金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|ACTL40004

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(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|ACTL40004

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Duration and Convexity

In the bond markct, bond prices change unpredictably on a daily basis. The changes in bond prices can be interpreted as the consequence of unpredictable changes in yields. The duration of a bond is a measure of risk exposure with respect to a possible change in the bond yield. It has been observed that the prices of long-maturity bonds are more sensitive to change in yields than are the prices of short-maturity bonds, and the impact of yield changes on bond prices seems proportional to the cash flow dates of the bonds. Intuitively, Macaulay (1938) introduced the weighted average of the cash flow dates as a measure of price sensitivity with respect to the bond yield:
$$
\begin{aligned}
D_{\text {mac }}=& \frac{\operatorname{Pr}}{B_{t}^{c}}\left[\sum_{i, T_{i}>t}^{n} \Delta T \cdot c(1+y \Delta T)^{-\left(T_{i}-t\right) / \Delta T}\left(T_{i}-t\right)\right.\
&\left.+(1+y \Delta T)^{-\left(T_{n}-t\right) / \Delta T}\left(T_{n}-t\right)\right]
\end{aligned}
$$
This measure is called the Macaulay duration in the bond market. Note that, for a zero-coupon bond, the duration is simply its maturity. It was later understood that the Macaulay duration is closely related to the derivative of the bond price with respect to its yield. In fact, differentiating Equation 3.13 with respect to $y$ yields
$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} B_{t}^{c}}{\mathrm{~d} y}=&-\frac{\operatorname{Pr}}{1+y \Delta T}\left[\sum_{i ; T_{i}>t}^{n} \Delta T \cdot c(1+y \Delta T)^{-\left(T_{i}-t\right) / \Delta T}\left(T_{i}-t\right)\right.\
&\left.+\operatorname{Pr} \cdot(1+y \Delta T)^{-\left(T_{n}-t\right) / \Delta T}\left(T_{n}-t\right)\right]
\end{aligned}
$$
In terms of $D_{\text {mac }}$, the Macaulay duration just defined, we have
$$
\frac{\mathrm{d} B_{t}^{c}}{B_{t}^{c}}=-\frac{D_{\text {mac }}}{1+y \Delta T} \mathrm{~d} y \quad \text { or } \quad \frac{1}{B_{t}^{c}} \frac{\mathrm{d} B_{t}^{c}}{\mathrm{~d} y}=-\frac{D_{\text {mac }}}{1+y \Delta T} .
$$

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Portfolio Risk Management

We can also calculate the duration and convexity of a portfolio of fixedincome instruments. Consider a portfolio of $N$ instruments, with $n_{i}$ units and price $B_{i}^{c}$ for the $i$ th instrument. Then, the absolute change in the portfolio value upon a parallel yield shift is given by
$$
\mathrm{d} V=\sum_{i} n_{i} \mathrm{~d} B_{i}^{c}=\sum_{i} n_{i} B_{i}^{c} \cdot\left(-D_{\mathrm{mod}}^{i} \mathrm{~d} y+\frac{1}{2} C^{i} \mathrm{~d} y^{2}\right)
$$
The percentage change is then
$$
\frac{\mathrm{d} V}{V}=-\left(\sum_{i} x_{i} D_{\bmod }^{t}\right) \mathrm{d} y+\frac{1}{2}\left(\sum_{i} x_{i} C^{t}\right) \mathrm{d} y^{2}
$$
where $x_{i}=n_{i} B_{i}^{c} / V$ is the percentage of the value in the $i$ th instrument. Equation $3.32$ indicates that the duration and convexity of a portfolio are the weighted average of the duration and convexity of its components, respectively.

In classical risk management, a portfolio manager can limit his/her exposure to interest-rate risk by reducing the duration while increasing the convexity of the portfolio. To avoid possible losses in case of large yield moves, the manager usually will not tolerate negative net convexity. A portfolio with very small duration is called a duration-neutral portfolio. Practically, interest-rate futures and swaps are often used as hedging instruments for duration management.

The basic premise of the duration and convexity technology is that the yield curves shift in parallel, either upward or downward by the same amount. This is, however, a very crude assumption about the yield curve movement, as, in reality, points in a yield curve do not often shift by the same amount and sometimes they do not even move in the same direction. For a more elaborate model of yield curve dynamics, we will have to resort to stochastic calculus in a multi-factor setting.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|LOGNORMAL MODEL: THE STARTING POINT

The theoretical basis of this chapter starts from the usual assumption of lognormal asset dynamics for zero-coupon bonds of all maturities:
$$
\mathrm{d} P(t, T)=P(t, T)\left[\mu(t, T) \mathrm{d} t+\mathbf{\Sigma}^{\mathrm{T}}(t, T) \mathrm{d} \mathbf{W}{t}\right] $$ under the physical measure, $\mathbb{P}$. Here $\mu(t, T)$ is a scalar function of $t$ and $T$, $\Sigma(t, T)$ is a column vector, $$ \Sigma(t, T)=\left(\Sigma{1}(t, T), \Sigma_{2}(t, T), \ldots, \Sigma_{n}(t, T)\right)^{\mathrm{T}}
$$
and $\mathbf{W}{t}$ is an $n$-dimensional $\mathbb{P}$-Brownian motion, $$ \mathbf{W}{t}=\left(W_{1}(t), W_{2}(t), \ldots, W_{n}(t)\right)^{\mathrm{T}}
$$
In principle, the coefficients in Equation 4.1 can be estimated from time series data of zero-coupon bonds, yet it is not guaranteed that Equation $4.1$ with estimated drift and volatility functions can exclude arbitrage. For the time being, we assume that both $\mu(t, T)$ and $\Sigma(t, T)$ are sufficiently regular deterministic functions on $t$, so that the SDE (Equation 4.1) admits a unique strong solution.

The purpose of a model like Equation $4.1$ is to price derivatives depending on (a portfolio of) $P(t, T), \forall T$ and $t \leq T$. For this purpose, we need to find a martingale measure for zero-coupon bonds of all maturities. Similar to our discussions on the multiple-asset market, we define an $\mathcal{F}{t}$-adaptive process, $\boldsymbol{\gamma}{t}$, that satisfies the following equation:
$$
\boldsymbol{\Sigma}^{\mathrm{T}}(t, T) \gamma_{t}=\mu(t, T)-r_{t} \mathbf{I}
$$
Suppose that such a $\gamma_{t}$ exists, is independent of $T$, and satisfies the Novikov condition. We can define a measure, Q, as
$$
\left.\frac{\mathrm{d} \mathbb{Q}}{\mathrm{dP}}\right|{\mathcal{F}{t}}=\exp \left(\int_{0}^{t}-\gamma_{s}^{\mathrm{T}} \mathrm{d} \mathbf{W}{s}-\frac{1}{2}\left|\boldsymbol{\gamma}{s}\right|^{2} \mathrm{~d} s\right)
$$
Then, by the CMG theorem, the process
$$
\tilde{\mathbf{W}} t=\mathbf{W}{t}+\int{0}^{t} \gamma_{s} d s
$$ is a $\mathbb{Q}$-Brownian motion, and, in terms of $\tilde{\mathbf{W}}{t}$, we can rewrite Equation $4.1$ as $$ \begin{aligned} \mathrm{d} P(t, T) &=P(t, T)\left[r{t} \mathrm{~d} t+\boldsymbol{\Sigma}^{\mathrm{T}}(t, T)\left(\mathrm{d} \mathbf{W}{t}+\gamma{t} \mathrm{~d} t\right)\right] \
&=P(t, T)\left[r_{t} \mathrm{~d} t+\boldsymbol{\Sigma}^{\mathrm{T}}(t, T) \mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}}_{t}\right]
\end{aligned}
$$

利率建模代考

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Duration and Convexity

在债券市场中，债券价格每天都会发生不可预测的变化。债券价格的变化可以解释为收益率变化不可预测的结果。债券的久期是衡量债券收益率可能变化的风险敞口。据观察，长期债券的价格对收益率的变化比短期债券的价格更敏感，收益率变化对债券价格的影响似乎与债券的现金流量日期成正比。直观地说，Macaulay (1938) 引入了现金流日期的加权平均值作为对债券收益率的价格敏感度的衡量标准:
$$
D_{\operatorname{mac}}=\frac{\operatorname{Pr}}{B_{t}^{c}}\left[\sum_{i, T_{i}>t}^{n} \Delta T \cdot c(1+y \Delta T)^{-\left(T_{i}-t\right) / \Delta T}\left(T_{i}-t\right) \quad+(1+y \Delta T)^{-\left(T_{n}-t\right) / \Delta T}\left(T_{n}-t\right)\right]
$$
这个度量在债券市场被称为麦考利久期。请注意，对于零息债券，久期只是其到期日。后来了解到，麦考利久期与债券价格对收益率的导数密切相关。事实上，对等式 $3.13$ 微分 $y$ 产量
$$
\frac{\mathrm{d} B_{t}^{c}}{\mathrm{~d} y}=-\frac{\operatorname{Pr}}{1+y \Delta T}\left[\sum_{\left.i ; T_{i}\right\rangle t}^{n} \Delta T \cdot c(1+y \Delta T)^{-\left(T_{i}-t\right) / \Delta T}\left(T_{i}-t\right) \quad+\operatorname{Pr} \cdot(1+y \Delta T)^{-\left(T_{n}-t\right) / \Delta T}\left(T_{n}-t\right)\right]
$$
按照 $D_{\operatorname{mac}}$ ，刚刚定义的麦考利持续时间，我们有
$$
\frac{\mathrm{d} B_{t}^{c}}{B_{t}^{c}}=-\frac{D_{\mathrm{mac}}}{1+y \Delta T} \mathrm{~d} y \quad \text { or } \quad \frac{1}{B_{t}^{c}} \frac{\mathrm{d} B_{t}^{c}}{\mathrm{~d} y}=-\frac{D_{\mathrm{mac}}}{1+y \Delta T}
$$

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Portfolio Risk Management

我们还可以计算固定收益工具组合的久期和凸度。考虑一个投资组合 $N$ 仪器，与 $n_{i}$ 单位和价格 $B_{i}^{c}$ 为了 $i$ 仪器。然后，在收益率平行变化时投资组合价值的绝对变化由下式给出
$$
\mathrm{d} V=\sum_{i} n_{i} \mathrm{~d} B_{i}^{c}=\sum_{i} n_{i} B_{i}^{c} \cdot\left(-D_{\mathrm{mod}}^{i} \mathrm{~d} y+\frac{1}{2} C^{i} \mathrm{~d} y^{2}\right)
$$
那么百分比变化是
$$
\frac{\mathrm{d} V}{V}=-\left(\sum_{i} x_{i} D_{\mathrm{mod}}^{t}\right) \mathrm{d} y+\frac{1}{2}\left(\sum_{i} x_{i} C^{t}\right) \mathrm{d} y^{2}
$$
在哪里 $x_{i}=n_{i} B_{i}^{c} / V$ 是值的百分比 $i$ 仪器。方程 $3.32$ 表示投资组合的久期和凸度分别是其组成部分的久期和凸度的加权平均值。
在经典风险管理中，投资组合经理可以通过减少久期同时增加投资组合的凸性来限制他/她的利率风险敞口。为避免在收益率大幅波动时可能出现的损失，基金经理通常不会容忍负净凸度。久期非常短的投资组合称为久期中性投资组合。实际上，利率期货和掉期经常被用作期限管理的套期保值工具。
久期和凸性技术的基本前提是收益率曲线平行移动，向上或向下移动相同的量。然而，这是对收益率曲线移动的一个非常粗略的假设，因为实际上，收益率曲线中的点通常不会移动相同的量，有时它们甚至不会向相同的方向移动。对于更精细的收益率曲线动态模型，我们将不得不在多因素设置中求助于随机演算。

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|LOGNORMAL MODEL: THE STARTING POINT

本章的理论基础始于对所有期限的零息债券的对数正态资产动态的通常假设:
$$
\mathrm{d} P(t, T)=P(t, T)\left[\mu(t, T) \mathrm{d} t+\mathbf{\Sigma}^{\mathrm{T}}(t, T) \mathrm{d} \mathbf{W} t\right]
$$
在物理测量下， $\mathbb{P}$. 这里 $\mu(t, T)$ 是一个标量函数 $t$ 和 $T, \Sigma(t, T)$ 是一个列向量，
$$
\Sigma(t, T)=\left(\Sigma 1(t, T), \Sigma_{2}(t, T), \ldots, \Sigma_{n}(t, T)\right)^{\mathrm{T}}
$$
和 $\mathbf{W} t$ 是一个 $n$ 维 $\mathbb{P}-$ 布朗运动，
$$
\mathbf{W} t=\left(W_{1}(t), W_{2}(t), \ldots, W_{n}(t)\right)^{\mathrm{T}}
$$
原则上，公式 $4.1$ 中的系数可以从零息债券的时间序列数据中估计出来，但不能保证公式4.1用估计的漂移和波动函数可以排除套利。目前，我们假设两者 $\mu(t, T)$ 和 $\Sigma(t, T)$ 是足够规则的确定性函数 $t$ ，因此 SDE（方程 4.1）承认一个独特的强解。
像方程式这样的模型的目的 $4.1$ 是根据（一个投资组合) 对衍生品定价 $P(t, T), \forall T$ 和 $t \leq T$. 为此，我们需要为所有期限的零息债券找到一个鞅测度。类似于我们对多资产市场的讨论，我们定义了一个 $\mathcal{F} t$ – 自适应过程， $\gamma t$ ，满足以下等式:
$$
\mathbf{\Sigma}^{\mathrm{T}}(t, T) \gamma_{t}=\mu(t, T)-r_{t} \mathbf{I}
$$
假设这样一个 $\gamma_{t}$ 存在，独立于 $T$, 满足诺维科夫条件。我们可以将度量 $\mathrm{Q}$ 定义为
$$
\frac{\mathrm{d} \mathbb{Q}}{\mathrm{dP}} \mid \mathcal{F} t=\exp \left(\int_{0}^{t}-\gamma_{s}^{\mathrm{T}} \mathrm{d} \mathbf{W} s-\frac{1}{2}|\gamma s|^{2} \mathrm{~d} s\right)
$$
然后，根据 CMG 定理，过程
$$
\tilde{\mathbf{W}} t=\mathbf{W} t+\int 0^{t} \gamma_{s} d s
$$
是一个Q丶-布朗运动，并且，根据 $\tilde{\mathbf{W}} t$ ，我们可以重写方程 $4.1$ 作为
$$
\mathrm{d} P(t, T)=P(t, T)\left[r t \mathrm{~d} t+\mathbf{\Sigma}^{\mathrm{T}}(t, T)(\mathrm{d} \mathbf{W} t+\gamma t \mathrm{~d} t)\right] \quad=P(t, T)\left[r_{t} \mathrm{~d} t+\boldsymbol{\Sigma}^{\mathrm{T}}(t, T) \mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}}_{t}\right]
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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