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## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Solved exercises

1. Given the following sequence of functions, establish whether it is pointwise and/or uniformly convergent:
$$f_{n}(x)=\frac{n x+x^{2}}{n^{2}}, \quad x \in[0,1]$$
2. Evaluate the pointwise limit of the sequence of functions:
$$f_{n}(x)=\sqrt[n]{1+x^{n}}, \quad x \geq 0 .$$
3. Show that the following sequence of functions converges pointwise, but not uniformly, to $f(x)=0$ :
$$f_{n}(x)=n x e^{-n x}, \quad x>0,$$
4. Show that the following sequence of functions converges uniformly to $f(x)=0$ :
$$f_{n}(x)=\frac{\sqrt{1-x^{n}}}{n^{2}}, \quad x \in[-1,1],$$
5. Show that:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}}=\ln 2$$
6. Evaluate:
$$\lim {n \rightarrow \infty} \int{1}^{\infty} \frac{n e^{-n x}}{1+n x} d x$$

## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Unsolved exercises

1. Show that the sequence of functions $f_{n}(x)=\frac{x}{n}$, with $x \in \mathbb{R}$, converges pointwise to $f(x)=0$, but the convergence is not uniform.

Show also that, on the other hand, when $a>0$, the sequence $\left(f_{n}\right)$ converges uniformly to $f(x)=0$ for $x \in[-a, a]$.

1. Let $f_{n}(x)=\left(\cos \frac{x}{\sqrt{n}}\right)^{n}, x \in \mathbb{R}$. Show that:
a. $f_{n}$ converges pointwise to a non-zero function $f(x)$ to be determined;
b. if $a>0$, the sequence $\left(f_{n}\right)$ converges uniformly on $[-a, a]$.
Hint. Consider the sequence $g_{n}(x)=\ln f_{n}(x)$ and use the power series (2.33) and (2.28).
2. Establish if the sequence of functions $\left(f_{n}\right)$, defined by $f_{n}(x)=\frac{x+x^{2} e^{n x}}{1+e^{n x}}$, for $x \in \mathbb{R}$, converges pointwise and/or uniformly.
3. Show that $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 3^{n}}=\ln \frac{3}{2}$.
4. Show that $\lim {n \rightarrow \infty} \int{0}^{1} e^{\frac{x+1}{n}} \mathrm{~d} x=1$.

# 金融数学代考

## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Solved exercises

1. 给定以下函数序列，确定它是否是逐点和/或一致收敛的:
2. $$3. f_{n}(x)=\frac{n x+x^{2}}{n^{2}}, \quad x \in[0,1] 4.$$
5. 计算函数序列的逐点极限 :
6. $$7. f_{n}(x)=\sqrt[n]{1+x^{n}}, \quad x \geq 0 . 8.$$
9. 证明以下函数序列逐点但不均匀地收敛到 $f(x)=0$ :
10. $$11. f_{n}(x)=n x e^{-n x}, \quad x>0, 12.$$
13. 证明以下函数序列一致收敛到 $f(x)=0$ :
14. $$15. f_{n}(x)=\frac{\sqrt{1-x^{n}}}{n^{2}}, \quad x \in[-1,1], 16.$$
17. 显示:
18. $$19. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}}=\ln 2 20.$$
21. 评估：
22. $$23. \lim n \rightarrow \infty \int 1^{\infty} \frac{n e^{-n x}}{1+n x} d x 24.$$

## 金融代写|金融数学代写Financial Mathematics代考|Unsolved exercises

1. 让 $f_{n}(x)=\left(\cos \frac{x}{\sqrt{n}}\right)^{n}, x \in \mathbb{R}$. 证明
: $f_{n}$ 逐点收敛到非零函数 $f(x)$ 待定;
湾。如果 $a>0 ，$ 序列 $\left(f_{n}\right)$ 一致地收敛于 $[-a, a]$.
暗示。考虑序列 $g_{n}(x)=\ln f_{n}(x)$ 并使用幂级数 (2.33) 和 (2.28)。
2. 确定函数的顺序 $\left(f_{n}\right)$ ， 被定义为 $f_{n}(x)=\frac{x+x^{2} e^{n x}}{1+e^{n x}}$ ，为了 $x \in \mathbb{R}$ ，逐点和/或均匀地收敛。
3. 显示 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 3^{n}}=\ln \frac{3}{2}$.
4. 显示 $\lim n \rightarrow \infty \int 0^{1} e^{\frac{x+1}{n}} \mathrm{~d} x=1$.

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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