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## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Complex exponential

Let us start considering the complex exponential. In $\mathbb{C}$, the exponential function is defined in terms of the usual power series, which is thought, here, as a function of a variable $z \in \mathbb{C}$.
Definition 2.63.
$$e^{z}:=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n !}$$
Equations (2.26) and (2.72) only differ in the fact that, in the latter, the argument can be a complex number. Almost all the familiar properties of the exponential still hold, with the one exception of positivity, which has no sense in the unordered field $\mathbb{C}$. The fundamental property of the complex exponential is stated in the following Theorem 2.64, due to Euler.
Theorem 2.64 (Euler). For any $z=x+i y \in \mathbb{C}$, with $x, y \in \mathbb{R}$, it holds:
$$e^{x+i y}=e^{x}(\cos y+i \sin y) \text {. }$$
Proof. Let $z=x+i y \in \mathbb{C} ;$ then:
\begin{aligned} &e^{z}=e^{x+i y}=e^{x} \cdot e^{i y} \ &=e^{x} \cdot\left(1+\frac{i y}{1 !}+\frac{(i y)^{2}}{2 !}+\frac{(i y)^{3}}{3 !}+\frac{(i y)^{4}}{4 !}+\cdots\right) \ &=e^{x} \cdot\left{\left(1-\frac{y^{2}}{2 !}+\frac{y^{4}}{4 !}+\cdots\right)+i\left(y-\frac{y^{3}}{3 !}+\frac{y^{5}}{5 !}+\cdots\right)\right} \ &-e^{x} \cdot(\cos y+i \sin y) \end{aligned}
The last step, above, exploits the real power series expansion for the sine and cosine functions given in (2.27) and (2.28) respectively.

## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Complex goniometric hyperbolic functions

Equality (2.75) implies the following formulæe (2.76), again due to Euler and valid for any $y \in \mathbb{R}$ :
$$\sin y=\frac{e^{i y}-e^{-i y}}{2 i}, \quad \cos y=\frac{e^{i y}+e^{-i y}}{2} .$$
It is thus possible to use (2.76) to extend to $\mathbb{C}$ the goniometric functions.
Definition 2.66. For any $z \in \mathbb{C}$, define:
$$\sin z=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2 i}, \quad \cos z=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2}$$
In essence, for the sine and cosine functions, both in their goniometric and hyperbolic versions, the power series expansions $(2.27),(2.28),(2.29)$ and (2.30) are understood as functions of a complex variable.

# 金融数学代考

## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Complex exponential

$$e^{z}:=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n !}$$

$$e^{x+i y}=e^{x}(\cos y+i \sin y) .$$

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## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Complex goniometric hyperbolic functions

$$\sin y=\frac{e^{i y}-e^{-i y}}{2 i}, \quad \cos y=\frac{e^{i y}+e^{-i y}}{2} .$$

$$\sin z=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2 i}, \quad \cos z=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2}$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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