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金融代写|量化风险管理代写Quantitative Risk Management代考|WHAT IS VALUE AT RISK
Value at risk is one of the most widely used risk measures in finance. VaR was popularized by J.P. Morgan in the 1990 s. The executives at J.P. Morgan wanted their risk managers to generate one statistic that summarized the risk of the firm’s entire portfolio, at the end of each day. What they came up with was VaR.
$\mathrm{VaR}$ is a one-tailed confidence interval. If the $95 \% \mathrm{VaR}$ of a portfolio is $\$ 400$, then we expect the portfolio will lose $\$ 400$ or less in $95 \%$ of the scenarios and lose more than $\$ 400$ in $5 \%$ of the scenarios. We can define VaR for any confidence level, but $95 \%$ has become an extremely popular choice at many financial firms. The time horizon also needs to be specified for VaR. On trading desks with liquid portfolios, it is common to measure the one-day $95 \%$ VaR. In other settings, in which less liquid assets may be involved, time frames of up to one year are not uncommon.
If an actual loss equals or exceeds the predicted VaR threshold, that event is known as an exceedance. Another way to explain $\mathrm{VaR}$ is to say that for a one-day $95 \% \mathrm{VaR}$, the probability of an exceedance event on any given day is $5 \%$.
Figure $3.1$ provides a graphical representation of VaR at the $95 \%$ confidence level. The figure shows the probability density function for the returns of a portfolio. Because VaR is being measured at the $95 \%$ confidence level, $5 \%$ of the distribution is to the left of the VaR level, and $95 \%$ is to the right.
In order to formally define $\mathrm{VaR}$, we begin by defining a random variable $L$, which represents the loss to our portfolio. $L$ is simply the opposite of the return to our portfolio. If the return of our portfolio is $-\$ 600$, then the loss, $L$, is $+\$ 600$. For a given confidence level, $\gamma$, then, value at risk is defined as
$$
\mathrm{P}\left[L \geq \mathrm{VaR}_{\gamma}\right]=1-\gamma
$$
金融代写|量化风险管理代写Quantitative Risk Management代考|DELTA-NORMAL VAR
One of the simplest and easiest ways to calculate $\mathrm{VaR}$ is to make what are known as delta-normal assumptions. For any underlying asset, we assume that the log returns are normally distributed and we approximate the returns of any option using its delta-adjusted exposure. The delta-normal model includes additional assumptions when multiple securities are involved, which we will cover when we begin to look at portfolio risk measures.
The delta-normal assumptions make it very easy to calculate $\mathrm{VaR}$ statistics even with limited computing power. This made delta-normal models a popular choice when VaR models were first introduced. Predictably, the results of such a simple model were often disappointing. A good risk manager would often be able to compensate for these deficiencies, but the basic model presented an easy target for critics. Delta-normal models are rarely used in practice today, but they are still an excellent starting point when learning about VaR models. By understanding the pros and cons of the delta-normal model, we will be able to better understand the pros and cons of more complex models. Unfortunately, many people outside of risk management believe that delta-normal models are still widely used in practice, or believe that the shortcomings of these simple models are inherent to all risk models.
To calculate the delta-normal VaR of a security, we start by calculating the standard deviation of returns for the security or, in the case of an option, for the returns of the option’s underlying security. We could use any of the methods described in the previous chapter to estimate the standard deviation. For regular securities, we then multiply the return standard deviation by the absolute market value or notional of our position to get the position’s standard deviation. For options we multiply by the absolute delta-adjusted exposure. The delta adjusted exposure of a single option being the underlying security’s price multiplied by the option’s delta. We then multiply the position’s standard deviation by the appropriate factor for the inverse of the standard normal distribution (e.g. $-1.64$ for $95 \% \mathrm{VaR})$
Notice that we have not said anything about the expected return. In practice, most VaR models assume that the distribution of returns has a mean of zero. This is almost always a very reasonable assumption at short horizons. At longer horizons this assumption may no longer be reasonable. Some practitioners will also assume that the theta for options is also zero. While this assumption may also be valid in many situations, it can fail even over short time horizons. In what follows, unless otherwise stated, assume security returns have zero mean but include theta in calculating VaR.
金融代写|量化风险管理代写Quantitative Risk Management代考|HISTORICAL VAR
Another very simple model for estimating $\mathrm{VaR}$ is historical simulation or the historical method. In this approach we calculate VaR directly from past returns. For example, suppose we want to calculate the one-day $95 \% \mathrm{VaR}$ for an equity using 100 days of data. The 95 th percentile would correspond to the least worst of the worst $5 \%$ of returns. In this case, because we are using 100 days of data, the VaR simply corresponds to the fifth worst day.
Now suppose we have 256 days of data, sorted from lowest to highest as in Table 3.1. We still want to calculate the $95 \%$ VaR, but $5 \%$ of 256 is $12.8$. Should we choose the 12 th day? The 13 th? The more conservative approach is to take the 12 th point, $-15.0 \%$. Another alternative is to interpolate between the 12th and 13th points, to come up with $-14.92 \%$. Unless there is a strong justification for choosing the interpolation method, the conservative approach is recommended.
For securities with no maturity date such as stocks, the historical approach is incredibly simple. For derivatives, such as equity options, or other instruments with finite lifespans, such as bonds, it is slightly more complicated. For a derivative, we do not want to know what the actual return series was, we want to know what the return series would have been had we held exactly the same derivative in the past. For example, suppose we own an at-the-money put with two days until expiration. Two-hundred-fifty days ago, the option would have had 252 days until expiration, and it may have been far in or out of the money. We do not want to know what the return would have been for this option with 252 days to expiration. We want to know what the return would have been for an at-the-money put with two days to expiration, given conditions in the financial markets 250 days ago. Similarly, for a bond with 30 days to expiration, for risk purposes, we are interested in what the return of a bond with 30 days to maturity would have been 250 days ago, not what the return of a bond with 280 days to maturity was. What we need to do is to generate a constant maturity or backcast series. These constant maturity series, or backcast series, are quite common in finance. The easiest way to calculate the backcast series for an option would be to use a delta approximation. If we currently hold a put with a delta of $-30 \%$, and the underlying return 250 days ago was $5 \%$, then our backcast return for that day would be $-1.5 \%=-30 \% \times 5 \%$. A more accurate approach would be to fully reprice the option, taking into account not just changes in the underlying price, but also changes in implied volatility, the risk-free rate, the dividend yield, and time to expiration. Just as we could approximate option returns using delta, we could approximate bond returns using DV01, but a more accurate approach would be to fully reprice the bond based on changes in the relevant interest rates and credit spreads.
量化风险管理代考
金融代写|量化风险管理代写Quantitative Risk Management代考|WHAT IS VALUE AT RISK
风险价值是金融领域最广泛使用的风险衡量指标之一。VaR 在 1990 年代由 JP Morgan 推广。摩根大通的高管希望他们的风险管理人员在每天结束时生成一份统计数据，总结公司整个投资组合的风险。他们想出的是VaR。
曾是是单尾置信区间。如果95%曾是投资组合是$400，那么我们预计投资组合会亏损$400或更少95%的场景，损失超过$400在5%的场景。我们可以为任何置信水平定义 VaR，但是95%已成为许多金融公司非常受欢迎的选择。还需要为 VaR 指定时间范围。在具有流动性投资组合的交易台上，通常测量一日95%风险价值。在其他可能涉及较少流动资产的环境中，长达一年的时间框架并不少见。
如果实际损失等于或超过预测的 VaR 阈值，则该事件称为超额。另一种解释方式曾是就是说一天95%曾是, 任何给定日期发生超标事件的概率为5%.
数字3.1提供 VaR 的图形表示95%置信水平。该图显示了投资组合收益的概率密度函数。因为 VaR 是在95%置信水平，5%分布在 VaR 水平的左侧，并且95%是在右边。
为了正式定义曾是，我们首先定义一个随机变量大号，这代表我们的投资组合的损失。大号与我们投资组合的回报正好相反。如果我们的投资组合的回报是−$600，然后是损失，大号， 是+$600. 对于给定的置信水平，C，那么，风险价值定义为
磷[大号≥曾是C]=1−C
金融代写|量化风险管理代写Quantitative Risk Management代考|DELTA-NORMAL VAR
最简单的计算方法之一曾是是做出所谓的 delta-normal 假设。对于任何标的资产，我们假设对数收益是正态分布的，我们使用其 delta 调整敞口来近似任何期权的收益。当涉及多种证券时，delta-normal 模型包括额外的假设，我们将在开始研究投资组合风险度量时介绍这些假设。
delta-normal 假设使得计算变得非常容易曾是即使计算能力有限，也可以进行统计。这使得 delta-normal 模型在首次引入 VaR 模型时成为一种流行的选择。可以预见的是，这样一个简单模型的结果往往令人失望。一个好的风险经理通常能够弥补这些缺陷，但基本模型为批评者提供了一个容易的目标。Delta-normal 模型在今天的实践中很少使用，但在学习 VaR 模型时，它们仍然是一个很好的起点。通过了解 delta-normal 模型的优缺点，我们将能够更好地理解更复杂模型的优缺点。不幸的是，风险管理之外的许多人认为 delta-normal 模型在实践中仍然被广泛使用，或者认为这些简单模型的缺点是所有风险模型所固有的。
为了计算证券的 delta-normal VaR，我们首先计算证券收益的标准差，或者在期权的情况下，计算期权基础证券的收益。我们可以使用上一章中描述的任何方法来估计标准差。对于常规证券，然后我们将收益标准差乘以我们头寸的绝对市值或名义上的头寸，以获得头寸的标准差。对于期权，我们乘以绝对 delta 调整曝光。单一期权的 delta 调整敞口是基础证券的价格乘以期权的 delta。然后，我们将位置的标准偏差乘以标准正态分布的倒数的适当因子（例如−1.64为了95%曾是)
请注意，我们没有说任何关于预期回报的事情。在实践中，大多数 VaR 模型假设收益分布的均值为零。在短期内，这几乎总是一个非常合理的假设。从长远来看，这种假设可能不再合理。一些从业者还会假设期权的 theta 也为零。虽然这种假设在许多情况下也可能有效，但即使在很短的时间内也可能失败。在下文中，除非另有说明，否则假设证券收益的均值为零，但在计算 VaR 时包括 theta。
金融代写|量化风险管理代写Quantitative Risk Management代考|HISTORICAL VAR
另一个非常简单的估计模型曾是是历史模拟或历史方法。在这种方法中，我们直接根据过去的收益计算 VaR。例如，假设我们要计算一日95%曾是对于使用 100 天数据的股票。第 95 个百分位对应于最差中的最差5%的回报。在这种情况下，因为我们使用的是 100 天的数据，VaR 仅对应于第五个最差的日子。
现在假设我们有 256 天的数据，从低到高排序，如表 3.1 所示。我们仍然想计算95%风险值，但5%256 个是12.8. 我们应该选择第12天吗？13 号？比较保守的做法是取第 12 点，−15.0%. 另一种选择是在第 12 点和第 13 点之间进行插值，得出−14.92%. 除非有充分的理由选择插值方法，否则建议使用保守方法。
对于股票等没有到期日的证券，历史方法非常简单。对于衍生品，例如股票期权，或其他具有有限生命周期的工具，例如债券，它稍微复杂一些。对于衍生品，我们不想知道实际的回报系列是什么，我们想知道如果我们过去持有完全相同的衍生品，回报系列会是什么。例如，假设我们拥有一个距离到期日还有两天的平价看跌期权。250 天前，期权在到期前还有 252 天，而且它可能已经远远超出或超出本金。我们不想知道这个选项在 252 天到期后的回报是多少。我们想知道到期两天的平价看跌期权的回报是多少，鉴于 250 天前金融市场的情况。同样，对于到期日为 30 天的债券，出于风险目的，我们感兴趣的是到期日为 30 天的债券在 250 天前的回报率，而不是到期日为 280 天的债券的回报率。 . 我们需要做的是生成一个恒定的成熟度或回溯系列。这些恒定成熟度系列或反向系列在金融领域非常常见。计算期权的反向序列的最简单方法是使用增量近似值。如果我们目前持有一个 delta 的看跌期权 我们需要做的是生成一个恒定的成熟度或回溯系列。这些恒定成熟度系列或反向系列在金融领域非常常见。计算期权的反向序列的最简单方法是使用增量近似值。如果我们目前持有一个 delta 的看跌期权 我们需要做的是生成一个恒定的成熟度或回溯系列。这些恒定成熟度系列或反向系列在金融领域非常常见。计算期权的反向序列的最简单方法是使用增量近似值。如果我们目前持有一个 delta 的看跌期权−30%，而 250 天前的基础回报是5%，那么我们那天的回溯回报将是−1.5%=−30%×5%. 更准确的方法是对期权进行全面重新定价，不仅要考虑基础价格的变化，还要考虑隐含波动率、无风险利率、股息收益率和到期时间的变化。正如我们可以使用 delta 近似期权收益一样，我们也可以使用 DV01 近似债券收益，但更准确的方法是根据相关利率和信用利差的变化对债券进行全面重新定价。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
