \tau_{A}:=\inf \left{t>0: X_{t} \in A\right}$,
(inf $\emptyset=\infty)$; sometimes $\tau_{A^{c}}$ is called the (first) exit time from $A$. Note that $\tau_{A}^{\circ} \leqslant \tau_{A}$. If $t \mapsto X_{t}$ and $\left(\mathcal{F}{t}\right){t \gg 0}$ are sufficiently regular, $\tau_{A}^{\circ}, \tau_{A}$ are stopping times for every Bnrel set $A \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$. In this generality, the proof is very hard, cf. [13, Chapter I.10].

For our purposes it is enough to consider closed and open sets $A$. The natural filtration $\mathcal{F}{t}^{X}:=\sigma\left(X{s}: s \leqslant t\right)$ of a stochastic process $\left(X_{t}\right){t \geqslant 0}$ is relatively small. For many interesting stopping times we have to consider the slightly larger filtration $$\mathcal{F}{t+}^{X}:=\bigcap_{u>t} \mathcal{F}{u}^{X}=\bigcap{n \geqslant 1} \mathcal{F}{t+\frac{1}{n}}^{X} .$$ 5.7 Lemma. Let $\left(X{t}\right){t \geqslant 0}$ be ad-dimensional stochastic process with right-continuous sample paths and $U \subset \mathbb{R}^{d}$ an open set. The first hitting time $\tau{U}$ satisfies
$$\left{\tau_{U}<t\right} \in \mathcal{F}{t}^{X} \text { and }\left{\tau{U} \leqslant t\right} \in \mathcal{F}{t++}^{X},$$ i.e. it is a stopping time with respect to $\mathcal{F}{t+}^{X}$.

## 英国补考|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The exponential Wald identity

Let $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$ be a BM ${ }^{1}$ and $\tau{b}=\tau_{{b}}^{\circ}$ the first passage time of the level $b$. Recall from Example $5.2 \mathrm{~d})$ that $M^{\xi}(t):=e^{\xi B(t)-\frac{1}{2} \xi^{2} t}, t \geqslant 0$ and $\xi>0$, is a martingale. Applying the optional stopping theorem (Theorem A.18) to the bounded stopping times $t \wedge \tau_{b}$ we see that
$$1=\mathbb{E} M^{\xi}(0)=\mathbb{E} M^{\xi}\left(t \wedge \tau_{b}\right)=\mathbb{E}\left[e^{\xi B\left(t \wedge \tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)}\right]$$
Since $B\left(t \wedge \tau_{b}\right) \leqslant b$ for $b>0$, we have $0 \leqslant e^{\xi B\left(t \wedge \tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)} \leqslant e^{\xi b}$. Using the fact that $e^{-\infty}=0$ we get
$$\lim {t \rightarrow \infty} e^{\xi B\left(t \wedge \tau{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)}= \begin{cases}e^{\xi B\left(\tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2} \tau_{b}}, & \text { if } \quad \tau_{b}<\infty, \ 0, & \text { if } \quad \tau_{b}=\infty\end{cases}$$
Thus,
$$1=\mathbb{E}\left[e^{\xi B\left(t \wedge \tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)}\right] \stackrel{\text { dom. conv. }}{t \rightarrow \infty} e^{\xi b} \mathbb{E}\left[\mathbb{1}{\left{\tau{b}<\infty\right}} e^{-\frac{1}{2} \xi^{2} \tau_{b}}\right]$$
which shows
$$\mathbb{E}\left[\mathbb{1}{\left{\tau{b}<\infty\right}} e^{-\frac{1}{2} \xi^{2} \tau_{b}}\right]=e^{-\xi b} .$$
By monotone convergence we get
$$\mathbb{P}\left(\tau_{b}<\infty\right)=\lim {\xi \downarrow 0} \mathbb{E}\left[\mathbb{1}{\left{\tau_{b}<\infty\right}} e^{-\frac{1}{2} \xi^{2} \tau_{b}}\right]=1 .$$
Inserting this into the previous equality is (almost) the proof of
5.13 Theorem. Let $\left(B_{t}\right){t \geqslant 0}$ be a $\mathrm{BM}^{1}$. Then the first passage time $\tau{b}=\tau_{{b}}^{\circ}, b \in \mathbb{R}$, is a. s. finite and its Laplace transform is given by
$$\mathbb{E} e^{-\zeta \tau_{b}}=e^{-\sqrt{2 \xi}|b|}, \quad \zeta \geqslant 0 .$$

# 随机过程统计代考

## 英国补考|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Stopping and sampling

• 第一次离开或进入一组,
• 达到其运行最大值,
• 返回零,
我们必须查看随机时间。一个随机的时间 $\tau: \Omega \rightarrow[0, \infty]$ 是一个停止时间 (相对于 $(\mathcal{F} t) t \geqslant 0)$ 如果
$$\tau \leqslant t \in \mathcal{F} t \text { for all } t \geqslant 0 .$$
停止时间的典型示例是进程的进入和命中时间 $(X t) t \geqslant 0$ 成一组 $A \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$ : (第一) 进入时间 \1ef 的分隔符缺失或无法识别 (第一) 击球时间 $\backslash$ left 的分隔符缺失或无法识别 来说，证明是非常困难的，参见。[13，第 $1.10$ 章]。
为了我们的目的，考虑封闭集和开放集就足够了 $A$. 自然过滤 $\mathcal{F} t^{X}:=\sigma(X s: s \leqslant t)$ 个个随机过程 $\left(X_{t}\right) t \geqslant 0$ 比较小。对于许多有趣的停止时间，我们必须考虑稍 大的过滤
$$\mathcal{F} t+{ }^{X}:=\bigcap_{u>t} \mathcal{F} u^{X}=\bigcap n \geqslant 1 \mathcal{F} t+\frac{1}{n}^{x} .$$
5.7引理。让 $(X t) t \geqslant 0$ 是具有右连续样本路径的 ad 维随机过程和 $U \subset \mathbb{R}^{d}$ 一个开集。第一次击球时间 $\tau U$ 满足
\left 的分隔符缺失或无法识别
即，这是一个停止时间 $\mathcal{F} t+{ }^{X}$.

## 英国补考|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The exponential Wald identity

$$1=\mathbb{E} M^{\xi}(0)=\mathbb{E} M^{\xi}\left(t \wedge \tau_{b}\right)=\mathbb{E}\left[e^{\xi B\left(t \wedge \tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)}\right]$$
$$\lim t \rightarrow \infty e^{\xi B(t \wedge \tau b)-\frac{1}{2} \xi^{2}\left(t \wedge \tau_{b}\right)}=\left{e^{\xi B\left(\tau_{b}\right)-\frac{1}{2} \xi^{2} \tau_{b}}, \quad \text { if } \quad \tau_{b}<\infty, 0, \quad \text { if } \quad \tau_{b}=\infty\right.$$

、left 的分隔符缺失或无法识别

Veft 的分隔符缺失或无法识别

\left 的分隔符缺失或无法识别

$5.13$ 定理的证明。让 $\left(B_{t}\right) t \geqslant 0$ 做一个 $\mathrm{BM}^{1}$. 然后第一次通过时间 $\tau b=\tau_{b}^{\circ}, b \in \mathbb{R}$, 是有限的，其拉普拉斯变换由下式给出
$$\mathbb{E} e^{-\zeta \tau b}=e^{-\sqrt{2 \xi}|b|}, \quad \zeta \geqslant 0 .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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