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## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Partial derivatives

The most natural way to define derivatives of functions of several variables is to allow only one variable at a time to move, while freezing the others. Thus, if $f: V \rightarrow \mathbb{R}$ is a function of $n$ variables, whose domain is the open set $V$, we define the set $\left{x_{1}\right} \times \cdots \times\left{x_{j-1}\right} \times[a, b] \times\left{x_{j+1}\right} \times \cdots \times\left{x_{n}\right}$, where $[a, b]$ is chosen so to have $\left{x_{1}\right} \times \cdots \times\left{x_{j-1}\right} \times{t} \times\left{x_{j+1}\right} \times \cdots \times\left{x_{n}\right} \subset V$ for any $t \in[a, b]$. We shall denote the function:
$$g(t):=f\left(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, t, x_{j+1}, \ldots, x_{n}\right)$$
by
$$f\left(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, \cdots, x_{j+1}, \ldots, x_{n}\right) .$$
If $g$ is differentiable (see Definition 3.7) at some $t_{0} \in(a, b)$, then the firstorder partial derivative of $f$ at $\left(x_{l}, \ldots, x_{j-1}, t_{0}, x_{j+1}, \ldots, x_{n}\right)$, with respect to $x_{j}$, is defined by:
\begin{aligned} f x_{j}\left(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, t_{0}, x_{j+1}, \ldots, x_{n}\right) &:=\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\left(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, t_{0}, x_{j+1}, \ldots, x_{n}\right) \ &:=g^{\prime}\left(t_{0}\right) \end{aligned}
Theréfore, the partial derivative $f_{x_{j}}$ exists at a point $\boldsymbol{a}$ if and only if the following limit exists:
$$\frac{\partial f}{\partial x_{j}}(\boldsymbol{a}):=\lim {h \rightarrow 0} \frac{f\left(\boldsymbol{a}+h \boldsymbol{e}{j}\right)-f(\boldsymbol{a})}{h} .$$

## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Maxima and Minima

Definition 3.14. Let $V$ be an open set in $\mathbb{R}^{n}$, let $a \in V$ and suppose that $f: V \rightarrow \mathbb{R}$. Then:
(i) $f(\boldsymbol{a})$ is called a local minimum of $f$ if and only if there exists $r>0$ such that $f(\boldsymbol{a}) \leq f(\boldsymbol{x})$ for all $\boldsymbol{x} \in B_{r}(\boldsymbol{a})$, an open ball neighbourhood of $\boldsymbol{a}$ (recall Definition 1.13);
(ii) $f(\boldsymbol{a})$ is called a local maximum of $f$ if and only if there exists $r>0$ such that $f(\boldsymbol{a}) \geq f(\boldsymbol{x})$ for all $\boldsymbol{x} \in B_{r}(\boldsymbol{a})$;
(iii) $f(\boldsymbol{a})$ is called a local extremum of $f$ if and only if $f(\boldsymbol{a})$ is a local maximum or a local minimum of $f$.

Remark 3.15. If the first-order partial derivatives of $f$ exist at $\boldsymbol{a}$, and if $f(\boldsymbol{a})$ is a local extremum of $f$, then $\nabla f(\boldsymbol{a})=\mathbf{0}$.
In fact, the one-dimensional function:
$$g(t)=f\left(a_{1}, \ldots, a_{j-1}, t, a_{j+1}, \ldots, a_{n}\right)$$
has a local extremum at $t=a_{j}$ for each $j=1, \ldots, n$. Hence, by the onedimensional theory:
$$\frac{\partial f}{\partial x_{j}}(\boldsymbol{a})=g^{\prime}\left(a_{j}\right)=0$$
As in the one-dimensional case, condition $\nabla f(\boldsymbol{a})=\mathbf{0}$ is necessary but not sufficient for $f(\boldsymbol{a})$ to be a local extremum.

# 金融数学代考

## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Partial derivatives

$$g(t):=f\left(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, t, x_{j+1}, \ldots, x_{n}\right)$$
$$f\left(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, \cdots, x_{j+1}, \ldots, x_{n}\right) .$$

$$f x_{j}\left(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, t_{0}, x_{j+1}, \ldots, x_{n}\right):=\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\left(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, t_{0}, x_{j+1}, \ldots, x_{n}\right) \quad:=g^{\prime}\left(t_{0}\right)$$

$$\frac{\partial f}{\partial x_{j}}(\boldsymbol{a}):=\lim h \rightarrow 0 \frac{f(\boldsymbol{a}+h \boldsymbol{e} j)-f(\boldsymbol{a})}{h} .$$

## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Maxima and Minima

(二) $f(\boldsymbol{a})$ 称为局部最大值 $f$ 当且仅当存在 $r>0$ 这样 $f(\boldsymbol{a}) \geq f(\boldsymbol{x})$ 对所有人 $\boldsymbol{x} \in B_{r}(\boldsymbol{a})$;
$\Leftrightarrow f(\boldsymbol{a})$ 称为同部极值 $f$ 当且仅当 $f(\boldsymbol{a})$ 是同部最大值或同部最小值 $f$.

$$g(t)=f\left(a_{1}, \ldots, a_{j-1}, t, a_{j+1}, \ldots, a_{n}\right)$$

$$\frac{\partial f}{\partial x_{j}}(\boldsymbol{a})=g^{\prime}\left(a_{j}\right)=0$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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