金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MATH5985

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Advanced Probability Theory 高等概率论
Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
(Generalized) Linear Models 广义线性模型
Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|MATH5985

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|THE HJM MODEL

Under the martingale measure, $\mathbb{Q}$, the price process of a zero-coupon bond becomes
$$
\mathrm{d} P(t, T)=P(t, T)\left[r_{t} \mathrm{~d} t+\boldsymbol{\Sigma}^{\mathrm{T}}(t, T) \mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}}_{t}\right]
$$
For the purpose of derivatives pricing, $\boldsymbol{\Sigma}(t, T)$ must satisfy at least the following additional conditions: (1) $\boldsymbol{\Sigma}(t, t)=0, \forall t ;$ and (2) $P(t, t)=1, \forall t$. These two conditions reflect only one fact: at maturity, the price of the zero-coupon bond equals its par value and thus has no volatility.

The specification of $\boldsymbol{\Sigma}(t, T)$ is a difficult job if we work directly with the process of $P(t, T)$. But the job will become quite amenable if we work with the process of forward rates. By Ito’s lemma, there is
$$
\mathrm{d} \ln P(t, T)=\left[r_{t}-\frac{1}{2} \boldsymbol{\Sigma}^{\mathrm{T}}(t, T) \boldsymbol{\Sigma}(t, T)\right] \mathrm{d} t+\boldsymbol{\Sigma}^{\mathrm{T}}(t, T) \mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}}_{t}
$$

Assume, moreover, that $\boldsymbol{\Sigma}{T}(t, T)=\partial \boldsymbol{\Sigma}(t, T) / \partial T$ exists and $\int{0}^{T}\left|\boldsymbol{\Sigma}{T}(t, T)\right|^{2}$ $\mathrm{d} t<\infty$. By differentiating Equation $4.14$ with respect to $T$ and recalling that $$ f(t, T)=-\frac{\partial \ln P(t, T)}{\partial T} $$ we obtain the process of forward rates under the $\mathbb{Q}$-measure, $$ \mathrm{d} f(t, T)=\mathbf{\Sigma}{T}^{\mathrm{T}} \mathbf{\Sigma} \mathrm{d} t-\mathbf{\Sigma}{T}^{\mathrm{T}} \mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}}{t}
$$

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|SPECIAL CASES OF THE HJM MODEL

Since the publication of the HJM model in 1992, arbitrage pricing models have quickly acquired dominant status in fixed-income modeling. Arbitrage pricing models have been generated from the HJM framework by making various specifications of forward-rate volatility. In this section, we study two specifications of the forward-rate volatility that, in terms of the short-rate dynamics, reproduce the popular one-factor models of Ho and Lee (1986) and Hull and White (1989), respectively.
4.3.1 The Ho-Lee Model
The simplest specification of the HJM model is $\sigma=$ const for $n=1$, corresponding to the forward-rate equation
$$
\mathrm{d} f(t, T)=\sigma \mathrm{d} \tilde{W}{t}+\sigma^{2}(T-t) \mathrm{d} t $$ By integrating the equation over $[0, t]$, we obtain $$ f(t, T)-f(0, T)=\sigma \tilde{W}{t}+\frac{1}{2} \sigma^{2} t(2 T-t) .
$$
By making $T=t$, we have the expression for the short rate:
$$
r_{t}=f(t, t)=f(0, t)+\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}+\sigma \tilde{W}{t} $$ In differential form, the last equation becomes $$ \mathrm{d} r{t}=\left(f_{T}(0, t)+\sigma^{2} t\right) \mathrm{d} t+\sigma \mathrm{d} \tilde{W}_{t} .
$$
Equation $4.26$ is interpreted as the continuous-time version of the so-called Ho-Lee (1986) model, which was first developed in the context of binomial trees.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|From a Yield Curve to a Forward-Rate Curve

The inputs for estimating the HJM model are historical data on U.S. Treasury yields, demonstrated in Figure $4.1$ with monthly quotes of yields for a 10-year period, from 1996 to 2006 . There are seven curves in the figure, which are dot plots of yield-to-maturities for 3-month, 6-month, 2-year, 3-year, 5-year, 10-year, or 30-year maturity benchmark U.S. Treasury bonds, respectively.

The first step of our model specification is to estimate the entire forward-rate curve, $f(\tau, \tau+T)$, for each day, $\tau$, in the data set and for the 30-year horizon, $0 \leq T \leq 30$. Since we do not have any detailed information about the benchmark Treasury bonds over this 10-year period, we treat the yields in the input data set for the last five maturities, $T_{3}=2$, $T_{4}=3, T_{5}=5, T_{6}=10$, and $T_{7}=30$, as par yiclds. ${ }^{*}$ The instantancous forward-rate curve for the day is determined by reproducing the value of the Treasury bills,
$$
\frac{1}{\left(1+y_{i} \Delta T\right)^{1 / 2}}=P\left(\tau, \tau+T_{i}\right), \quad \text { for } i=1,2 \text {, }
$$
and the value of the par bonds,
$$
1=\sum_{j=1}^{n_{i}} y_{i}(\tau) \cdot \Delta T P(\tau, \tau+j \Delta T)+P\left(\tau, \tau+n_{i} \Delta T\right)
$$
for $i=3, \ldots, 7$. Here $y_{i}(\tau)$ is the yield or par yield shown in Figure 4.1, $n_{i}=T_{i} / \Delta T, i=1,2, \ldots, 7, \Delta T=0.5$, and
$$
P(\tau, \tau+T)=\mathrm{e}^{-\int_{\tau}^{\tau+T} f(\tau, s) \mathrm{ds}} .
$$

利率建模代考

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|THE HJM MODEL

在鞅测庻下， $\mathbb{Q}$ ，零息债券的价格过程变为
$$
\mathrm{d} P(t, T)=P(t, T)\left[r_{t} \mathrm{~d} t+\mathbf{\Sigma}^{\mathrm{T}}(t, T) \mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}}{t}\right] $$ 就衍生品定价而言， $\boldsymbol{\Sigma}(t, T)$ 必须至少满足以下附加条件： (1) $\boldsymbol{\Sigma}(t, t)=0, \forall t ;(2) P(t, t)=1, \forall t$. 这两个条件只反映了一个事实: 在到期时，零息债券的价格等于其面值，因此没有波动性。规格 $\boldsymbol{\Sigma}(t, T)$ 如果我们直接处理 $P(t, T)$. 但是，如果我们使用远期利率的过程，这项工作将变得相当容易。根据伊藤引理，有 $$ \mathrm{d} \ln P(t, T)=\left[r{t}-\frac{1}{2} \boldsymbol{\Sigma}^{\mathrm{T}}(t, T) \boldsymbol{\Sigma}(t, T)\right] \mathrm{d} t+\boldsymbol{\Sigma}^{\mathrm{T}}(t, T) \mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}}_{t}
$$
此外，假设 $\boldsymbol{\Sigma} T(t, T)=\partial \boldsymbol{\Sigma}(t, T) / \partial T$ 存在并且 $\int 0^{T}|\boldsymbol{\Sigma} T(t, T)|^{2} \mathrm{~d} t<\infty$. 通过微分方程4.14关于 $T$ 并回忆起
$$
f(t, T)=-\frac{\partial \ln P(t, T)}{\partial T}
$$
我们得到了远期利率下的过程 $\mathbb{Q}$-措施，
$$
\mathrm{d} f(t, T)=\mathbf{\Sigma} T^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Sigma} \mathrm{d} t-\mathbf{\Sigma} T^{\mathrm{T}} \mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}} t
$$

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|SPECIAL CASES OF THE HJM MODEL

自 1992 年 HJM 模型发布以来，套利定价模型在固定收益模型中迅速占据主导地位。套利定价模型是从 HJM 框架通过制定各种远期汇率波动性规范生成的。在本节中，我们研究了远期汇率波动率的两种规范，它们在短期利率动态方面分别重现了 Ho 和 Lee (1986) 以及 Hull 和 White (1989) 的流行单因素模型。
4.3.1 Ho-Lee 模型
$\mathrm{HJM}$ 模型最简单的说明是 $\sigma=$ 常量为 $n=1$ ，对应于远期利率方程
$$
\mathrm{d} f(t, T)=\sigma \mathrm{d} \tilde{W} t+\sigma^{2}(T-t) \mathrm{d} t
$$
通过积分方程 $[0, t]$ ，我们获得
$$
f(t, T)-f(0, T)=\sigma \tilde{W} t+\frac{1}{2} \sigma^{2} t(2 T-t)
$$
通过制作 $T=t$ ，我们有短期利率的表达式:
$$
r_{t}=f(t, t)=f(0, t)+\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}+\sigma \tilde{W} t
$$
在微分形式中，最后一个方程变为
$$
\mathrm{d} r t=\left(f_{T}(0, t)+\sigma^{2} t\right) \mathrm{d} t+\sigma \mathrm{d} \tilde{W}_{t}
$$
方程4.26被解释为所谓的 Ho-Lee (1986) 模型的连续时间版本，该模型最初是在二叉树的背景下开发的。

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|From a Yield Curve to a Forward-Rate Curve

估计 HJM 模型的输入是美国国债收益率的历史数据，如图所示 $4.1$ 从 1996 年到 2006 年 10 年期间的每月收益率报价。图中有 7 条曲线，分别是美国 3 个月、6 个月、 2 年、3 年、5 年、10 年或 30 年到期基准的收益率-到期日的点状图分别为国债。
我们模型规范的第一步是估计整个远期利率曲线， $f(\tau, \tau+T)$ ，对于每一天 $\tau$ ，在数据集中和 30 年的范围内， $0 \leq T \leq 30$. 由于我们没有关于这 10 年期间基准国债的任何详细信息，我们处理输入数据集中最近五个到期日的收益率， $T_{3}=2, T_{4}=3, T_{5}=5, T_{6}=10$ ，和 $T_{7}=30 ，$ 作为标准值。 ${ }^{*}$ 当天的瞬时远期利率曲线由再现国库券的价值决定，
$$
\frac{1}{\left(1+y_{i} \Delta T\right)^{1 / 2}}=P\left(\tau, \tau+T_{i}\right), \quad \text { for } i=1,2
$$
以及面值债券的价值，
$$
1=\sum_{j=1}^{n_{i}} y_{i}(\tau) \cdot \Delta T P(\tau, \tau+j \Delta T)+P\left(\tau, \tau+n_{i} \Delta T\right)
$$
为了 $i=3, \ldots, 7$. 这里 $y_{i}(\tau)$ 是图 4.1 所示的收益率或面值收益率， $n_{i}=T_{i} / \Delta T, i=1,2, \ldots, 7, \Delta T=0.5 ，$ 和
$$
P(\tau, \tau+T)=\mathrm{e}^{-\int_{\tau}^{\tau+T} f(\tau, s) \mathrm{ds}}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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